第二章　§2.9　函数的图象

第二章

§2.9函数的图象1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.利用描点法作函数图象的步骤：

、

、

.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换列表描点连线f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k(2)对称变换①y=f(x)

y=

.②y=f(x)

y=

.③y=f(x)

y=

.④y=ax

(a>0，且a≠1)y=

.(3)翻折变换①y=f(x)

y=

.②y=f(x)

y=

.-f(x)f(-x)-f(-x)logax(a>0，且a≠1)|f(x)|f(|x|)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=|f(x)|为偶函数.(

)(2)函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到.(

)(3)函数y=f(x)与y=f(x+1)的值域相同.(

)(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(

)自主诊断×√√×

√

√

4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称，再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=

.

解析由题意可知f(x)=e-x，把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e-(x-1)=e-x+1的图象.e-x+1

微点提醒返回探究核心题型

题型一作函数的图象

例1

作出下列各函数的图象：(2)y=x2-2|x|-3；

函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.(4)画函数的图象一定要注意定义域.思维升华跟踪训练1作出下列各函数的图象：(1)y=|x2-4x-5|；解y=|x2-4x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示.跟踪训练1作出下列各函数的图象：(2)y=|log2(x+1)|.解y=|log2(x+1)|，其图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示.

题型二函数图象的识别√

(2)(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=|f(x-1)|+1的图象大致为√解析先将y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象，然后保留x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到y=|f(x-1)|的图象，最后将图象向上平移1个单位长度得到y=|f(x-1)|+1的图象，故C正确.识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.思维升华跟踪训练2

(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8，2.8]的图象大致为√

√

例3

(多选)关于函数f(x)=|ln|x-2||，下列描述不正确的有A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2D.函数f(x)有且仅有一个零点命题点1利用图象研究函数的性质题型三函数图象的应用√√解析函数f(x)=|ln|x-2||的图象由函数y=|ln|x||的图象向右平移2个单位长度得到.易知函数y=|ln|x||为偶函数，先画出函数y=|ln

x|的图象，再保留该部分图象并将该部分图象关于y轴对称，即得到函数y=|ln|x||的图象，再向右平移2个单位长度即得到函数f(x)=|ln|x-2||的图象，如图所示，由图象可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故选项A正确；解析由图象可得函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故选项B正确；若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，若x1，x2关于直线x=2对称，则x1+x2=4，故选项C错误；由图象可得函数f(x)有两个零点，故选项D错误.

命题点2利用图象解不等式√

命题点3利用图象求参数的取值范围√解析画出函数f(x)的大致图象如图所示，不妨设a<b<c，令t=f(a)=f(b)=f(c)，结合f(10)=1和图象可知t∈(0，1)，ab=1，c∈(10，12)，则abc=c，故abc的取值范围为(10，12).当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.思维升华跟踪训练3

(1)(多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是A.f(x)在[2，+∞)上单调递增B.f(x)的最小值为-4C.方程f(x)=-1有2个解D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t)√√√

(2)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，则实数t的值为

.

1解析由题图可知不等式-2<f(x+t)<4，即f(3)<f(x+t)<f(0)，由图知函数f(x)单调递减，所以x+t∈(0，3)，即不等式的解集为(-t，3-t)，又因为不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，所以-t=-1且3-t=2，可得t=1.返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案ABBBBBACBCD题号9101314答案(-1，1]A答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.(3)由图知，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-3]和[0，3]，单调递减区间为[-3，0]和[3，+∞)，函数f(x)在x=-3和x=3处取得最大值，且f(3)=f(-3)=4，所以函数f(x)的最大值为4.答案123456789101112131412.(1)当x≤0时，0<2x≤1，则f(x)=|2x-2|=2-2x∈[1，2)，作出函数f(x)的图象，如图所示.答案123456789101112131412.(2)由f(x)-m=0可得m=f(x)，则方程f(x)-m=0的根的个数即为直线y=m与函数y=f(x)图象的交点个数，如图所示.当m≤0时，方程f(x)-m=0无实根；当0<m<1或m≥2时，方程f(x)-m=0只有一个实根；当1≤m<2时，方程f(x)-m=0有两个不相等的实根.一、单项选择题1.(2026·北京朝阳区检测)为了得到函数y=ln(ex)的图象，只需把函数y=lnx图象上所有的点A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度C.向左平移e个单位长度D.向右平移e个单位长度√1234567891011121314答案知识过关1234567891011121314答案解析因为y=ln(ex)即为y=1+ln

x，故只需把函数y=ln

x图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A正确，B错误；对于C，把函数y=ln

x图象上所有的点向左平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x+e)，故C错误；对于D，把函数y=ln

x图象上所有的点向右平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x-e)，故D错误.

1234567891011121314答案√解析由图可知，函数f(x)为偶函数，排除A，C；又函数f(x)在x=0处无定义，排除D，故B正确.3.(2026·淄博模拟)函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的图象大致为1234567891011121314答案√解析函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的定义域为{x|x≠0}，又f(-x)=(2-x+2x)ln|-x|=(2x+2-x)ln|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，则函数图象关于y轴对称，故排除D；当0<x<1时，ln|x|<0，2x>0，2-x>0，所以f(x)<0，故排除A，C，故B正确.4.(2026·铜仁模拟)某条公共汽车的路线收支差额(收支差额=车票收入-支出费用)y与乘客人数x的图象如图所示.由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：(1)不改变车票价格，减少支出费用；(2)不改变支出费用，提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态.则下列说法正确的是A.①反映了建议(2)，③反映了建议(1)B.①反映了建议(1)，③反映了建议(2)C.②反映了建议(1)，④反映了建议(2)D.④反映了建议(1)，②反映了建议(2)1234567891011121314答案√1234567891011121314答案解析建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象且在原图象上方，故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图象倾斜度增大，故③反映了建议(2).5.(2025·扬州模拟)已知图①对应的函数为y=f(x)，则图②对应的函数是A.y=f(-|x|) B.y=-f(-|x|)C.y=f(-x) D.y=-f(-x)1234567891011121314答案√解析由图①②可知，将y=f(x)在(-∞，0]上的的图象沿着y轴对称得到y=f(-|x|)的图象，然后再沿着x轴翻折，即可得到y=-f(-|x|)的图象.

1234567891011121314答案√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案三、填空题9.(2025·日照模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1，1)，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是

.

(-1，1]1234567891011121314答案

当x=1时，y=log2(1+1)=log22=1，所以f(x)与y=log2(x+1)的交点坐标为(1，1)，由图象可得不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为(-1，1].10.若函数f(x)=x(|x|-2)在[m，n]上的最小值是-1，最大值是3，则n-m的最大值为

.

1234567891011121314答案

四、解答题11.设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分.(1)在图中的直角坐标系中将函数f(x)的图象补充完整；解如图，根据函数f(x)为偶函数，函数的图象关于y轴对称，其完整图象如图.1234567891011121314答案11.设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分.(2)求函数f(x)在[0，+∞)上的解析式；

1234567891011121314答案11.设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分.(3)求函数f