第十章　§10.7　概率与统计的综合问题

第十章

§10.7概率与统计的综合问题重点解读从近几年高考情况来看，概率与统计的综合问题在高考中的重点方向主要是频率分布直方图、回归分析、独立性检验和分布列的结合.例1

(2025·石家庄模拟)某短视频平台推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数；题型一统计图表与分布列的综合问题

地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)的志愿者人数，求X的分布列及期望.例1

(2025·石家庄模拟)某短视频平台推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图.(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好

地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)的志愿者人数，求X的分布列及期望.例1

(2025·石家庄模拟)某短视频平台推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图.(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好

X0123P统计图表与概率综合问题的求解策略(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据.(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等).(3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.思维升华跟踪训练1

(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表.假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率.(1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；

使用次数分组区间初中生人数高中生人数[0，10)43[10，20)3829[20，30)4828[30，40)a17[40，50]63跟踪训练1

(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表.使用次数分组区间初中生人数高中生人数[0，10)43[10，20)3829[20，30)4828[30，40)a17[40，50]63假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率.(2)从参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布列和数学期望；

跟踪训练1

(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表.使用次数分组区间初中生人数高中生人数[0，10)43[10，20)3829[20，30)4828[30，40)a17[40，50]63假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率.(2)从参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布列和数学期望；

X0123P跟踪训练1

(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表.假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率.(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数分别为Y1和Y2，比较D(Y1)与D(Y2)的大小.

使用次数分组区间初中生人数高中生人数[0，10)43[10，20)3829[20，30)4828[30，40)a17[40，50]63跟踪训练1

(2025·北京昌平区模拟)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]五个区间进行分组，所得样本数据如表.假设每名学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立.用频率估计概率.(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数分别为Y1和Y2，比较D(Y1)与D(Y2)的大小.解该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数服从二项分布，即Y1~B(8，0.4)，Y2~B(8，0.35)，所以D(Y1)=8×0.4×0.6=1.92，D(Y2)=8×0.35×0.65=1.82，因为1.92>1.82，所以D(Y1)>D(Y2).使用次数分组区间初中生人数高中生人数[0，10)43[10，20)3829[20，30)4828[30，40)a17[40，50]63例2

(2025·曲靖模拟)某科技公司旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该机器人在某地区2025年1月至5月的销售量如表所示.题型二回归模型与分布列的综合问题(1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程；月份x12345销售量y/台2637506493

例2

(2025·曲靖模拟)某科技公司旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该机器人在某地区2025年1月至5月的销售量如表所示.(1)经计算样本相关系数r≈0.98，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程；月份x12345销售量y/台2637506493

(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和数学期望.

例2

(2025·曲靖模拟)某科技公司旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该机器人在某地区2025年1月至5月的销售量如表所示.月份x12345销售量y/台2637506493(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和数学期望.

例2

(2025·曲靖模拟)某科技公司旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出该机器人在某地区2025年1月至5月的销售量如表所示.月份x12345销售量y/台2637506493X012P回归模型与分布列的综合问题解题思路(1)此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题，即①求回归方程(预测)；②求某随机变量的分布列、均值、方差等.(2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的.(3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.思维升华

(1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；跟踪训练2

(2026·扬州模拟)2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到数据如表所示.

第x天1234567营业额y791113161817

(1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测春节假期第8天的营业额；跟踪训练2

(2026·扬州模拟)2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到数据如表所示.

第x天1234567营业额y791113161817

(2)如果某天营业额大于10(单位：千元)，则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设X表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望.跟踪训练2

(2026·扬州模拟)2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到数据如表所示.

第x天1234567营业额y791113161817

(2)如果某天营业额大于10(单位：千元)，则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设X表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望.跟踪训练2

(2026·扬州模拟)2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额y(单位：千元)，得到数据如表所示.

第x天1234567营业额y791113161817X234P例3

(2025·呼和浩特模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名学生在某一周参加体育锻炼的数据，结果如表.题型三独立性检验与分布列的综合问题一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数3225654330女生人数9236432130合计1245111086460

性别锻炼合计不经常经常男生

女生

合计

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635

性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960例3

(2025·呼和浩特模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名学生在某一周参加体育锻炼的数据，结果如表.

性别锻炼合计不经常经常男生

女生

合计

一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数3225654330女生人数9236432130合计1245111086460α0.10.050.01xα2.7063.8416.635

X0123Pα0.10.050.01xα2.7063.8416.635例3

(2025·呼和浩特模拟)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名学生在某一周参加体育锻炼的数据，结果如表.

性别锻炼合计不经常经常男生

女生

合计

一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数3225654330女生人数9236432130合计1245111086460

Y0123P独立性检验与分布列综合问题的解题思路解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后与相应的临界值进行比较，其次按照随机变量满足的概率模型求解概率值，然后列出相应的分布列求期望、方差等.思维升华跟踪训练3

(2026·河池模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表.是否成年人是否喜欢合计不喜欢喜欢未成年人m80100成年人20s80合计nt180

跟踪训练3

(2026·河池模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到右表.是否成年人是否喜欢合计不喜欢喜欢未成年人m80100成年人20s80合计nt180

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635跟踪训练3

(2026·河池模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到右表.是否成年人是否喜欢合计不喜欢喜欢未成年人m80100成年人20s80合计nt180

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635

X012P跟踪训练3

(2026·河池模拟)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到右表.是否成年人是否喜欢合计不喜欢喜欢未成年人m80100成年人20s80合计nt180

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635课时精练答案1231.

答案1231.

答案1231.X012P

答案1231.

答案1232.

X345P答案1232.

答案1233.

答案1233.X1234P

答案1233.

(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；1.(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图.123答案

(2)从B地区评分在[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；1.(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图.123答案

X012P(2)从B地区评分在[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；1.(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图.123答案

(3)根据图中的样本数据，假设同组数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均数估计为μ1，A，B两地区评分的平均数估计为μ，比较μ1与μ的大小关系.1.(2025·北京朝阳区模拟)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分组整理得到如图所示的频率分布直方图.123答案123答案2.为了大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台对本乡村的农产品进行销售，在众多主播中随机抽取了10名主播，统计得到观看人次和农产品销售量的数据如表所示.观看人次x(万次)76827287