25.3 实际问题与二次函数 教案

25.3实际问题与二次函数教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0熟练掌握利用二次函数解决面积最值、利润最值、拱桥问题的核心思路和步骤，能从实际问题中准确抽象出二次函数关系。理解用二次函数解决实际问题的一般流程（审、设、列、解、检），精通相关题型的一题多解思路和快速解题技巧，提升解题效率。结合中考真题规律，能综合运用二次函数性质解决实际应用问题，提升中考应试能力。二、教学重难点（一）教学重点二次函数y=ax2+bx+c面积最值、利润最值、拱桥问题的二次函数模型构建与最值求解（一题多解）。用二次函数解决实际问题的一般步骤的规范应用（技巧解题）。（二）教学难点从复杂实际问题中抽象出二次函数关系，准确设定自变量并确定取值范围。二次函数最值与实际问题意义的结合，合理取舍计算结果。中考中二次函数与几何图形、实际应用场景结合的综合题型技巧总结。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、中考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心概念与性质：二次函数最值：一般地，当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是最低点，当x=−b2a时，二次函数有最小值y=4ac−b实际问题转化逻辑：实际问题→抽象转化→数学问题（二次函数模型）→运用数学知识求解→检验取舍→实际结论。核心方法速记：面积最值：定自变量→用面积公式列函数→结合自变量范围求最值。利润最值：设未知数→用利润公式（利润=单利×销量或利润=总售价-总成本）列函数→判断最值是否存在。拱桥问题：建坐标系→找已知点坐标→求抛物线解析式→用解析式解决问题。通用步骤：审→设→列→解→检。（二）考点考频及常考题型1.二次函数的最值求解（考频：10年10考，近5年连续考查）①考频分析属于二次函数模块基础必考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-5分，难度低-中档。核心考查顶点式求最值、一般式转化求最值，常与实际问题结合，极少单独命题。②常考题型题型1：直接求最值（占比30%）示例：二次函数y=xA.1B.2C.3D.4解题核心：将一般式化为顶点式y=x−22+1题型2：结合自变量范围求最值（占比70%）示例：二次函数y=−x2+2x+3A.3B.4C.5D.6解题核心：顶点横坐标x=1（在取值范围内），代入得最大值4；端点x=3时y=0，x=0时y=3，故最大值为4，答案B。2.面积最值问题（考频：10年8考，近3年考查频次上升）①考频分析实际应用类高频考点，多在解答题第1-2问出现，分值6-8分，难度中档。核心考查图形建模（矩形、三角形等）、函数关系式构建，重点关注自变量取值范围对最值的影响。②常考题型题型：图形面积最值计算（占比100%）示例：用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，求菜园面积的最大值。解题核心：设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为30−2x米，面积S=x30−2x=−2x2+30x，自变量范围6≤x<15（因30−2x≤183.利润最值问题（考频：10年9考，近6年无间断）①考频分析中考应用题核心考点，多在解答题中档位置出现，分值8-10分，难度中档-高档。核心考查利润公式的灵活运用、函数关系式构建，常结合销量与售价的关系设置条件。②常考题型题型：利润最大值计算（占比100%）示例：某商品每件进价为20元，售价为30元时，每天可售出200件，售价每上涨1元，销量减少10件，求该商品每天的最大利润。解题核心：设售价上涨x元，利润W=30+x−20200−10x=−10x2+100x+2000，因4.拱桥问题（考频：10年6考，近4年考查稳定）①考频分析几何与函数结合类考点，多在选择、填空压轴或解答题第一问出现，分值3-6分，难度中档。核心考查平面直角坐标系建立、抛物线解析式求解，利用解析式解决高度、跨度等问题。②常考题型题型：拱桥高度/跨度计算（占比100%）示例：某拱桥的形状为抛物线，已知拱桥跨度AB=12米，拱高OC=4米（O为AB中点），求距离A点3米处的拱高。解题核心：以O为原点建坐标系，设抛物线解析式y=ax2+4，代入B60得a=−（三）经典例题解析（35分钟）例题1：二次函数最值求解（基础题·一题多解）题目：求二次函数y=2x解法1：顶点式法（常规法）步骤：a.提取二次项系数：y=2xb.配方：y=2xc.因a=2>0，抛物线开口向上，当x=2时，函数有最小值−3，无最大值。核心依据：配方法将一般式化为顶点式，利用顶点式直接判断最值。解法2：公式法（快捷法）步骤：a.确定系数：a=2，b=−8，c=5；b.计算顶点横坐标：x=−bc.代入求最值：y=4ac−d.因a=2>0，函数有最小值−3，无最大值。核心依据：二次函数最值公式，直接代入系数计算，无需配方。技巧解题：系数观察法技巧：当二次项系数和一次项系数为偶数时，优先用顶点式配方；系数为奇数或分数时，用公式法更快捷，避免计算错误。适用场景：基础题中二次函数最值求解，中考选择/填空速解。中考分析：考频：每年中考必考（基础题），难度低。命题趋势：常与实际问题结合，需先建立函数关系式再求最值，单独求最值题目逐渐减少。真题链接：（2022·江苏中考）二次函数y=xA.-4B.-3C.-2D.-1答案：A（解析：配方得y=x−1例题2：面积最值问题（中档题·一题多解）题目：（2023·山东真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A、B两块，学校已定购篱笆120米。（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积。解法1：设垂直于墙的边长为自变量（常规法）步骤：a.设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为120−3x米（因一道分隔篱笆与垂直边平行，共3条垂直边）；b.面积关系式：S=x120−3xc.自变量范围：x>0，120−3x>0，即0<x<40；d.因a=−3<0，抛物线开口向下，顶点横坐标x=−be.最大面积：S=−3×202+120×20=1200核心依据：根据篱笆长度关系设定自变量，利用矩形面积公式列函数，结合自变量范围求最值。解法2：设平行于墙的边长为自变量（拓展法）步骤：a.设平行于墙的边长为y米，则垂直于墙的边长为120−y3b.面积关系式：S=y×120−yc.自变量范围：y>0，120−y3>0，即d.顶点横坐标y=−be.最大面积：S=−13×核心依据：换元法设定自变量，验证函数最值的一致性，适应不同思维习惯。技巧解题：篱笆问题快速建模技巧技巧：遇“一面靠墙+分隔篱笆”问题，先判断垂直于墙和平行于墙的篱笆条数，快速列出边长与总篱笆长度的关系，避免漏算分隔篱笆；自变量范围需保证各边长为正数。适用场景：矩形面积最值的篱笆问题，中考解答题速解。中考分析：考频：高频考点（解答题），难度中档。命题趋势：常结合种植费用、图形分割等条件拓展，核心仍是面积函数建模与最值求解。真题链接：本题为2023·山东中考真题第（1）问，答案：当垂直于墙的边长为20米，平行于墙的边长为60米时，花园面积最大，最大面积为1200平方米。例题3：利润最值问题（中档题·一题多解）题目：某商店销售一批服装，每件成本为100元，售价为150元时，每天可售出20件，售价每降低5元，销量增加10件，求该商店每天销售这批服装的最大利润。解法1：设售价降低金额为自变量（常规法）步骤：a.设售价降低5x元（x为正整数），则每件售价为150−5x元，销量为20+10x件；b.利润关系式：W=150−5x−100c.自变量范围：150−5x>100（售价高于成本），即x<10，故x=0,1,...,9；d.顶点横坐标x=−be.最大利润：W=−50×42+400×4+1000=1800元，此时售价为150−5×4=130核心依据：以“降低金额的整数倍”设自变量，简化计算，利用利润公式列函数。解法2：设销量增加数量为自变量（拓展法）步骤：a.设销量增加10y件（y为正整数），则售价降低5y元，每件售价为150−5y元，销量为20+10y件；b.利润关系式：W=150−5y−100c.自变量范围：150−5y>100，即y<10，y=0,1,...,9；d.顶点横坐标y=4，最大利润1800元。核心依据：换元法设定自变量，本质是同一函数模型，验证结果一致性。技巧解题：利润问题快速列关系式技巧技巧：利润=（售价-成本）×销量，先明确售价与销量的变化关系（正向/反向），设出中间变量简化计算，避免售价或销量出现分数形式。适用场景：利润最值问题，中考解答题速解。中考分析：考频：高频考点（解答题），难度中档。命题趋势：常结合税收、成本变动等条件拓展，需灵活调整利润公式，自变量范围可能受实际销量、售价限制。真题链接：（2024·浙江中考）某网店销售一款玩具，每件进价40元，当售价为50元时，每天可售出500件，售价每上涨1元，销量减少10件，该网店每天的最大利润是（）A.6000元B.6250元C.6500元D.7000元答案：B（解析：设上涨x元，W=10+x500−10x=−10x2例题4：拱桥问题（中档题·一题多解）题目：一座拱桥的轮廓是抛物线形，桥的跨度AB为16米，拱高CD为4米（D为AB中点，CD⊥AB），求抛物线的解析式及距离D点2米处的拱高。解法1：以D为原点建坐标系（常规法）步骤：a.建立平面直角坐标系：设D为原点00，AB在x轴上，CD在y轴上，则A−80，Bb.设抛物线解析式：因顶点在C点，设y=axc.代入B点坐标求a：0=a×82+4d.抛物线解析式：y=−1e.距离D点2米处横坐标为±2，代入得y=−1核心依据：以抛物线顶点为原点建系，简化解析式形式（无一次项），方便求解系数。解法2：以A为原点建坐标系（拓展法）步骤：a.建立平面直角坐标系：设A为原点00，AB在x轴上，则B160，Db.设抛物线解析式：因顶点在C点，设y=ax−8c.代入A点坐标求a：0=a0−82+4d.抛物线解析式：y=−1e.距离D点2米处横坐标为8±2=6或10，代入得y=−1核心依据：以线段端点为原点建系，适应不同图形条件，解析式为顶点式，求解系数同样简便。技巧解题：拱桥问题建系技巧技巧：优先以抛物线顶点（拱顶）所在竖直线为y轴、跨度中点为原点建系，使解析式不含一次项，计算更快捷；若跨度端点坐标已知，可直接以端点为原点建系。适用场景：拱桥、隧道等抛物线形实际问题，中考选择/填空及解答题速解。中考分析：考频：高频考点（选择/填空压轴或解答题），难度中档。命题趋势：图形可能结合障碍物高度判断、通行能力分析等实际场景，建系是解题关键。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（3-5分）：二次函数最值直接求解、简单面积/利润函数构建（选择/填空）。中档题（8-12分）：篱笆围图形面积最值、商品利润最值、拱桥解析式与高度计算（解答题）。高档题（10-12分）：二次函数与几何图形（三角形、四边形）结合的综合最值、含多个限制条件的实际应用问题（解答题压轴问）。命题趋势：从“单一模型”到“综合应用”：如“面积最值+费用限制”“利润最值+销量约束”“拱桥问题+通行高度判断”。从“纯数学计算”到“实际场景化”：题目背景多结合校园建设、商业销售、交通设施等实际场景，强调数学知识的实用性。自变量取值范围的考查日益突出，需结合实际意义严格界定，否则易导致最值求解错误。解题技巧总览：基础题：公式法/顶点式法求最值，快速建模列函数。中档题：合理设元（简化计算）、严格界定自变量范围、利用顶点式求最值。高档题：转化法（复杂图形→简单模型）、分类讨论法（多限制条件）、检验取舍法（结合实际意义）。（五）课堂练习（10分钟）求二次函数y=−x用长为40米的篱笆围成一个矩形养鸡场，其中一面靠墙（墙长25米），求养鸡场的最大面积。某商品进价为30元，售价为50元时，每月可售出100件，售价每下降1元，销量增加10件，求每月最大利润。（六）课堂小结（5分钟）核心知识：二次函数最值求解方法、三类实际问题（面积、利润、拱桥）的建模步骤、实际问题求解的通用流程（审、设、列、解、检）。解题方法：一题多解（不同设元方式、不同求最值方法）、技巧解题（快速建模、简便计算、范围界定）。中考策略：基础题保分（掌握公式和基础模型），中档题稳分（规范建模和步骤书写），高档题突破（转化复杂问题为基础模型，重视检验取舍）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题25.3（二次函数最值求解、简单面积/利润问题）。提高层：完成2021-2024中考二次函数实际应用真题汇编（要求一题多解）。拓展层：思考“含多个限制条件的利润最值问题”（如成本预算、销量上限），尝试构建函数并求解。四、教学反思需关注学生在“实际问题抽象为二次函数”环节的难点，可通过多举例、慢引导的方式，帮助学生理清变量关系，掌握设元技巧。自变量取值范围是易错点，需强调结合实际意义（边长为正、售价不低于成本等）进行界定，避免因忽略范围导致最值求解错误。一题多解教学中，需引导学生对比不同方法的优劣，选择最简便的解题思路，同时培养灵活解题的能力。中考分析需结合最新真题趋势，突出实际应用场景的多样性，让学生感知命题逻辑，提升运用数学知识解决实际问题的信心。综合训练一、选择题1.如果x=4是关于x的一元二次方程x2-3x=a2的一个根,那么常数a的值是()A.2 B.-2 C.±2 D.±42.若点(2,5),(4,5)在抛物线y=ax2+bx+c上,则它的对称轴是直线()A.x=-ba B.x=1 C.x=2 D.x=3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=05.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且x12+x22=7,则(x1-xA.1 B.12 C.13 D.256.在正数范围内定义一种新运算“*”,其运算规则是a*b=2(a+b)-3ab,根据这个规则,方程x*(x+1)=0的解是()A.x=23 B.x=C.x=-23或x=1 D.x=23或7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:t01234567…h08141820201814…下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=92;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是(A.1 B.2 C.3 D.48.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2-4ac<0;②abc>0;③a-b+c<0;④m>-2,其中正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.若抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴正半轴交于B,C两点,且BC=2,S△ABC=3,则b=.

10.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.当所围矩形鸡舍的长为m、宽为m时,鸡舍面积为80m2.

11.将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后,经过点(-2,5),则8a-4b-11的值是.

12.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为.

13.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.

三、解答题14.已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点为P.(1)求A,B,P三点的坐标;(2)在给出的平面直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当x取何值时,函数值y大于零;(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数,并说明理由.15.菜农小李种植的某蔬菜计划以5元/千克的价格对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.小李为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以3.2元/千克的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)王叔叔准备到小李处购买5吨该蔬菜,因数量多,小李决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问王叔叔选择哪种方案更优惠?请说明理由.16.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求实数k的值.17.如图,某小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C章综合训练一、选择题1.C将x=4代入方程,得16-3×4=a2,解得a=±2.2.D3.D4.D由题意,得Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0,故ac≤4,且a≠0.显然,四个选项中只有c=0时,一定满足ac=0≤4.5.C6.B根据题意,得x*(x+1)=2(x+x+1)-3x(x+1)=0,即3x2-x-2=0,解得x1=-23,x2=1由题意,知x>0,所以x=1,故选B.7.B由题意,设抛物线的解析式为h=at(t-9),把(1,8)代入可得a=-1,故h=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25,所以足球距离地面的最大高度为20.25m,①错误.所以抛物线的对称轴为直线t=4.5,②正确.当t=9时,h=0,即足球被踢出9s时落地,③正确.当t=1.5时,h=11.25,④错误.综上所述,正确的有②③.故选B.8.B如题图所示,图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①错误;因为图象开口向上,所以a>0,因为对称轴在y轴右侧,所以a,b异号,所以b<0,因为图象与y轴交于x轴下方,所以c<0,所以abc>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c>0,故③错误;因为二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点纵坐标为-2,所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0,即ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根,则m>-2,故④正确.二、填空题9.-410.108设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为xm,则矩形鸡舍的另一边长为(26-2x)m,依题意,得x(26-2x)=80,解得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=16>12(舍去);当x=8时,26-2x=10<12.故矩形鸡舍的长为10m,宽为8m.11.-512.1设方程的两根分别为t,t+2,根据题意得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得(2m-1)(2m+1)=3m2,整理得m2-1=0,解得m=1或m=-1(舍去),所以m的值为1.13.318设运动时间为ts(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×12t(6-t)=2t2-12t+36=2(t-3)2+18,所以当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18cm2三、解答题14.解(1)令y=0,解方程-x2+4x-3=0,得x1