2026年四川省乐山市中考数学试卷真题及答案解析

第1页/共1页2026年四川省乐山市中考数学试卷真题及答案解析本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第Ⅰ卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1.下面几何体中，是球体的是（）A. B. C. D.2.下列各数是不等式的解的是（）A. B. C. D.3.年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元．数据1200000000000用科学记数法表示为（）A.1.2×109 B.1.2×10104.如图，两条平行线、被第三条直线c所截．若，则（）A. B. C. D.5.一个布袋里放着3个红球和个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取个球，取出红球的概率是（）A. B.25 C.13 D.6.若实数、满足a-2+(b+3)2=0，则A. B. C. D.7.如图，在中，点、、F分别是AB、、的中点，连接、EF、．若S△DEF=1，则（）A. B.4 C. D.88.如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（）A.AB=AD B.C. D.9.若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（）A. B. C.ab-1 D.3ba10.已知二次函数y=x2①二次函数图象与轴的交点坐标是0,c；②二次函数的顶点坐标是b2③若二次函数图象经过、两点，且，则b>-2；④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则m-n的值与c无关．其中，正确的结论有（）A.个 B.个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11.的相反数是_________．12.sin30°=_________13.一组数据3，，9，，的中位数是_________．14.已知方程的两个根是和，则x1x2=_________15.如图，在中，，，，点为斜边的中点，则_________．16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的，3，，称为三角形数，第二行的，4，9，称为四边形数，第三行的，5，12，称为五边形数．（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）：①；②；③．（2）我们将边形数中第个数记为Nn,kk≥3．已知Nn,3=12n2+12n三、解答题：本大题共10个小题，共102分．17.计算：-2+18.解方程组：2x+y=519.化简：x+3x-320.如图，已知，．求证：BC=BD．21.某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有________人，表中的值为________；（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．22.如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于P-1,a、Qb,-1两点，连接OP（1）求、的值和反比例函数的表达式；（2）求的面积．23.如图，AB为的直径，点C为圆上一点，点在延长线上，连接，且．（1）求证：为的切线；（2）若tanD=34，的半径为3，求24.在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．【感知密铺】（1）同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．正多边形的边数345…正多边形的内角和540°…正多边形每个内角的大小108°…上表中a=________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面．【探寻密铺】（2）同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到．【创作密铺】（3）最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点位置的密铺设计图．25.如图，在矩形中，AB=3、AD=1，点P在线段上（点P不与点重合），连结AP，将沿AP翻折得到、点的对应点为D'．（1）求AD（2）求证：当DP=1时，四边形AD'（3）若点在线段上，且BQ=DP=a0<a≤3，连接CQ、将沿CQ翻折得到△B'CQ、点的对应点为，设点与点D'之间的距离为，求的取值范围．26.已知抛物线C:y=x2-2x-3交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点P．（1）求A、两点的坐标；（2）直线l:y=kx+bk≠0与抛物线C交于，两点．①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由；②若∠DPE=90°，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2026年四川省乐山市中考数学试卷真题及答案解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1.下面几何体中，是球体的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：A、是柱体，不符合题意；B、是锥体，不符合题意；C、是球体，符合题意；D、是锥体，不符合题意．2.下列各数是不等式的解的是（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【详解】解：x-1>0移项可得，∴四个选项中只有A选项中的数是原不等式的解．3.年，我国人工智能核心产业规模突破1.2万亿元．数据1200000000000用科学记数法表示为（）A.1.2×109 B.1.2×1010【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值.【详解】解：∵科学记数法要求，的值等于原数的整数位数减1，原数1200000000000共有13位整数，将小数点左移12位可得a=1.2，∴n=12，即1200000000000=1.2×104.如图，两条平行线、被第三条直线c所截．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：由题意可知，故∠1=∠2=40°．5.一个布袋里放着3个红球和2个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（）A. B.25 C.13 D.【答案】A【解析】【分析】根据概率公式，用红球个数除以布袋中球的总个数即可求解．【详解】解：布袋中球的总个数为3+2=5，红球个数为3，∴从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．6.若实数、满足a-2+(b+3)2=0，则A.1 B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可．【详解】∵a-2≥0，(b+3)2≥0∴a-2=0，b+3=0，解得：，，∴ab=2×(-3)=-6．7.如图，在中，点、、F分别是、、的中点，连接、EF、．若S△DEF=1，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】先证明S△BDE【详解】解：点、分别是、的中点，∴DE∥AC,DE=12∴△BDE∽△BAC，∴S△BDE同理可证，S△ADF∴S△DEF由S△DEF=1∴S△ABC=48.如图，四边形是平行四边形，AC与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（）A.AB=AD B.C. D.【答案】C【解析】【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意；C、AC=BD，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意；D、∵四边形是平行四边形，∴，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠DAC，∴AD=CD，∴平行四边形是菱形，不符合题意；综上，故选C．9.若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（）A. B. C.ab-1 D.3ba【答案】A【解析】【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比，即可判断分式值是否改变.【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断：选项A：∵(2a∴替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意；选项B：替换后得(2a)(2b)2a+2b选项C：替换后得2a2b-1选项D：替换后得3(2b)(2a10.已知二次函数y=x2①二次函数图象与轴的交点坐标是0,c；②二次函数的顶点坐标是b2③若二次函数图象经过、两点，且，则b>-2；④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则m-n的值与c无关．其中，正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误．【详解】解：对①：令，得y=c，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确．对②：对函数配方得y=x∴顶点坐标为-b2,c-对③：代入A,B坐标得y1=1-b+c，y2=9+3b+c∴1-b+c>9+3b+c，化简得b<-2，结论错误，③错误．对④：二次函数开口向上，对称轴为x=-b2，对区间1≤x≤2若-b2≤1，即b≥-2，二次函数随的增大而增大，m-n=(4+2b+c)-(1+b+c)=3+b，不含c；2026若-b2≥2，即b≤-4，二次函数随m-n=(1+b+c)-(4+2b+c)=-3-b，不含c；若1<-b2<2，即-4<b<-2，最小值为顶点纵坐标n=c-b24，最大值在离对称轴更远的端点，计算得m-n仍消去因此m-n的值与c无关，④正确．综上，正确结论共2个．第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11.的相反数是_________．【答案】3【解析】【分析】根据符号不同，绝对值相等的两数是相反数，直接求解即可．【详解】解：的相反数是3．12.sin30°=_________【答案】1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果．【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin30°=13.一组数据3，，9，，的中位数是_________．【答案】9【解析】【分析】根据中位数的定义，将数据从小到大排列后，找出最中间的数即可得到结果．【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为3，，9，12，15，这组数据共有5个数，个数为奇数，处在最中间的数是9，因此这组数据的中位数是9．14.已知方程的两个根是和，则x1x2=_________【答案】3【解析】【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程的两个实数根是x【详解】解：∵方程的两个根是和，∴x1x15.如图，在中，，，，点为斜边AC的中点，则_________．【答案】5【解析】【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；【详解】解：根据题意，得AC=AB由点为斜边AC的中点，∴BD=1216.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的1，3，6，称为三角形数，第二行的1，4，9，称为四边形数，第三行的1，5，12，称为五边形数．（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）：①1；②；③．（2）我们将边形数中第个数记为Nn,kk≥3．已知Nn,3=12n2+12n【答案】①.①③②.3【解析】【分析】（1）根据图形规律，往后写几个数即可求解；（2）设Nn,5=a【详解】（1）解：1和36既是三角形数又是四边形数；根据题意，第一行的三角形数分别为1,3,6,10,15,21,28,36，第二行的四边形数分别为1,4,9,16,25,36,49，第三行的五边形数分别为1,5,12,22,35,51，故1和36既是三角形数又是四边形数．（2）解：∵Nn,3=12n2∴Nn,5也可能是n不妨设Nn,5=a根据题意，得a+b+c=14a+2b+c=5解得a=3故Nn,5三、解答题：本大题共10个小题，共102分．17.计算：-2+【答案】4【解析】2026年四川省乐山市中考数学试卷真题及答案解析【详解】解：-2=2+2．18.解方程组：2x+y=5【答案】x=4【解析】【详解】解：2x+y=5①-②，得．把代入②，得，∴x=419.化简：x+3x-3【答案】【解析】【分析】先用平方差公式化简，再合并同类项即可．【详解】解：原式=．20.如图，已知，．求证：BC=BD．【答案】证明：在△ABC和中，∵AC=AD，，，∴△ABC≌△ABDSAS∴BC=BD．【解析】【分析】利用SAS证明△ABC≌△ABD，即可证明BC=BD．【详解】略21.某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有________人，表中的值为________；（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．【答案】（1）60；（2）【解析】【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可；（2）利用画树状图法或列表法求解即可；【小问1详解】解：根据题意，得学生一共有12÷20％=60故表中的值为60-21-9-12=18．【小问2详解】解：解法一：由题可画树状图：由图可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，∴P（恰好选到课程A和课程B）=1解法二：由题可列表：第一次第二次C

B,AC,AD,AA,B

C,BD,BCA,CB,C

D,CA,DB,DC,D

由表可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，∴P（恰好选到课程A和课程B）=122.如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于P-1,a、Qb,-1两点，连接OP（1）求、的值和反比例函数的表达式；（2）求的面积．【答案】（1），；（2）3【解析】【分析】（1）将P-1,a、Qb,-1代入一次函数解析式即可求出、的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可；（2）设一次函数y=-x+1与轴相交于点，先求出A点坐标，再根据S△POQ=S【小问1详解】解：∵一次函数y=-x+1的图象经过点P-1,a、Q∴--1+1=a，-b+1=-1解得，，∴P-1,2、Q∵反比例函数的图象经过点P-1,2，∴k=-2，∵反比例函数的表达式为；【小问2详解】解：如图，设一次函数y=-x+1与轴相交于点，令，则，即：，∴OA=1，2026年四川省乐山市中考数学试卷真题及答案解析又∵P-1,2，Q∴S23.如图，为的直径，点C为圆上一点，点在延长线上，连接CD，且．（1）求证：CD为的切线；（2）若tanD=34，的半径为3，求【答案】（1）证明：如图所示，连接，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠BCO．为的直径，，∴∠ACO+∠BCO=90°．∴∠ACD+∠ACO=90°，即∠OCD=90°，又是的半径，为的切线；（2）2【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO，则可证明∠ACD=∠BCO，由直径所对的圆周角是直角得到∠ACO+∠BCO=90°，则可证明∠ACD+∠ACO=90°，即∠OCD=90°，据此可证明为的切线；（2）解直角三角形得到CD=4，由勾股定理可得，再由线段的和差关系可得答案．【小问1详解】略【小问2详解】解：由（1）得，∵tanD=34，的半径为∴OCCD=∴CD=4，∴OD=OC∴AD=OD-OA=5-3=2．24.在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．【感知密铺】（1）同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．正多边形的边数3456…正多边形的内角和540°…正多边形每个内角的大小90°108°…上表中a=________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面．【探寻密铺】（2）同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到．【创作密铺】（3）最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点位置的密铺设计图．【答案】（1）；能（2）平移；旋转（3）点位置的密铺设计图如图：【解析】【分析】（1）根据正六边形的内角和求正六边形每个内角的大小即可，再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角，得到正六边形能铺满地面．（2）根据平移与旋转的特征判断即可；（3）先画和为公共边的四边形，再画最后一个四边形即可．【小问1详解】解：正六边形的内角和，则正六边形每个内角的大小a=720°6=120°∵3×120°=360°，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，∴正六边形能铺满地面．【小问2详解】解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到；【小问3详解】略25.如图，在矩形中，AB=3、AD=1，点P在线段CD上（点P不与点重合），连结AP，将沿AP翻折得到、点的对应点为D'．（1）求AD（2）求证：当DP=1时，四边形AD'（3）若点Q在线段上，且BQ=DP=a0<a≤3，连接CQ、将沿CQ翻折得到△B'CQ、点的对应点为，设点与点D'之间的距离为，求的取值范围．【答案】（1）1（2）证明：法一：沿AP翻折得到△AD'P∴AD'=AD=1∴AD∴四边形AD'又∵四边形是矩形，∴，∴四边形AD'法二：∵四边形是矩形，∴．又∵△ADP沿AP翻折得到△AD'∴∠AD'P=∠D=90°，∵DP=AD=1，∴∠DAP=45°，∴∠DAP=∠D'∴∠DAD'∴四边形AD'又∵DP=AD，∴四边形AD'PD（3）0≤d≤2【解析】【分析】（1）根据翻折得到AD'（2）根据翻折得到AD'=AD=1，D'P=DP=1，则AD'=AD=D'（3）①当与D'重合时，此时最小．②当点P与点C重合（点Q与点重合）时，根据折叠证明四边形AB'CD'是矩形，得到d=B'D'=AC=2，此时最大，即可得到点与点【小问1详解】解：沿AP翻折得到△AD'P∴AD'又∵AD=1，∴AD'【小问2详解】略【小问3详解】解：①当与D'重合时，此时．②当点P与点C重合（点Q与点重合）时，∵四边形是矩形，AB=3、AD=1，∴∠ADC=∠ABC=90°，CD=AB=3，AD=BC=1∴AC=AB由折叠可得AD'=AD=1，AB=AB'=3，CD'=CD=∴CB'=AD∴四边形AB∵∠AD'∴平行四边形AB∴B'D∴d=B'∴0≤d≤2．26.已知抛