2027届新高考数学精准突破复习指数与指数函数

2027届新高考数学精准突破复习指数与指数函数1.课标要求2.知识要点3.课前自测4.考点突破目录【课标要求】1.理解指数函数的概念、理解指数函数的单调性与其图象特征并能灵活应用.2.知道指数函数是一类重要的函数模型.知识要点【知识要点】

x根式a

0没有意义

0a

ar+sarsarbr3.指数函数图象与性质图象______________________________________________________________________________________________________________定义域值域（2）________定点（3）过定点______单调性

增函数减函数续表【重要结论】

(2)指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内，指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.

课前自测概念辨析

×√×√√教材改编2.[必修1p119T6]已知a=0.750.1，b=1.012.7，c=1.013.5，则(

)A.a>b>c

B.a>c>bC.c>b>a

D.c>a>bC[解析]

因为函数y=1.01x在(-∞，+∞)上是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a.

B

可知值域为(0，1]，故选B.4.(多选)若函数f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则(

)A.0<a<1 B.a>1C.-1<b<0 D.b<-1BD[解析]

因为函数f(x)=ax+b(其中a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，所以根据图象的性质可得a>1，a0+b<0，即a>1，b<-1.5.[必修1p120T6]已知函数y=2ax-2-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为

.

(2，-1)[解析]

令x-2=0，得x=2，则y=2a0-3=-1.所以函数y=2ax-2-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(2，-1).考点突破考点1指数幂的运算

A

A

[小结]指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数.

8

跟踪练习

B

考点2指数函数的图象及应用

(-∞，0](写成(-∞，0)也可)

(2)(2025·甘肃兰州·模拟预测)已知函数

f(x)=|2x-1|，关于

x

的方程

f(x)=k

有两个不等实数根，则实数

k

的取值范围是(

)A.(1，+∞) B.[1，+∞)C.[0，1] D.(0，1)D[解析]

作出函数

f(x)=|2x-1|的图象，如图所示，若关于

x

的方程

f(x)=k

有两个不等实根，则函数

y=f(x)的图象与直线

y=k

有两个交点，由图知，k∈(0，1).故选D.[小结](1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.(4)判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.

C[解析]

当a>b>0时，A正确;当b>a>0时，B正确;当0>a>b时，D正确;当0>b>a时，无此选项.故选C.跟踪练习

B

考点3指数函数的性质及应用角度1.比较指数式的大小例3

(多选)若0<a<1，则下列选项中正确的是(

)A.a2.7<a3.5

B.0.99a<1.01aC.(a+1)0.8<(a+1)0.7

D.(1-a)-0.1>(1-a)0.1BD[解析]

对于A，当0<a<1时，y=ax是减函数，所以a2.7>a3.5，故A错误;对于B，当0<a<1时，函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，故0.99a<1.01a，故B正确;对于C，当0<a<1时，1<a+1<2，则y=(a+1)x是增函数，故(a+1)0.8>(a+1)0.7，故C错误;对于D，当0<a<1时，0<1-a<1，y=(1-a)x是减函数，(1-a)-0.1>(1-a)0.1，D正确.故选BD.角度2.解简单的指数方程或不等式

D[解析]

作出函数f(x)的图象，如图，当x<0时，f(x)=|2x-1|=1-2x∈(0，1)，由图可知，f(a)=f(b)=f(c)∈(0，1)，即4-c∈(0，1)得3<c<4，则8<2c<16，由f(a)=f(b)，即|2a-1|=|2b-1|，得1-2a=2b-1，求得2a+2b=2，∴2a+c+2b+c=2c(2a+2b)=2×2c∈(16，32).角度3.求参数值(范围)

A

(2)已知函数f(x)=9x-m·3x-1，函数g(x)=2|x|+1，若对任意的x1∈[-2，1]，总存在x2∈R，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为

.

[小结]有关指数函数性质的问题类型及解题思路1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0”或“1”等中间量比较大小.2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及单调性问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.[提醒]在研究指数型函数