2027届新高考数学热点精准复习等式与不等式的性质

2027届新高考数学热点精准复习等式与不等式的性质【课标要求】1.理解等式和不等式的共性与差异.2.理解不等式的概念.3.掌握不等式的性质.【知识要点】

3.不等式的基本性质(1)反对称性:a>b⇔

;

(2)传递性:a>b，b>c⇒

;

(3)可加性:a>b⇔

;a>b，c>d⇒

;

(4)可乘性:a>b，c>0⇒

;a>b，c<0⇒

;a>b>0，c>d>0⇒

;

(5)乘方性质:a>b>0⇒

(n≥2，n∈N*);

(6)开方性质:a>b>0⇒

(n≥2，n∈N*).

b<aa>ca+c>b+ca+c>b+dac>bcac<bcac>bdan>bn

4.不等式的一些常用性质

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【基础检测】概念辨析

×××××教材改编2.[必修1p42T3]设M=(x-1)(x-5)，N=(x-3)2，则M与N的大小关系是(

)A.M<N

B.M>N

C.M=N

D.不能确定A[解析]

因为M-N=(x-1)(x-5)-(x-3)2=(x2-6x+5)-(x2-6x+9)=-4<0，所以M<N.故选A.

B

4.[必修1p42习题2.1T3(4)]设M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，则M与N的大小关系为

.

M>N[解析]

M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N.5.[必修1p42T5]已知-1<a<2，-3<b<5，则a+2b的取值范围是

.

(-7，12)[解析]

∵-3<b<5，∴-6<2b<10，又-1<a<2，∴-7<a+2b<12.考点1比较两个数（式）的大小例1

(1)已知a，b，c，d为实数，则(ac+bd)2与(a2+b2)(c2+d2)的大小关系是

.

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)[解析]

因为a，b，c，d为实数，(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)=(a2c2+2acbd+b2d2)-(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)=2acbd-a2d2-b2c2=-(ad-bc)2≤0显然成立，所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).[小结](1)作差法:一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.(2)作商法:一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.(3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系.

C

巩固训练

B

考点2不等式的性质

AB

AC

[小结]不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小.熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件.(2)与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确,要注意特殊值法的应用.(3)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.

D

巩固训练

ACD

BC

考点3不等式性质的综合应用例3

(1)已知实数a，b满足-6<a+2b<-3，5<a-b<7，则3a+2b的取值范围为

.

(2)(2024·浙江·模拟预测)已知正数a，b，c满足a2+c2=16，b2+c2=25，则k=a2+b2的取值范围为

.

9<k<41[解析]

∵正数a，b，c满足a2+c2=16，b2+c2=25，∴c2=16-a2，a2>0.所以0<c2<16.同理:有c2=25-b2，得到0<c2<25，∴0<c2<16.两式相加:a2+b2+2c2=41即a2+b2=41-2c2.又∵-16<-c2<0，即-32<-2c2<0.∴9<41-2c2<41，即9<k<41.[小结]1.判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断.2.利用不等式性质可以求某些代数