2026年上海市虹口区中考数学三模试卷（含解析）

2026年上海市虹口区中考数学三模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．计算的结果是（）A． B． C． D．2．下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（）A．千问 B． C． D．元宝3．判断关于的方程根的情况（）A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根4．对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的方差5．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点在内，那么的半径长可以是（）A．6 B．10 C．14 D．186．如图，在锐角△中，以点为圆心长度为半径作弧，交边于点，交边于点，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：．8．分解因式：．9．方程的解是．10．函数的定义域是．11．将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新函数的图象对应的解析式是．12．某公司举行抽奖活动，不同颜色的球可以得到对应不同的奖品．小郭前两次已经摸出1个蓝球和1个黑球，此时抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，它们除了颜色外都相同．小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是．13．某校在科技节主题讲座的筹备过程中，随机抽样了100位学生关于元宇宙、脑机接口和人形机器人三种主题的兴趣偏好，有10位同学表示都没有兴趣，在剩余作出选择的90位同学中，调查情况如图所示，那么全校1500名学生中，对于脑机接口有兴趣的人数约有人．14．图1是公园里的一个秋千．如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点到地面的距离是20厘米．小李同学坐上秋千后，将点向后抬起到点，此时测得，点到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即，那么绳索的长度约是厘米．（参考数据：，，15．如图，已知△中，中线、相交于点，设，，那么用向量、表示向量．16．如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为10，正六边形的边长为4，那么点到边的距离为．17．如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点、在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到的值是．18．我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为3、腰长为4的等腰梯形存在各边截得弦长均为2的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．计算：．20．解方程：．21．某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价（万元）与年产量（吨的函数关系如图所示．（1）求关于的函数解析式；（不用写定义域）（2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量）22．如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点、就分别是边、的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？（1）同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案．①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为，点就是边的一个三等分点，请你验证这个方案的正确性；②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点的直线折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线与边的交点就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性；（2）请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言）23．如图，已知在四边形中，，，点是对角线上一点，联结、，．（1）求证：四边形是菱形；（2）延长交边于点，当时，求证：．24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，联结．（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴；（2）设抛物线与轴的另一个交点为点，过点作，与抛物线交于第四象限的点，设点的横坐标为．①求与的等量关系，并求出的取值范围；②在轴负半轴上有一点，联结、，如果射线与射线的交点在的垂直平分线上，，求点的坐标．25．如图1，已知是半圆的直径，点为延长线上一点，点为上一点，联结交半圆于点，点为半径上一点，联结．（1）如果，求证：△△；（2）如图2，，，如果△是以为腰的等腰三角形，求的值；（3）当时，如果，，平分，求的长．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．计算的结果是（）A． B． C． D．解：；故选：．2．下列是四款比较常用的工具的图标，其中是中心对称图形的是（）A．千问 B． C． D．元宝解：是中心对称图形，，，不是中心对称图形，故选：．3．判断关于的方程根的情况（）A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根解：，△，，，△，关于的方程有两个不相等的实数根，故选：．4．对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的方差解：能较好反映这组数据平均水平的是这组数据的中位数；故选：．5．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点在内，那么的半径长可以是（）A．6 B．10 C．14 D．18解：如图，连接，四边形为矩形，，，由勾股定理得：，与直线相切，的半径为6，与相交，且点在内，，则的半径长可以是14，故选：．6．如图，在锐角△中，以点为圆心长度为半径作弧，交边于点，交边于点，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（）A． B． C． D．解：联结，以点为圆心长度为半径作弧，交边于点，交边于点，，，，，，，，要求出的度数，只需知道的度数，故选：．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：．解：．故答案为：．8．分解因式：．解：．故答案为：．9．方程的解是．解：将方程的两边同时平方，得：，解得：，当时，，是该方程的解，方程方程的解是．故答案为：．10．函数的定义域是．解：由题意，得，解得，故答案为：．11．将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新函数的图象对应的解析式是．解：将正比例函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式是，故答案为：．12．某公司举行抽奖活动，不同颜色的球可以得到对应不同的奖品．小郭前两次已经摸出1个蓝球和1个黑球，此时抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，它们除了颜色外都相同．小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是．解：抽奖箱中还有3个蓝球，1个黑球和1个白球，所有可能出现的结果总数为，其中摸出白球的结果数为1，小郭随机摸一个球，恰好摸出尚未取得颜色的球的概率是．故答案为：．13．某校在科技节主题讲座的筹备过程中，随机抽样了100位学生关于元宇宙、脑机接口和人形机器人三种主题的兴趣偏好，有10位同学表示都没有兴趣，在剩余作出选择的90位同学中，调查情况如图所示，那么全校1500名学生中，对于脑机接口有兴趣的人数约有500人．解：对于脑机接口有兴趣的人数约为（人．故答案为：500．14．图1是公园里的一个秋千．如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点到地面的距离是20厘米．小李同学坐上秋千后，将点向后抬起到点，此时测得，点到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即，那么绳索的长度约是150厘米．（参考数据：，，解：过点作于，则四边形是矩形．厘米，（厘米），在△中，，，，解得：厘米，厘米．15．如图，已知△中，中线、相交于点，设，，那么用向量、表示向量．解：由题知，和是△的中线，点为△的重心，．，．，，．故答案为：．16．如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为10，正六边形的边长为4，那么点到边的距离为．解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，交于点．，，，，，△是等边三角形，，，四边形是正方形，边长为10，，，，，，．故答案为：．17．如图，在正方形网格上建立直角坐标系，轴、轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点、在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到的值是4．解：设，则，，，．故答案为：4．18．我们规定，如果一个圆与一个四边形的各边都有两个公共点，且各边截取的弦长都相等，那么这个圆叫做这个四边形的“等截圆”．如果一个上底为3、腰长为4的等腰梯形存在各边截得弦长均为2的“等截圆”，那么该“等截圆”的半径长是．解：由“等截圆”定义，画出对应的等腰梯形和，作、、、，连接、，，过点作于点，如图，设该“等截圆”半径为，设为圆心到边的距离，各边截得弦长均为2，则弦长的一半为1，根据圆的弦长公式可得，，圆心到等腰梯形四边的距离相等，，，，为半径，，等腰梯形是轴对称图形，圆心在等腰梯形的对称轴上；，，，四边形为矩形，，，在△和△中，，△△，，，同理可得△△，，，在△中，，，，，在△中，，，半径为．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．计算：．解：原式．20．解方程：．解：去分母得：，整理得：，即，分解因式得：，解得：或，检验：当时，，当时，，是增根，分式方程的解为．21．某公司生产一种产品，当年产量至少为20吨，但不超过100吨时，其每吨的售价（万元）与年产量（吨的函数关系如图所示．（1）求关于的函数解析式；（不用写定义域）（2）当这种产品的总售价为2400万元时，求该产品的年产量．（注：总售价每吨售价年产量）解：（1）设关于的函数解析式为，将，代入得：，解得：，关于的函数解析式为；（2）根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：该产品的年产量为40吨．22．如图1，将一张正方形纸片对折，使与重合，展开后，得到折痕平分了正方形的边．如图2，将边翻折到与重合，得到折痕，点、就分别是边、的一个四等分点．那么是否可以利用折纸得到正方形边上的三等分点、五等分点呢？（1）同学们组成探究小组，对这个问题进行探索，得到了一些方案．①“爱探”小组得到的方案是：如图3，将边沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在折痕上，把折痕与边的交点标记为，点就是边的一个三等分点，请你验证这个方案的正确性；②“爱究”小组得到的方案是：如图4，将正方形纸片沿翻折，得到折痕，再将边沿过点的直线折叠，使得边的对应边落在上，那么这条直线与边的交点就是一个边的三等分点．请你验证这个方案的正确性；（2）请你设计一种方案，不借助其他工具，仅利用折叠正方形纸片得到折痕，确定正方形边的一个五等分点，画出示意图并简述折叠过程，说明理由．（可模仿（1）中方案叙述的语言）解：（1）①四边形是正方形，，，折叠，，，，，，，，设，则，，，，即，△△，，即，，，点就是边的一个三等分点；②根据题意，，，，，，折叠，边的对应边落在上，，，，，，且，△△，，即，，，点就是一个边的三等分点；（2）如图所示，设正方形的边长为，则，正方形，将边折叠，与边重合，得到线段的中点，将边折叠，与边重合，得到线段的中点，连接，，将边沿直线折叠得到对应点，将边沿直线折叠得到对应点，折痕，交于点，，是线段的垂直平分线，，，，，，，则，将边折叠，使得边与过点垂直于的线段重合，折痕为，，，，△△，，即，解得，，，点即为线段的五等分点，，将边折叠与折痕重合，得到折痕，不展开，再将边折叠与折痕重合，得到折痕、，展开，即可得到线段的五等分点，即，，，是线段五等分点．23．如图，已知在四边形中，，，点是对角线上一点，联结、，．（1）求证：四边形是菱形；（2）延长交边于点，当时，求证：．【解答】证明：（1）连结交于点，如图，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，与互相垂直平分，四边形为菱形；（2）四边形为菱形，，，，即，，，△△，，．24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，联结．（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴；（2）设抛物线与轴的另一个交点为点，过点作，与抛物线交于第四象限的点，设点的横坐标为．①求与的等量关系，并求出的取值范围；②在轴负半轴上有一点，联结、，如果射线与射线的交点在的垂直平分线上，，求点的坐标．解：（1）在中，令得，，，，，，把代入得：，（点在轴正半轴），，，抛物线的对称轴为直线；（2）①设交轴于点，过作轴于，