6431余弦定理课件-高一下学期数学人教A版

6.4.3.1余弦定理

6.4.3平面向量的应用情境引入CBA120°300米200米

如图，三个小岛A,B,C已知C岛与B岛相距300米，C岛与A岛相距200米，且∠BCA=120°

你能求出岛A与岛B之间的距离吗？数学建模1200CBA200m300m由条件，岛A、岛B和岛C在△ABC的三个顶点上，且BC=300m，AC=200m，∠C=120°，要求边AB的长度？

在三角形中，已知两边和夹角，

怎样求对边?如图，在△ABC中，已知两边a,b和∠C,用a,b和∠C怎么表示边c?CBAba一个三角形含有各种各样的儿何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在看确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题余弦定理的推导分析：因为涉及三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.设，那么∴

①把几何元素用向量表示：②进行恰当的向量运算：③向量式化成几何式：

问题1如何利用向量的方法得到边c呢？CBAba方法一：向量法余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言：（余弦定理适用于任何三角形）文字语言：cba问题2：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.

abc法2：坐标法以C为原点，CB所在直线为ｘ轴，过C点做CB的垂线为ｙ轴，如图所示的平面直角坐标系余弦定理的推导余弦定理的推导情况一：当C为直角时，情况二：当C为锐角时，情况三：当C为钝角时，特殊一般法3：勾股定理问题3：已知三条边求三角形的角？余弦定理的推论余弦定理：推论：

一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。应用1：已知两边及其夹角，解三角形应用2：已知三边，解三角形余弦定理的应用类型一：已知两边及夹角解三角形(SAS)类型二：已知两边及一角解三角形(SSA)2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于 (

) A．60° B．45° C．120° D．30°

答案：C变式利用余弦定理判断角的形状问题4如何利用余弦定理判断角的形状?答案：C

[典例]在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状.[方法技巧]判断三角形形状的基本思想和三条思路基本思想判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想三条思路化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式化为不等关系．如△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2(cosC

＞0)且b2＋c2＞a2(cosA＞0)且c2＋a2＞b2(cosB＞0)．△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2(cosC＜0)或b2＋c2