2027届高考数学一轮总复习7.6利用空间向量证明平行、垂直【课件】

第6节利用空间向量证明平行、垂直课标解读

1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行、垂直关系.3.借助利用空间向量解决平行、垂直问题的学习,提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.强基础•固本增分1.直线的方向向量与平面的法向量

直线的方向向量与直线平行或在这条直线上的有向线段所表示的非零向量,一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2l1∥l2u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2=0直线l的方向向量为u,平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔u·n=0l⊥αu∥n⇔∃λ∈R,使得u=λnn1,n2分别是平面α,β的法向量α∥βn1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2=0[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l的方向向量a一定是单位向量.(

)(2)同一个平面的法向量均为共线向量.(

)(3)若a,b是平面α内的向量,且n·a=0,n·b=0,那么n可以作为平面α的一个法向量.(

)×解析

方向向量的模长可为任意非零值,不一定是单位向量.√×解析

a,b不共线时,n才可以作为平面的一个法向量.

D

3.设直线l的方向向量u=(-2,2,t),平面α的一个法向量v=(6,-6,12),若直线l⊥平面α,则实数t等于(

)A.4

B.-4

C.2

D.-2B

研考点•精准突破考点一用空间向量证明平行关系例1

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS.

规律方法

利用空间向量证明平行关系的方法和步骤(1)要证明线线平行,首先需要证明两直线的方向向量共线,再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上.(2)要证明线面平行,首先需要证明该直线的方向向量与平面的法向量垂直,或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,再说明该直线上存在某个点不在平面内.(3)要证明面面平行,首先需要证明两平面的法向量为共线向量,再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).[对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为底面A1B1C1D1和侧面BCC1B1的中心.求证:(1)EF∥平面A1BD;(2)平面B1EF∥平面A1BD.证明

(1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

考点二用空间向量证明垂直关系例2

如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C=CB=CA=2,AC⊥BC,D,E分别为棱C1C,B1C1的中点.证明:平面ACE⊥平面A1BD.

规律方法

利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤(1)要证明线线垂直,需证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)要证明线面垂直,需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或先通过向量证明线线垂直,再由线面垂直的判定定理证明.(3)要证明面面垂直,需证明两个平面的法向量垂直.[对点训练2]在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.

考点三与平行、垂直有关的存在性问题例3

(2025·浙江绍兴期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠CAB=90°,AB=AC=2,AA1=3,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点.(1)求证:平面AMP⊥平面BB1C1C.(2)试判断是否存在P,使得直线BC1⊥AP.若存在,求PB的长;若不存在,请说明理由.(1)证明

∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,∴AM⊥BB1,∵AB=AC=2,M为BC的中点,∴AM⊥BC,∵BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BB1C1C,∴AM⊥平面BB1C1C,∵AM⊂平面APM,∴平面APM⊥平面BB1C1C.

规律方法

存在性问题的两种探索方式

[对点训练3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,E是PA的中点.(1)求证:PC∥平面BDE.(2)若PA=2,在线段PC上是否存在一点F,使AF⊥平面BDE?若存在,求出PF的长度;若不存在,请说明理由.(1)证明

如图,连接AC交BD于点O.因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点,又E是PA的中点,所以OE∥PC.因为OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,所以PC∥平面BDE.(2)解

存在,理由如下:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥DA.又PA∩DA=A,PA⊂平面ADP,DA⊂平面ADP