第四章　§4.8　解三角形应用举例

第四章

§4.8解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α

例：

坡角与坡比

自主诊断√×√×2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔BA.北偏东10°方向

B.北偏西10°方向C.南偏东80°方向

D.南偏西80°方向√解析由题可知，∠CAB=∠CBA=40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1

km，且C=120°，则A，B两点间的距离为

km.

1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.2.谨防两个易误点(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.微点提醒返回探究核心题型

√题型一测量距离问题

√

距离问题的解题策略选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.思维升华跟踪训练1

如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB=5

km，AD=7

km，∠ABD=60°，∠CBD=23°∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为

km.(精确到0.1

km，参考数据：sin

40°≈0.643，sin

117°≈0.891)

5.8

题型二测量高度问题√

√

高度问题的易错点(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.思维升华

√

题型三测量角度问题

角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.思维升华

30°

返回课时精练对一对答案12345678910题号1234567答案ABBBBCDAD题号8答案答案123456789109.

答案123456789109.

答案1234567891010.

答案1234567891010.

√12345678910答案12345678910答案

12345678910√答案12345678910答案

3.如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于A.30°B.45° C.60° D.75°√12345678910答案12345678910答案

√12345678910答案12345678910答案

二、多项选择题5.(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，

B两点间距离B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物

底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5

m到达B处，再

次测量旗杆顶端的仰角β√12345678910答案√√解析对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=h+ADsin

β，故B正确；对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtan

α，故C正确；对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=ADsin

α，故D正确.12345678910答案

12345678910答案√√12345678910答案

12345678910答案三、填空题7.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD=60

m，则河流的宽度BC=

m.

12345678910答案

8.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100

m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50

m，且山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ=

.

12345678910答案

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