第七章　§7.10　立体几何中的动态、轨迹问题

第七章

§7.10立体几何中的动态、轨迹问题“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.重点解读

题型一平行、垂直中的动态轨迹问题√

解析方法二

∵PM⊥MD，∴点M在以PD为直径的球上，又点M在底面ABCD(含边界)中，故所求轨迹为该球与底面的交线，设O为AC与BD的交点，∵PO⊥平面ABCD，令E为PD的中点，∴E为球心，取OD的中点为N，连接EN，则EN∥PO，∴EN⊥平面ABCD，

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.思维升华

题型二距离、角度有关的动态轨迹问题√

距离、角度有关的轨迹问题(1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹.(2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.思维升华跟踪训练2

(2025·十堰模拟)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，H为DD1上的三等分点且靠近D1点，在侧面ABB1A1内作边长为1的正方形EFGB1，P是侧面ABB1A1内(包括边界)一动点，且点P到平面BCC1B1的距离与线段PF的长度相等.则当点P运动时，HP2的最小值是A.12 B.13 C.14

D.17√解析建立空间直角坐标系，如图所示，过P作PN⊥BB1，垂足为N，则点P到平面BCC1B1的距离即为PN的长，

题型三翻折有关的动态轨迹问题√√√

翻折有关的轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.思维升华

√√

课时精练对一对答案12345678题号1234567答案BCDAABBD题号8答案一、单项选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是A.点B1 B.线段B1CC.线段B1C1 D.平面B1BCC1√12345678答案12345678答案解析如图，连接A1C，因为BC1⊥A1Q，BC1⊥A1B1，A1Q∩A1B1=A1，A1Q，A1B1⊂平面A1B1Q，所以BC1⊥平面A1B1Q，又B1Q⊂平面A1B1Q，所以BC1⊥B1Q，又BC1⊥B1C，所以点Q在线段B1C上.

12345678√答案12345678答案

√12345678答案12345678答案

12345678答案

4.已知正四面体SABC，若底面ABC内(包括边界)有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是A.一条线段 B.一个点C.一段圆弧 D.抛物线的一段√12345678答案12345678答案

12345678答案

12345678答案√√12345678答案

因为圆锥轴截面的顶角为∠BAD=∠BCD=120°，大于90°，则存在两条母线互相垂直，即存在点P，使得CD⊥PC，而AB∥CD，因此存在点P，使得AB⊥PC，故C错误；12345678答案解析当PB=2时，三棱锥P-ABC为正四面体，将△PAB，△PCB展开在同一平面内，如图，显然四边形ABCP为菱形，∠BAP=60°，

12345678答案√√12345678答案

图1

图212345678答案

图1图212345678答案解析方法二

对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确.

12345678答案

12345678答案三、填空题7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M在正方体内部运动(包括表面，不包括点B)，且BM∥平面AD1C