第八章　进阶篇　进阶4　定点问题

进阶4定点问题第八章进阶篇圆锥曲线中的综合问题重点解读在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定.直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点.

题型一直线过定点问题

解析几何中定点问题的解题策略(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为①设直线方程为y=kx+m(或x=ny+t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值；③将②的结果代入y=kx+m(或x=ny+t)，得到定点坐标.(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)；②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法)思维升华跟踪训练1

已知点F(0，1)，P是平面上一动点，以|PF|为直径的圆与x轴相切，设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；

解所以b2=(2k-1)2，所以b=2k-1或b=-2k+1，当b=-2k+1时，直线AB的方程为y=kx-2k+1，过定点M(2，1)，舍去；当b=2k-1时，直线AB的方程为y=kx+2k-1=k(x+2)-1，过定点(-2，-1)，所以直线l过定点(-2，-1).

题型二圆过定点问题

圆过定点问题的解题策略(1)利用特殊情况寻找特殊点.(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.思维升华跟踪训练2

已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；

跟踪训练2

已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.

跟踪训练2

已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.

跟踪训练2

已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.

课时精练答案121.(1)解

将点(2，-1)代入抛物线方程得22=-2p×(-1)，可得p=2，故抛物线C的标准方程为x2=-4y，其准线方程为y=1.

答案121.

答案121.则圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，令x=0，整理可得y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0，1).答案121.答案122.

答案122.

答案122.

答案122.

答案122.即t2=t2-4，显然不成立，即(m-2)y1-(m+2)y2≠0，故m=4，满足Δ>0，直线RQ：x=ty+4，所以直线RQ过定点(4，0).答案122.1.已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；12答案解将点(2，-1)代入抛物线方程得22=-2p×(-1)，可得p=2，故抛物线C的标准方程为x2=-4y，其准线方程为y=1.

1.已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y=-1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.12答案

1.已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y=-1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.12答案证明则圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，令x=0，整理可得y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0，1).1.已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，