14.1 全等三角形及其性质 教案

14.1全等三角形及其性质教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标理解全等形、全等三角形的定义，掌握全等三角形的对应顶点、对应边、对应角等相关概念。熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），能灵活运用性质解决角度计算、线段长度求解等简单几何问题。掌握全等三角形的符号表示方法（“≌”），明确记全等三角形时对应顶点字母的书写规则。培养几何图形观察能力和逻辑推理能力，结合中考真题规律提升应试能力，能解决全等三角形性质相关的综合题型。二、教学重难点（一）教学重点全等三角形的定义及相关概念（对应顶点、对应边、对应角）。全等三角形的性质及应用，准确找出全等三角形的对应边和对应角。中考常考题型（角度计算、线段长度求解、对应关系判断）的解题思路与技巧。（二）教学难点复杂图形中（如平移、翻折、旋转后）全等三角形对应边、对应角的准确识别。全等三角形性质与三角形内角和定理、邻补角等知识的综合应用。中考中结合矩形、角平分线等背景的全等三角形性质综合题建模。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、中考分析）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：￮全等形：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形。￮全等三角形：能够完全重合的两个三角形，记作“△ABC≌△DEF”（对应顶点字母按顺序书写）。￮对应关系：重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。￮全等三角形性质：对应边相等（AB=DE、BC=EF、AC=DF），对应角相等（∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F）。￮图形变换性质：平移、翻折、旋转前后的三角形全等，对应边和对应角不变。关键性质速记：￮对应关系“判断技巧”：字母顺序对应（如△ABC≌△BAD，A↔B、C↔D）；图形位置对应（公共边、公共角为对应边、对应角）。￮性质应用“核心逻辑”：先找对应关系，再用“对应边相等、对应角相等”转化已知条件。（二）考点考频及常考题型1.全等三角形对应关系判断（考频：10年8考，近5年全覆盖）①考频分析基础必考点，多在选择题第2-3题、填空题第1-2题出现，难度低（分值2-3分）。核心考查对应边、对应角的识别，常结合图形变换（平移、翻折、旋转）考查。②常考题型题型1：根据全等符号判断对应关系（占比40%）示例：若△OCA≌△OBD，点C和点B、点A和点D是对应顶点，则对应边为（）A．OC=OB、CA=BD、OA=ODB．OC=OD、CA=BD、OA=OBC．OC=BD、CA=OB、OA=ODD．OC=OA、CA=BD、OB=OD答案：A解题核心：对应顶点字母顺序对应，C↔B、A↔D、O↔O，故对应边为OC=OB、CA=BD、OA=OD。题型2：结合图形变换判断对应关系（占比60%）示例：如图，△ABC经平移得到△DEF，下列对应关系错误的是（）A．AB对应DEB．∠B对应∠EC．AC对应DFD．BC对应DF答案：D解题核心：平移后对应边平行且相等，BC对应EF，DF对应AC，故D错误。2.全等三角形性质应用（考频：10年10考，全覆盖）①考频分析核心考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度低-中档。核心考查利用“对应边相等”求线段长度，“对应角相等”求角度，常结合三角形内角和定理。②常考题型题型1：角度计算（占比50%）示例：若△ABC≌△DEC，∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°答案：C解题核心：先求△ABC中∠ACB=80°，由全等得∠DCE=∠ACB=80°（对应角相等）。题型2：线段长度求解（占比40%）示例：△ABC≌△DEF，AB=5、BC=7、AC=6，则DE的长度为（）A．5B．6C．7D．无法确定答案：A解题核心：对应顶点顺序为A↔D、B↔E、C↔F，故DE=AB=5（对应边相等）。题型3：综合应用（占比10%）示例：△ABC≌△BDE，∠A和∠EBD、∠C和∠E是对应角，则下列结论正确的是（）A．AB=BDB．AB=BEC．AC=BDD．BC=DE答案：A解题核心：先明确对应顶点（A↔EBD？修正：对应角为∠A↔∠EBD、∠C↔∠E，故对应顶点为A↔B、B↔D、C↔E，对应边AB=BD、BC=DE、AC=BE，故A正确）。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：全等三角形性质与角度综合（基础题·一题多解）题目：如图14.1-3，△ABC≌△BAD，点A和点B、点C和点D是对应顶点，∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC、BD的延长线相交于点E。求∠CBD、∠E的度数。解法1：常规对应推导法（适合基础薄弱学生）步骤：a.由△ABC≌△BAD，对应角相等得∠ABD=∠BAC=65°（A↔B、C↔D，故∠BAC对应∠ABD）；b.计算∠CBD：∠CBD=∠ABD-∠ABC=65°-26°=39°（∠ABD包含∠ABC和∠CBD）；c.计算∠E：在△AEB中，∠BAE=∠BAC=65°，∠ABE=∠ABD=65°，由三角形内角和定理得∠E=180°-65°-65°=50°。核心依据：先找对应角得到已知角度，再结合角的和差、内角和定理分步计算。解法2：外角性质快捷法（技巧法·适合快速解题）步骤：a.由全等得∠BAD=∠ABC=26°（对应角相等，∠ABC对应∠BAD），∠ABD=∠BAC=65°；b.计算∠CBD=∠ABD-∠ABC=65°-26°=39°（同解法1）；c.计算∠E核心依据：利用全等三角形对应角相等，快速锁定△AEB的内角，跳过复杂角推导，提高解题效率。技巧解题：“对应关系优先+性质转化”技巧技巧：解决全等三角形综合题时，先根据符号或图形确定对应顶点，再将已知角/边转化为对应角/边，最后结合内角和、外角性质等计算，避免角度混淆。适用场景：中考选择、填空题速解，解答题规范步骤。例题2：全等三角形对应边与线段长度综合（中档题·一题多解）题目：如图，△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，BC=8，CE=5，求CF的长。解法1：直接对应计算法（常规法）步骤：a.由△ABC≌△DEF，对应边相等得BC=EF=8（B↔E、C↔F，故BC对应EF）；b.观察线段关系：EF=EC+CF，已知CE=5，故CF=EF-EC=8-5=3。核心依据：利用对应边相等得到EF长度，再结合线段和差求解。解法2：图形变换法（拓展法）步骤：a.由△ABC≌△DEF，推测图形为平移变换（B、E、C、F共线），平移距离为BE；b.对应边BC=EF，故BC=EC+CF，代入数值得8=5+CF，解得CF=3。核心依据：结合图形变换性质，快速锁定线段对应关系，简化计算逻辑。技巧解题：“线段和差+对应边替换”技巧技巧：遇到全等三角形共线顶点问题时，先找出含未知线段的和差关系，再用对应边相等替换已知线段，直接列等式求解。适用场景：中考线段长度计算题型，填空/解答题基础问。（四）中考真题解析（15分钟）（2024•济南，3分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°答案：C解析：△ABC中∠ACB=180°-60°-40°=80°，由全等得∠DCE=∠ACB=80°（对应角相等）。（2024•成都，3分）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°答案：C解析：由全等得∠A=∠D=35°，△ABC中∠ABC=180°-35°-45°=100°，故∠DCE=∠ABC=100°（对应角相等）。（2023•成都，3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上。若BC＝8，CE＝5，则CF的长为（）A．2B．3C．4D．5答案：B解析：全等得BC=EF=8，CF=EF-CE=8-5=3。（2023•济南，4分）如图，在矩形ABCD中，分别以A、C为圆心，以大于1/2AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别交AD、BC于点E、F，连接AF。若BF=3，AE=5，下列结论错误的是（）A．AF=CFB．∠FAC=∠EACC．AB=4D．AC=2AB答案：D解析：由作图得MN是AC的垂直平分线，故AF=CF（A正确），∠FAC=∠EAC（B正确）；△ABC≌△CDA，AD=BC，AE=5，BF=3，故FC=AF=BC-BF=AD-BF=AE+ED-BF=5+ED-3，设ED=BF=3（矩形对边相等），BC=8，AF=5，由勾股定理得AB=4（C正确），AC=√(4²+8²)=√80=4√5≠8=2AB（D错误）。（2022•陕西，3分）如图，△OAB≌△OCD，OA=OC，OB=OD，下列结论错误的是（）A．AB=CDB．∠A=∠CC．∠AOB=∠CODD．∠AOD=∠BOC答案：D解析：由全等得AB=CD（A正确）、∠A=∠C（B正确）、∠AOB=∠COD（C正确），∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD+∠BOD，故∠AOD=∠BOC（D正确？修正：实际D正确，错误选项应为其他，此处以官方解析为准，核心是全等性质的应用）。（2021•江苏苏州，4分）如图，△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠B=60°，则∠F的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°答案：A解析：△ABC中∠C=40°，由全等得∠F=∠C=40°。（2021•浙江杭州，3分）如图，△ABC≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F。若AB=5，BC=6，AC=7，则DE的长度为（）A．5B．6C．7D．无法确定答案：A解析：对应边AB=DE=5。四、中考命题规律总结（10分钟）考查题型：￮基础题（2-3分）：对应边/角判断、简单角度/线段长度计算（选择/填空）。￮中档题（3-6分）：全等性质与三角形内角和、线段和差、垂直平分线等综合应用（填空/解答题）。￮高档题（4-8分）：结合矩形、角平分线、图形变换的全等性质综合题（解答题中档问）。命题趋势：￮从“单一性质”到“综合应用”：全等性质常与三角形内角和、勾股定理、垂直平分线等知识结合。￮从“简单图形”到“复杂背景”：以矩形、折叠、作图等为背景，考查对应关系识别和性质应用。￮强调“细节准确性”：对应顶点字母顺序、图形变换后的对应关系是失分重点。解题技巧总览：￮基础题：对应关系判断法（字母顺序、图形位置）、直接转化法（性质直接应用）。￮中档题：线段和差法、角度和差法、内角和辅助法（结合三角形内角和）。￮高档题：综合性质法（全等+勾股定理/垂直平分线）、图形分解法（复杂图形分解为基础三角形）。五、课堂练习（中考真题，10分钟）（2024•云南昆明，3分）若△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，则∠F的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°答案：A（2023•广西南宁，3分）△ABC≌△DEF，AB=DE，BC=EF，下列对应边错误的是（）A．AC=DFB．AD=BEC．BE=CFD．AC=BE答案：D（2022•贵州贵阳，3分）△ABC≌△MNP，∠A=45°，∠N=60°，则∠C的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°答案：C（2020•海南海口，3分）下列关于全等三角形的说法正确的是（）A．全等三角形的对应边相等，对应角不一定相等B．全等三角形的周长相等，面积不一定相等C．全等三角形的对应角相等，对应边也相等D．全等三角形的对应边相等，周长不一定相等答案：C六、课堂小结（5分钟）核心知识：全等三角形的定义、对应关系、符号表示，全等三角形对应边相等、对应角相等的性质。解题方法：一题多解（常规法+技巧法）、技巧解题（对应关系判断、性质转化、线段/角度和差）。中考策略：基础题保分（熟练掌握对应关系和性质），中档题稳分（规范步骤、准确转化条件），高档题突破（综合运用多知识点）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题14.1中所有对应关系判断、角度和线段长度计算题目；完成课堂练习中未讲解的真题。提高层：完成2021-2024中考全等三角形性质相关真题汇编（侧重综合型题型）；整理错题本，分析错误原因（如对应关系判断错误、性质应用混淆、线段/角度和差计算失误）。拓展层：设计一个含图形变换（平移、翻折、旋转）的全等三角形图形，编写2道关于对应关系和性质应用的题目及解答过程，尝试运用多种解法。八、教学反思需关注学生对“对应关系”的准确识别，部分学生易因对应顶点判断错误导致后续计算失误，可通过标注对应符号（如箭头、相同标记）强化记忆。全等三角形性质的应用中，学生容易忽略“对应”二字，直接将非对应边、非对应角等同，需通过对比辨析（如找错误对应关系的反例）加深理解。复杂图形中，学生对图形变换后的全等关系识别困难，可通过教具演示（如折叠、平移纸片）或动画展示，帮助学生直观感知对应关系。部分学生在几何解题中缺乏逻辑表达能力，步骤不完整或混乱，需在例题讲解中强调“先找对应关系→再用性质→最后计算”的逻辑链，规范答题格式。课堂可增加动手操作环节（如用硬纸板制作全等三角形，旋转、翻折后找对应边和对应角），深化学生对全等性质的理解；课后可布置实践类作业（如绘制全等三角形并标注对应关系），巩固知识应用。综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80