培优课20 概率、统计与其他知识的交汇问题

20概率、统计与其他知识的交汇问题

培优点一概率、统计与数列的综合问题(马尔科夫链问题)

典例1［2024・杭州模拟］马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其数学定义:

假设我们的序列状态是…，X.2,X”i，儿，儿+i，…，那么儿+i时刻的状态

的条件概率仅依赖前一状态儿，即忸氏+/…,X”2，X”i，儿)=P(X［+］及)|(审

题①联想到数列相邻两项的关系即递推数列).现实生活中也存在着许多马尔科

夫链.假如一名学生参与一个知识答题竞赛，每一题答对的概率为50%,且每答

对一题可以获得1个积分，每一题答错的概率为50%,且答错一题就要扣掉1

个积分.该学生只有遇到如下两种情况才会结束答题：一种是累计积分为0;一种

是达到预期的8个积分.记该学生的初始积分为4(46N*,A<B),答题过程如数

轴所示.

A-1AA+1

6\2~~1~八-

"_____________(审题②图中的0.5表示答对或答错的概率)

当该学生的积分为n(0<n<B,neN)时，最终累计积分为0的概率为P(n),请

回答下列问题：

(1)请直接写出|P(0)与P(引(审题③明确用=0和几=8的含义，即可写出P(0)与

P(B))的数值.

(2)证明|{P(n)}是一个等差数对(审题④联想等差数列的定义，进而联想到全概

率公式)，并写出公差d.

(3)当4=100时，分别计算当8=200,8=1000时，P(/)的数值(审题⑤

由第(2)题的公式求得).

解题观摩

［解析］(1)当九二0时，该学生累计积分为0,|因此P(0)=1］...............；审题③

当几=8时，该学生停止答题，因此累计积分为C的概率|P(B)=0................

审题③

(2)记事件M：“该学生初始积分为小且最后累计积分为0”，事件N：“该学

生的初始积分为九，且上一题答对”，

则P(M)=P(N)P(M|N)+P(/V)P(M|/V).......,审题①④

gpp(n)=ip(n-l)+1p(n+l)L.......审题②

所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n),所以仍⑺)｝是一个等差数列，设P(n)-

P(n-1)=df则P(n-l)—P(n-2)=d,…，P(l)—P(0)=d,累加得P(n)一

P(0)=nd,故P(B)-P(0)=Bd,得d=(3)当力=100时，由P(n)-P(0)=

nd得P(4)_P(0)=4d,|即P(P)=1.......,审题⑤

B

当B=200时，P(4)=50%,当B=1000时，尸(4)=90%.

■k通性通法.、■■■■

概率、统计与数列交汇在一起进行考查时，一般通过全概率公式以递推数列

的方式出现.因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所

求问题所属的事件类型，分析概率所满足的数列模型是关键.

设问变式,从等差数列变到等比数列

［2023•新高考I卷节选］甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若

命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每

次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的

人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

［解析］记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件与，

所以P©2)=PSi%)+P(B/2)=P(4T)P(&MI)+P(%)•P(52|^I)=0,5x

(1-0.6)+0.5x0.8=0.6.

(2)求第i次投篮的人是甲的概率.

［解析］设P(4)=Pi，依题可知,P(Bi)=l-pt,则

P(4+1)=P(44+1)+P(BA+1)=p(4—)+P(Bi)P(4+］|B)

即Pi+i=0.6pj+(1—0.8)x(1—pD=0.4pj+0.2,

构造等比数列｛Pi+/l］,

2

设历+1+a=式必+乃,

解得2=-；，

•5

所以｛Pi—：｝是首项为:，公比为;的等比数列，即Pi—；=；X(ffT,

36536\5/

所以Pi=|X(|)11+1.

培优点二概率、统计与导数的综合问题

典例2某地区为居民集体筛查某传染病毒，需要进行样本检测，现有

k(kGN*,k>2)份样本，有两种检验方案.方案一:逐份检验，则［需要检验k次|(审

题①检验k次,阴性的概率为评).方案二：混合检验，将A份样本分别取样混合在

一起检验一次，若检验结果为阴性，贝腺份样本均为阴性，若检验结果为阳性，

为了确定々份样本的阳性样本，则对k份样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中

的每一次检验的费用都是16元，且攵份样本混合检验一次需要额外收20元的材

料费和服务费.假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，

且据统计每份样本是阴性的概率为p(0VPV1).

(1)若MkwN：kN2)份样本采用混合检验方案，需要检验的|总次数为x|(审

题②X的所有可能值为1和/c+1),求X分布列及数学期望.

(2)①若々=5,p>W5,以检验总费用为决策依据(审题③分别求两种方

案的总费用(期望)再作差)，试说明该单位选择方案二的合理性；

②若p=京，采用方案二的总费用的数学期望低于方案一(审题④分别求两种方

案的总费用(期望)再作差构造函数求导处理)，求k的最大值.

参考数据：ln2«0.7,ln3«1.1,ln7«1.9,InlO«2.3,Inll«2.4.

解题观摩

［解析］(1)X的所有可能值为1和k+1,

P(X=1)=pk,P(X=k+1)=1-pk|,.......审题①②

所以随机变量X的分布列为

X1k+1

Ppl:1—pk

所以E(X)=1Xpfc+(k4-1)x(1—p")=k+1—kpk.

(2)①设方案二的总猊用为匕方案一的总费用为Z,则V=16X+20,所以方

案二的总费用的数学期望为E(y)=16E(X)+20=16(/c+l—kp")+20,又

k=5,所以E(Y)=16(6-5p5)+20=-80p5+116,又方案一的总费用为Z=

5x16=80,

所以Z-E(Y)=80-(-80pS+116)=80〃5一码,.......审题③

当p>旃语时，0.45Vp5v1,所以80P5—36>0,所以Z>E(V),所以该单

位选择方案二合理.②由①知方案二的总费用的数学期望E(y)=16E(X)+

20=16(k+1-kpD+20,当p=盍时，E")=16[k+1-/c&)"]+20=

16(k+：—keT),又方案一的总费用为Z=16k

令£1(匕)〈2得」69+3-春)〈16攵，.......审题④

所以■子：>3,即ln(ke力>1吟所以抽一2《>0,

设f(x)=Inx-]一In，xW[2,+8),.......审题④

则—(%)=~~^=/，*G[2,4-oo),令((x)>0得2<x<7,令/'(%)<。得%>7,

所以/■(%)在区间⑵7)上单调递增，在区间(7,+8)上单调递减，所以/'(%)max=

/(7)=ln7-l-2(ln3-ln2)=0.1>0,/(8)=31n22(ln3-ln2)=

51n2-21n3-*1.3->0,/(9)=21n32(ln3-ln2)=21n2-*

1.4一*0,/(10)=InlO-y-2(ln3-ln2)«1.5-y>0,/(ll)=Inll-

y-2(ln3-ln2)«1.6-y>0,/(12)=lnl2-y-2(ln3-ln2)=41n2-

ln3-y«1.7-y<0,所以k的最大值为11.

通性通法

在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案

的最佳选择是概率最大(小)值或均值最大(小)值.因此解决此类最值问题往

往会将其转化为函数的最值问题，然后利用导数求解.

.培优训练

设问变式〉从数学期望的最值变到概率的最值

［2024•沈阳模拟］在春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的

积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公

司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售

商品类似，存在竞争关系.

(1)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一人公司的直播间进行购物，第一

天他等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物.如果第一天去甲直播间购物，

那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第

二天去甲直播间购物的概率为0.8.求小李第二天去乙直播间购物的概率.

［解析］由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件有［第一天去甲直播间，第二

天去乙直播间｝,｛第一天去乙直播间，第二天去乙直播间｝,共两种情况，

所以小李第二天去乙直播间购物的概率P=0.5x(l-0.7)+0.5x(l-0.8)=

0.25.

(2)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下

单成功的概率均为p(0<pVI),每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随

机抽取5人，记5人中恰有2人下单成功的概率为f(p),求f(p)的最大值点Po.

［解析］设五人中下单成功的人数为X