8.2 立方根 教学教案

8.2立方根教案（含一题多解、技巧解题、中考分析及应用拓展）一、教学目标理解立方根的定义，掌握立方根的表示方法，能熟练求一个数的立方根。精通立方根的性质，明确平方根与立方根的区别和联系，会用估值法比较数的大小，掌握被开方数与立方根近似值的小数点移动规律。掌握立方根相关题目的一题多解思路及技巧解题方法，提升解题效率。结合中考真题分析命题规律，增强中考应试能力，实现知识迁移与解题突破。二、教学重难点（一）教学重点立方根的定义、表示方法及求解（一题多解）。立方根的性质应用及平方根与立方根的区别和联系（技巧解题）。立方根相关的估值、小数点移动规律及中考常见题型解析（技巧解题）。（二）教学难点负数立方根的求解及立方根性质的灵活运用。平方根与立方根的综合辨析及易混淆点区分。中考中立方根与实数分类、估值等综合题型的解题技巧与规律总结。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、中考分析）（一）知识回顾（5分钟）立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。立方根的性质：正数、负数、0都有且只有一个立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；被开方数互为倒数，立方根也互为倒数。平方根与立方根的区别和联系：对比项平方根立方根性质正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0表示方法a（根指数2可省略）3a被开方数范围非负数（a≥0）任意实数（a为全体实数）（二）考点考频及常考题型分析1.立方根的概念及计算（考频：10年9考，高频核心考点）①考频分析考查频率高，覆盖选择、填空、解答题，分值3-4分，难度低-中档。核心考查立方根的定义、符号表示及计算，常涉及整数、小数、分数的立方根求解，易错点是混淆立方根与平方根的符号规则（负数有立方根但无平方根）。②常考题型题型1：直接计算立方根示例：求下列各数的立方根：（1）-64；（2）0.008；（3）−2答案：（1）-4；（2）0.2；（3）-2解题核心：利用立方与开立方互逆关系，结合立方根性质求解（负数立方根为负，小数先化分数更简便）。题型2：概念辨析题示例：下列说法正确的是（）±3是27的立方根B．-3是-27的立方根C．3−8解题核心：根据立方根性质逐一判断（A选项27的立方根只有3；C选项3−8=−2，其立方根为2.立方根与平方根的区别（考频：10年6考，高频基础题）①考频分析考查频率高，以选择、填空题为主，分值3分，难度低。核心考查两者在被开方数范围、结果个数、符号表示上的差异，是中考基础送分题。②常考题型题型：区别辨析题中考链接：（2024山东烟台中考真题）下列实数中的无理数是（）A．2B．3.14C．315D．答案：C解题核心：先化简各选项，A是整数（有理数），B是有限小数（有理数），C是立方根（15不是完全立方数，无理数），D64=83.立方根的实际应用（考频：10年5考，中档应用题）①考频分析考查频率中等，以解答题基础问为主，分值4-6分，难度中档。核心考查立方根在正方体棱长计算中的应用，需根据正方体体积公式列方程，再通过开立方求解。②常考题型题型：正方体棱长计算示例：正方体魔方的体积为216cm³，求它的棱长。答案：6cm解题核心：设棱长为xcm，列方程x3=216，开立方得4.无理数的估值（考频：10年7考，高频中档题）①考频分析考查频率高，以选择、填空题为主，分值3分，难度中档。核心考查夹逼法的应用，通过相邻完全立方数估算无理数的整数范围，常结合“找介于两个整数之间的立方根”考查。②常考题型题型：估算立方根的整数范围示例：估算399答案：4和5之间解题核心：43=64，53=125，（三）经典例题解析（30分钟）例题1：求−64的立方根（基础题·一题多解）解法1：定义法（立方根求解核心方法）步骤：根据立方根定义，寻找一个数x，使得x3因为−43结论：−64的立方根是−4，即3−64解法2：性质法（利用立方根符号性质）步骤：利用性质“负数的立方根是负数”，先确定−64的立方根是负数；求正数64的立方根，因为43=64，所以给正数的立方根添上负号，得3−64解法3：逆运算验证法（结合立方与开立方逆运算）步骤：设3−64=x，根据开立方与立方的逆运算，可得尝试代入整数计算：−33=−27，−43找到满足等式的x=−4，即−64的立方根是−4。技巧解题：符号快速判定法技巧：先判断被开方数的符号，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，再求绝对值的立方根，最后添上对应符号。本题：被开方数−64是负数，立方根为负；364=4，故适用场景：有理数的立方根求解，秒定符号与结果。中考分析：考频：每年中考必考（选择/填空基础题），难度低。命题趋势：常结合整数、分数、小数的立方根求解，或与平方根综合辨析（如判断“3−8的立方根是−2例题2：求30.008的值（中档题·一题多解）解法1：小数转分数法步骤：将小数0.008转化为分数：0.008=8分别求分子和分母的立方根：38=2，计算得38解法2：幂的乘方法步骤：将0.008表示为幂的形式：0.008=0.23（因为根据立方根定义，30.2结论：30.008解法3：计算器法（快速验证）步骤：打开计算器，切换到实数运算模式；输入“30.008”，直接得出结果0.2适用场景：复杂小数或无理数的立方根近似求解，节省计算时间。技巧解题：小数点移动规律法技巧：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。本题：已知38=2，0.008是8的小数点向左移动3位得到的，故立方根的小数点也向左移动1位，得适用场景：小数立方根快速求解，无需复杂计算。中考分析：考频：高频考点（选择/填空基础题），难度中低。命题趋势：结合小数点移动规律考查，或要求用计算器求立方根近似值（结果保留指定小数位数）。例题3：判断3−28介于哪两个相邻整数之间（中档题·技巧解题）解法1：估值法（核心方法）步骤：寻找两个整数，使得它们的立方分别小于和大于−28的绝对值；计算整数的立方：−33=−27，比较大小：−64<−28<−27，故−4<3结论：3−28介于−4和−3解法2：反向验证法步骤：假设3−28介于整数n和n+1之间（n则n3尝试n=−4：−43=−64，−33结论：3−28介于−4和−3技巧解题：整数立方快速记忆法技巧：牢记1-10的立方值（13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，本题：33=27，43=64，故适用场景：立方根估值问题，秒定相邻整数范围。中考分析：考频：高频考点（选择/填空中档题），难度中档。命题趋势：结合实数大小比较、无理数估值综合考查，或与数轴结合判断立方根的位置。真题链接：类似多地中考真题中“判断无理数介于哪两个整数之间”的题型。例题4：已知正方体魔方的体积为216cm3，求它的棱长（实际应用题·一题多解）解法1：方程法（常规法）步骤：设正方体的棱长为xcm，根据正方体体积公式V=x列方程：x3求解方程：因为63=216，所以结论：正方体的棱长为6cm。解法2：立方根直接求解法步骤：明确正方体棱长是体积的立方根（因为体积=棱长³，逆运算为棱长=³√体积）；直接计算体积的立方根：3216=6（牢记结论：棱长为6cm。解法3：分解质因数法步骤：对体积216分解质因数：216=2×2×2×3×3×3=6根据立方根定义，3216结论：棱长为6cm。技巧解题：常用立方值速记法技巧：牢记常用整数的立方值（如53=125，63本题：直接回忆63=216，故棱长为适用场景：整数立方根的实际应用问题（如正方体体积求棱长、球体体积相关计算等）。中考分析：考频：高频考点（选择/填空/解答题基础问），难度中低。命题趋势：结合实际场景（如正方体、立方体容器等）考查立方根的应用，或与体积公式变形结合。（四）中考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（3-5分）：立方根的求解、平方根与立方根的辨析、实数分类（含立方根的无理数判断）（选择/填空）。中档题（3-5分）：立方根的估值、小数点移动规律、实际应用（如正方体体积求棱长）（选择/填空）。高档题（4-6分）：立方根与平方根、实数大小比较、数轴的综合应用（选择/填空压轴题小题）。命题趋势：从“单一知识点”到“综合应用”：如“立方根估值+数轴表示”“立方根与无理数判断结合”。从“纯计算”到“实际应用”：结合立方体、球体等几何图形的体积计算，考查立方根的逆运算。注重基础概念辨析：常考查平方根与立方根的区别（如被开方数范围、符号性质等）。解题技巧总览：基础题：符号快速判定法、常用立方值速记法、定义直接应用法。中档题：估值法、小数点移动规律法、分解质因数法。高档题：综合对比法（平方根与立方根性质对比）、数形结合法（与数轴结合）。（五）课堂练习（10分钟）求3−125求30.027判断3635已知一个立方体的体积为343m（六）课堂小结（5分钟）核心知识：立方根的定义、表示方法、性质；平方根与立方根的区别和联系；立方根的估值及小数点移动规律。解题方法：一题多解（定义法、性质法、方程法等）、技巧解题（符号判定法、速记法、估值法等）。高考策略：基础题保分（熟练掌握定义和常用立方值），中档题稳分（灵活运用性质和规律），高档题突破（注重综合应用和数形结合）。（七）课后作业（分层设计）基础层：完成习题8.2（立方根求解、平方根与立方根辨析题）。提高层：完成近3年中考真题中立方根相关题型（一题多解训练）。四、教学反思需关注学生对“负数立方根”的理解难点，可通过对比正数立方根的求解过程，结合实例强化符号性质的记忆。一题多解教学中，要引导学生根据题目特点选择最优解法（如基础计算用符号判定法，实际应用用速记法），避免繁琐计算。中考分析需结合最新真题，让学生明确命题方向，重点强化易混淆知识点（如平方根与立方根的区别）的训练，提升应试信心。综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.若一个数的算术平方根是3,则这个数是()A.9 B.3 C.±9 D.32.下列式子中表示“16的平方根是±4”的是()A.16=±4 B.±16=±4 C.316=±4 D.-3163.在同一条数轴上分别用点表示实数-1.5,0,-11,|-4|,其中最左边的点表示的实数是()A.-11 B.0 C.-1.5 D.|-4|4.完全相同的4个小正方形面积之和是100,则小正方形的边长是()A.2 B.5 C.10 D.205.我们知道,球的体积公式是V=43πR3.一个乒乓球的体积为32π3cm3A.2cm B.3cmC.4cm D.5cm6.如图所示,正方形ABCD的面积为7,顶点A在数轴上表示的数为1.若点E在数轴上(点E在点A的左侧),且AD=AE,则点E所表示的数为()A.7 B.-2+7C.1+7 D.1-77.若37=a,则30.A.0.1a B.a C.1.1a D.10.1a8.若a的平方根是2m-1和5-m,则a的值是()A.9 B.81 C.9或81 D.29.有一款计算器,显示屏最多能显示14位(包括小数点)的数,例如:计算6时,显示2.449489742783.现在,想利用这款计算器知道2.449489742783中3的下一位数字是什么,可以用这款计算器计算下面()的值.A.106 B.10(6-2) C.1006 D.6-210.课堂上老师提出一个问题:“一个数是74088,它的立方根是多少?”小明脱口而出:“42”.老师十分惊奇,忙问计算的奥妙.小明给出以下方法:①由103=1000,1003=1000000,能确定374②由74088的个位上的数是8,因为23=8,能确定374③如果划去74088后面的三位088得到数74,而43=64,53=125,由此能确定374(提示:63=216,73=343,83=512,93=729)已知3205379为整数,请利用以上方法,则3A.19 B.15 C.12 D.14二、填空题11.计算:3-9=.

12.一块面积为7m2的正方形桌布,其边长为.

13.若a,b互为相反数,c为-8的立方根,则2a+2b-c=.

14.若x2=(-2)2,则x=;若y3=-64,则y=.

15.一个正方形的面积是10,它的边长a对应的点落在如图所示的数轴的段上(填序号).

16.数学解密:若第一个式子是9=4+1,第二个式子是25=9三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)计算:36+(2)将下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小(用“<”连接):-5,3,2,-18.求下列各式中x的值:(1)25(x-1)2=64;(2)(x+2)3=-27.19.如图,请根据对话内容回答下列问题.(1)求该魔方的棱长;(2)求该长方体纸盒的长.20.已知实数a,b满足关系式a-3+|b-4|=(1)求a,b的值;(2)求a2+b2的算术平方根.21.我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如:对于-9,-4,-1这三个数,由于(-9)×(-4)=6,(-9)×(-1)=3,(-4)×(-1)=2,因为6,3,2都是整数,所以-9,-22.某路边开辟一块长方形荒地建设公园,已知这块地的长是宽的2倍,面积是800m2.(1)求这块地的长和宽;(2)现要在这块长方形地中建设一个圆形花圃和一个圆形喷泉,它们的面积分别是105πm2和95πm2,剩余部分铺上草坪,试求出这两个圆形的半径,并判断是否符合要求?23.根据下表中数据的规律,解答下列问题:a1414.114.214.314.414.514.614.714.8a2196198.81201.64204.49207.36210.25213.16216.09219.04(1)213.16的平方根是;

(2)204.49=,2.0449=(3)210.25的整数部分是m,求m-答案：1.B2.B3.A解析:∵|-4|=4,3<11<4,∴-4<-11<-3.∴-11<-1.5<0<|-4|.故最左边的点表示的实数是-11.故选A.4.B解析:由完全相同的4个小正方形面积之和是100,知一个小正方形的面积为100÷4=25,故小正方形的边长为25=5,故选B.5.A解析:∵V=43πR3∴R=33V4故选A.6.D解析:由正方形的面积为7,知正方形的边长为7.故AE=AD=7.因为点A在数轴上表示的数为1,所以点E表示的数为1-7.故选D.7.D解析:0.007可由7将小数点向左移动三位得到.∵37=a,∴3类似地,7000可由7将小数点向右移动三位得到,∴37000=10a.∴30.007+370008.B解析:若a>0,则2m-1与5-m互为相反数,则2m-1+5-m=0,得m=-4.∴5-m=5-(-4)=9.∴a=92=81.若a=0,则2m-1=5-m=0,不符合题意.综上所述,a=81.故选B.9.B解析:∵6≈2.449489742783,∴106≈24.49489742783,有14位,A选项不符合题意;10(6-2)≈10×0.449489742783=4.49489742783,有13位,B选项符合题意;1006≈100×2.449489742783=244.9489742783,有14位,C选项不符合题意;6-2≈0.449489742783,有14位,D选项不符合题意.故选B.10.D解析:①由103=1000,1003=1000000,能确定3205②由205379的个位上的数是9,因为93=729,能确定3205③如果划去205379后面的三位379得到数205,而53=125,63=216,由此能确定3205379即32053793205379的每位数上的数字之和为5+9=14.11.0解析:3-9=3-3=0.12.7m13.2解析:∵a,b互为相反数,∴a+b=0.∵c为-8的立方根,∴c=-2.则2a+2b-c=2(a+b)-c=2×0-(-2)=2.故答案为2.14.±2-4解析:∵x2=(-2)2=4,(±2)2=4,∴x=±2.∵(-4)3=-64,∴y=-4.故答案为±2,-4.15.④解析:由正方形的面积是10,知正方形的边长为10.∵9<∴3<10<4.故边长a对应的点落在题中数轴的④段上.故答案为④.16.1089=289+256解析:25=9+481=25+16∴第五个式子为(25+1)17.解:(1)36=6-38-5+