第三章　进阶篇　导数中的零点问题　进阶2　隐零点

第三章进阶篇

导数中的零点问题进阶2隐零点导数解决函数综合性问题最终都回归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系.导函数的零点，根据其数值计算上的差异，可以分为两类：一类是数值上能精确求解，不妨称为“显零点”；另一类是能判断其存在但数值上无法精确求解的，称为“隐零点”.重点解读

题型一隐零点问题

解当x=1时，g(1)=ae>0，所以∃x0∈(0，1)，使得g(x0)=0，即f'(x0)=0，且当x∈(0，x0)时，g(x)<0，即f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，+∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，f(x)单调递增，

(1)零点确定性过程：确认隐零点可直接利用函数零点存在定理，也可由函数的图象特征，以及题设条件来确定隐零点的存在.(2)虚设零点，单调性分析：零点不可解，不妨设为x0，以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式.(3)代换化简(难点)：找到隐零点满足的方程，可以用来对目标式进行代换与化简.思维升华

解由题f'(x)=cos

x+2ax，令h(x)=cos

x+2ax，x∈(0，π)，则h'(x)=-sin

x+2a，x∈(0，π)，sin

x∈(0，1]，当a=0时，f(x)=sin

x，根据正弦函数性质知f(x)在(0，π)上的零点个数为0；当a<0时，h'(x)=-sin

x+2a<0，故h(x)(即f'(x))在(0，π)上单调递减.又f'(0)=1>0，f'(π)=2aπ-1<0，则∃x0∈(0，π)，使f'(x0)=0，跟踪训练1

已知函数f(x)=sinx+ax2.(2)若a≤0，求f(x)在(0，π)上的零点个数.解则f'(x)>0⇒x∈(0，x0)；f'(x)<0⇒x∈(x0，π)，故f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减.又f(0)=0，所以当x∈(0，x0)时，f(x)>0，f(x0)>0，又f(π)=aπ2<0，则存在x1∈(x0，π)，使f(x1)=0，即f(x)在(0，π)上有1个零点.综上，当a=0时，f(x)在(0，π)上的零点个数为0；当a<0时，f(x)在(0，π)上的零点个数为1.跟踪训练1

已知函数f(x)=sinx+ax2.(2)若a≤0，求f(x)在(0，π)上的零点个数.题型二零点赋值例2

已知函数f(x)=x(lnx-1)-aex+eax+1，a∈R.(1)若a≤0，证明：f(x)≥0；证明

函数f(x)=x(ln

x-1)-aex+eax+1的定义域为(0，+∞)，得f'(x)=ln

x-aex+ea，显然当a≤0时，函数f'(x)在(0，+∞)上单调递增，而f'(1)=0，即当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，因此，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∀x>0，f(x)≥f(1)=0，所以f(x)≥0.例2

已知函数f(x)=x(lnx-1)-aex+eax+1，a∈R.(2)若(x-1)f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.

例2

已知函数f(x)=x(lnx-1)-aex+eax+1，a∈R.(2)若(x-1)f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.

例2

已知函数f(x)=x(lnx-1)-aex+eax+1，a∈R.(2)若(x-1)f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.

例2

已知函数f(x)=x(lnx-1)-aex+eax+1，a∈R.(2)若(x-1)f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.解而f'(1)=0，当x0<1时，在(x0，1)上，f'(x)>0，f(x)在(x0，1)上单调递增，当x∈(x0，1)时，f(x)<f(1)=0，不符合题意，当x0>1时，在(1，x0)上f'(x)>0，f(x)在(1，x0)上单调递增，当x∈(1，x0)时，f(x)>f(1)=0，不符合题意，当x0=1时，f'(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∀x∈(0，+∞)，f'(x)≤f'(1)=0，得f(x)在(0，+∞)上单调递减，而f(1)=0，即当x∈(0，1)时，f(x)>0，例2

已知函数f(x)=x(lnx-1)-aex+eax+1，a∈R.(2)若(x-1)f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.

(1)赋值点需要做到三个优先：①优先常数赋值点；②优先借助已有极值求赋值点；③优先简单运算.(2)有时赋值点无法确定，可以先对解析式进行放缩，再根据不等式的解确定赋值点，放缩法的难度在于“度”的掌握.思维升华

课时精练答案121.

答案121.

答案121.

答案121.

答案121.

答案122.

答案122.

2.

答案122.

答案121.已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(1)当a=-1时，求f(x)的单调区间；12答案

1.已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(2)对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)≤xex成立，求实数a的取值范围.12答案

1.已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(2)对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)≤xex成立，求实数a的取值范围.12答案

1.已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(2)对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)≤xex成立，求实数a的取值范围.12答案

1.已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(2)对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)≤xex成立，求实数a的取值范围.12答案

1.已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(2)对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)≤xex成立，求实数a的取值范围.12答案

12答案

12答案

12答案2.设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f'(x)，且f'(x)在D上存在导函数f″(x)(其中f″(x)=[f'(x)]').定义：若区间D上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凸函数.(2)若函数f(x)=asinx-x2，②若a=2，判断g(x)=f(x)+1在区间(0，π)上的零点个数.

12答案2.设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f'(x)，且f'(x)在D上存在导函数f″(x)(其中f″(x)=[f'(x)]').定义：若区间D上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凸函数.(2)若函数f(x)=asinx-x2，②若a=2，判断g(x)=f(x)+1在区间(0，π)上的零点个数.

12答案2.设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f'(x)，且f'(x)在D上存在导函数f″(x)(其中f″(x)=[f'(x)]').定义：若区间D上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凸函数.(2)若函数f(x)=asinx-x2，②若a=2，判断g(x)=f(x)+1在区间(0，π)上的零点个数.解即g(x)在(0，x