第七章　§7.2　球的切、接问题

第七章

§7.2球的切、接问题球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.重点解读课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识

六、圆锥的外接球R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).返回探究核心题型

√题型一外接球命题点1定义法

√命题点2补形法

8π

√命题点3垂面法解析如图所示，连接AC，BD交于点O1，取AD的中点E，连接O1E，SE，由题意知，O1E⊥AD，SE⊥AD，O1为正方形ABCD外接圆的圆心，又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，O1E⊂平面ABCD，所以O1E⊥平面SAD，同理可得SE⊥平面ABCD，设等边△SAD的外接圆的圆心为O2，过O2作O1E的平行线，过O1作SE的平行线，2条直线交于点O，则OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAD，所以O为四棱锥S-ABCD外接球的球心，

空间几何体外接球问题常见解法(1)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上.特殊几何体(正棱锥、直棱柱、正棱台等)的外接球的球心，常用定义法.(2)补形法：满足下列条件的可以补成长方体①(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.②三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②.③(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.思维升华(3)垂面法：找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.思维升华

√

例4

圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为3，则该圆台的内切球的表面积为A.πB.2πC.4πD.8π题型二内切球与棱切球√命题点1内切球

√命题点2棱切球

多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.思维升华

√

16π

微拓展多球堆叠相切问题多球堆叠相切问题关键是连接各球的球心，通过研究球心连接成的几何体解题.微拓展典例

(1)把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，在这四个球所形成的空隙中放入一个小球，则此小球的最大半径为

.

微拓展

√

返回课时精练对一对答案12345678910题号12345678答案CADCDCBCDBC题号910答案41π

一、单项选择题1.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为A.48πB.24π C.12π D.6π√12345678910答案知识过关12345678910答案

2.各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为A.1∶27 B.1∶9 C.1∶3 D.9∶112345678910√答案

√12345678910答案12345678910答案

√12345678910答案1234567891011121314答案

5.(2025·景德镇模拟)已知三棱锥P-QRS的各条棱都与同一个球面相切，若PQ=4，PR=5，PS=6，QS=8，则△QRS的周长为A.12B.16

C.20

D.24√12345678910答案12345678910答案解析如图，设球与棱PQ，PR，PS的切点分别为A，B，C，则PA=PB=PC，设PA=PB=PC=x，因为PQ=4，PR=5，PS=6，则QA=4-x，RB=5-x，SC=6-x，又QS=QA+SC=(4-x)+(6-x)=8，解得x=1，则QR=QA+RB=(4-1)+(5-1)=7，RS=RB+SC=(5-1)+(6-1)=9，所以△QRS的周长为QR+RS+QS=7+9+8=24.

12345678910答案√12345678910答案解析如图，取BC的中点E，BD的中点F，因为BC⊥CD，所以F为△BCD的外心，连接AE，EF，设△ABC的外心为G，因为AB=BC=AC=2，即△ABC为等边三角形，所以点G在AE上，连接OG，OF，则OG⊥平面ABC，OF⊥平面BCD，因为平面ABC⊥平面BCD，所以OG⊥OF，因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点，12345678910答案解析所以AE⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，则AE∥OF，因为E，F分别为BC，BD的中点，所以EF∥CD，又BC⊥CD，所以EF⊥BC，同理可得EF⊥平面ABC，所以EF∥OG，故四边形OGEF是矩形.12345678910答案

12345678910答案二、多项选择题7.(2025·黄冈模拟)将一个棱长为10

cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是A.底面半径为8

cm，高为10

cm的圆柱体B.底面直径为8

cm，高为8

cm的圆锥体C.半径为5

cm的球体D.各棱长均为10

cm的四面体√√√12345678910答案

12345678910答案√√12345678910答案

分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，连接MH，HG，NG，MN，MG，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线MG的中点，12345678910答案

12345678910答案三、填空题9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，AB=4，PA=3，则此四棱锥外接球的表面积为

.41π123456