高中数学立体几何初步专项复习期末真题汇编（含答案详解）

1/8专题立体几何初步高频考点概览考点01空间几何体的结构考点02空间几何体的直观图考点03空间几何体的表面积考点04空间几何体的体积考点05与球有关的切接问题考点06空间点、直线、平面之间的位置关系考点07证明线面平行考点08证明面面平行考点09证明线线垂直考点10证明线面垂直考点11证明面面垂直考点12异面直线所成的角考点13直线与平面所成的角考点14二面角考点15空间几何体的截面问题考点16空间几何体的动点问题考点01考点01空间几何体的结构1．（2025春•北京期末）下列命题错误的是（）A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．斜棱柱的侧面有可能是矩形【解答】解：对于选项，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，故正确；对于选项，底面是正多边形的直棱柱定是正棱柱，故错误；对于选项，棱柱的侧面都是平行四边形，故正确；对于选项，斜棱柱的侧面有可能是矩形，故正确．故选：．2．（2021春•房山区期末）下列命题正确的是（）A．正方形的直观图是正方形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．圆锥有无数条母线【解答】解：根据斜二测画法可知，正方形的直观图不可能是正方形，即选项错误；只有当平面与棱锥的底面平行时，才能截出棱台，即选项错误；如果一个多面体的一个面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，才是三棱锥，与选项的区别重点是“公共顶点”，即选项错误；圆锥有无数条母线，即选项正确．故选：．3．（2025春•海淀区校级期末）下列说法不正确的是（）A．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形 B．直棱柱的侧棱长与高相等 C．斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高 D．直四棱柱是长方体【解答】解：对于，由平行多面体的定义可知，平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，故选项正确；对于，直四棱柱上下底面平行，则直棱柱的侧棱长与高相等，故选项正确；对于，设斜棱柱的侧棱与高所成的角为，则（其中为棱长，为高），故选项正确；对于，直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，故直棱柱不一定是长方体，故选项错误．故选：．4．（2021春•丰台区期末）已知正三棱锥，底面的中心为点，给出下列结论：①底面；②棱长都相等；③侧面是全等的等腰三角形．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：由正三棱锥的定义可知，顶点在底面的射影为底面的中心，所以底面，故选项①正确；由正三棱锥的定义可知，底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心，但是侧棱长和底面边长的大小关系不确定，故选项②错误；由正三棱锥的定义可知，侧棱长均相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故选项③正确．故选：．考点02空间几何体的直观图5．（2025春•海淀区校级期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A．8 B． C．16 D．【解答】解：还原直观图为原图形如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以，所以原图形的周长为．故选：．6．（2023春•大兴区校级期末）如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为．【解答】解：根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，底面边长，高，，直角三角形的周长为．故答案为：12．．7．（2022春•福州期末）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为．【解答】解：直观图中，，中，，由勾股定理可得则边上的中线的实际长度为故答案为：考点03空间几何体的表面积8．（2025春•海淀区校级期末）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为．【解答】解：由题意，八面体的表面是由八个边长为的等边三角形组成的，所以该八面体的表面积为．故答案为：．9．（2025秋•海淀区校级月考）正四棱柱的高为，体对角线长为，则正四棱柱的侧面积为（）A．10 B．24 C．36 D．40【解答】解：正四棱柱的高为，对角线长为，所以，解得正四棱柱的底面边长为，所以此正四棱柱的侧面积为．故选：．10．（2025春•海淀区校级期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其体积为，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【解答】解：设圆锥的高为，母线长为，则，可得，母线长．该圆锥的侧面积为．故选：．11．（2024春•昌平区期末）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则它的侧面积为．【解答】解：正四棱锥底面边长为2，高为，则侧面的高，故此正四棱锥的侧面积．故答案为：8．12．（2025秋•海淀区期末）某景观亭（如图的上部可视为正四棱锥（如图．已知长为4米，且平面平面，则正四棱锥的侧面积为平方米．（注棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积）【解答】解：取，的中点，，连接，则，因为，平面，平面，所以平面，设平面平面，则，因为，所以，，故，，故即为平面与平面的二面角，因为平面平面，所以，显然，故△为等腰直角三角形，因为，所以，故，故，故正四棱锥的侧面积为．故答案为：．13．（2024春•延庆区期末）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（）A． B． C． D．【解答】解：连结，交于，连结，则为，的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，在△中，，，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，，因为，所以，即，则，整理得①，又在△中，，即，则②，两式相加得，故，故在△中，，，所以，又，所以，所以△的面积为，同理可得△的面积为，因为，，所以等腰三角形底边上的高为，所以等腰三角形的面积为，因为，，所以等腰三角形底边上的高为，所以等腰三角形的面积为，所以此四棱锥的侧面积为．故选：．14．（2023秋•昌平区期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台．如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（）A． B． C． D．【解答】解：设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，，，过点作于点，如图所示：，，即为侧面与下底面夹角的平面角，即，又，，，，方亭的侧面积为．故选：．考点04空间几何体的体积15．（2024春•延庆区期末）已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为．【解答】解：圆锥的母线长为2，底面半径为，则圆锥的高为，则该圆锥的体积为．故答案为：．16．（2025秋•海淀区校级期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，于是得到一种八个面为正三角形、六个面为正方形的半正多面体，如图所示，已知，则此半正多面体的体积为．【解答】解：根据题意可得原正方体的棱长为2，所以此半正多面体的体积为：．故答案为：．17．（2025春•丰台区期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为，圆柱的高也为，则银杯盛酒部分的容积为（）A． B． C． D．【解答】解：因为圆柱的体积为，半球的体积为，因此银杯盛酒部分的容积为．故选：．18．（2023春•顺义区期末）如图，圆锥的底面直径和高均是2，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（）A． B． C． D．【解答】解：不妨设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，此时，，则剩下几何体的体积．故选：．19．（2020春•海淀区校级期末）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，那么圆柱的体积为（）A． B． C． D．【解答】解：轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，那么圆柱的高与底面直径都是，所以圆柱的体积为：；故选：．20．（2024秋•北京校级期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为．【解答】解：设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，由已知可得：，解得，故圆锥的体积．故答案为：．21．（2024秋•石景山区期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．2 C． D．【解答】解：如图，设在底面的射影为，则为底面正方形的中心，过作于，则为中点连接，则，二面角的平面角为，又底面正方形边长为2，，该正四棱锥的体积为．故选：．22．（2024秋•海淀区校级期末）在三棱锥中，△是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：取中点，如图：因为，，所以，，又，所以平面，又，，所以，所以，所以．故选：．23．（2025春•西城区期末）已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（）A． B． C．1 D．【解答】解：如图，取的中点，连接，，因为，且，所以，，，又，，平面，故平面，又平面，所以平面平面，过点作，垂足为，又平面平面，平面，所以平面，即是三棱锥的高，在△中，由等面积法得，解得，又，．故选：．24．（2025春•顺义区期末）在直角△中，斜边，直角边．若以该直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体．则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【解答】解：在直角△中，斜边，直角边，得，若以该直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，则该几何体的体积为：．故选：．考点05与球有关的切接问题25．（2023春•延庆区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．以上都不对【解答】解：由题意，球体的直径为长方体的体对角线，即，所以，故球体表面积为．故选：．26．（2020春•丰台区期末）如图所示，球内切于正方体，如果该正方体的棱长为，那么球的体积为A． B． C． D．【解答】解：球内切于正方体，如果该正方体的棱长为，那么球的半径为：，所以球的体积：．故选：．27．（2023春•海淀区校级期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，将正三棱锥放到棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，设外接球的半径为，则，得，外接球的表面积．故选：．28．（2021春•丰台区校级期末）体积为1的正方体的内切球的体积是．【解答】解：设球的半径为，则正方体的棱长为，所以，．球的体积为．故答案为．29．（2025春•北京期末）已知一个棱长为2的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为，体积为．【解答】解：由题意可知该球直径为正方体的体对角线，因为正方体的棱长为2，所以，故，故球的表面积为，体积为．故答案为：；．30．（2022秋•朝阳区校级期末）已知正三棱锥，若，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【解答】解：如图一所示：因为平面，，平面，所以，，又因为几何体为正三棱锥，所以，，又因为，所以，所以，所以，所以，即，，两两垂直，将三棱锥补成以，，为邻边的正方体，如图二所示：则三棱锥的外接球即为补形后的正方体的外接球，所以，即，所以．故选：．31．（2022秋•石景山区期末）在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为．【解答】解：将四棱锥补成正方体如图：则此四棱锥的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为，所以四棱锥的外接球的直径为，因此四棱锥的外接球的半径为．故答案为：．32．（2022春•丰台区校级期末）已知直三棱柱的六个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的体积是（）A． B． C． D．【解答】解：在△中，，，，则，则，所以，如图将三棱柱，补全为长方体，其长，宽，高分别为，则外接球的半径，所以球的体积是．故选：．考点06空间点、直线、平面之间的位置关系33．（2025春•海淀区校级期末）若空间三条直线、、满足，，则直线与（）A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直【解答】解：根据直线平行的性质可知，若，，则垂直，与可能相交，也可能异面，正确．故选：．34．（2025春•昌平区期末）已知，是不重合的平面，，是不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则【解答】解：若，，则或，相交，所以选项错误；若，，则或，所以选项错误；若，，则，所以选项错误；若，，则，所以选项正确．故选：．35．（2025秋•通州区期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线．下列四个命题：①若，，，则②若，，，则③若，，，则④若，，则或其中所有真命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①③ D．①④【解答】解：命题①：因为，，所以或，又因为，根据一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线垂直，所以，故命题①正确；命题②：由，，可得或，当时，，此时与可能相交、平行或，当时，，与也可能相交、平行或，所以不能得出，故命题②错误；命题③：由，，可得或，又因为，当时，或，当时，或，所以不能得出，故命题③错误；命题④：因为，，，根据直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，由于，，所以或，故命题④正确，综上，真命题的序号是①④．故选：．36．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线【解答】解：根据题意，如图所示，设正方形边长为2，连接，点为正方形的中心，则在上，故、都在平面上，结合图形易得，直线，是相交直线，再作于，连接，过作于，连接，由于平面平面．，平面，则平面，平面，△与△均为直角三角形，正方形边长为2，则，，则，由于，，则，又由，则，综合可得：，且直线，是相交直线．故选：．37．（2025春•海淀区校级期末）在空间中，直线直线，直线，满足：，，，，则直线，位置关系为（）A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面【解答】解：因为直线直线，所以与直线相交或平移后相交，设相交后确定的平面为，又，，，，所以，都垂直，所以直线与平行．故选：．38．（2025春•西城区校级期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则【解答】解：若，，则与可以成，的任意角，所以选项错误；若，，则与可以成，的任意角，所以选项错误；若，，，则，所以选项错误；若，，则，所以选项正确．故选：．39．（2025春•海淀区校级期末）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的命题是（）A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，且，则【解答】解：若，，，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，所以选项错误；若，，，则，所以选项正确；若，，，，则可能有，也可能，相交，所以选项错误；若，且，则或，所以选项错误．故选：．40．（2024春•北京期末）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题（）①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若，，则或与相交，故①错误；②若，，则或与相交，相交也不一定垂直，故②错误；③若，，由直线与平面垂直的性质可得，故③正确；④若，，则，故④错误．其中正确命题的个数是1个．故选：．41．（2025春•海淀区校级期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（）A． B． C． D．【解答】解：如图，在正方体中，连接，因为是线段的中点，所以是线段的中点．由，平面，平面，得平面，即与不相交，故错误；由、分别是线段、的中点，得，故错误；由平面，，平面，得与直线异面，故错误；因为，，所以与直线不平行，又，平面，所以与直线相交，故正确．故选：．考点07证明线面平行42．（2024春•丰台区期末）如图，在三棱锥中，，分别是线段，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面．求证：是线段的中点．【解答】证明：（Ⅰ）因为，分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（Ⅱ）由题意，平面即为平面，即平面，又平面，平面平面，所以，又为中点，故为中点．43．（2023春•大兴区校级期末）在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）A． B． C． D．【解答】解：对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；所以选项满足题意，故选：．44．（2025春•西城区校级期末）在正方体中，点和点分别为和的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面．【解答】（Ⅰ）如图：连接，因为为正方体，所以．又点和点分别为和的中点，所以，所以，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为为正方体，所以平面，又平面，所以，又，，平面，，所以平面，又，所以平面．45．（2022秋•南关区校级期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥中，平面，平面，平面平面，，（Ⅱ）取的中点，连接，，是的中点，，，又由（Ⅰ）可得，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（Ⅲ）取中点，连接，，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又由（Ⅱ）可得平面，，平面平面，是上的动点，平面，平面，线段存在点，使得平面．46．（2023春•东城区校级期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（Ⅰ）求的体积；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求证：平面．【解答】（1）解：因为在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，所以．（2）证明：因为，，所以，又平面，所以，又因为，所以平面．（3）证明：取的中点为，又为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．47．（2025春•通州区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点．（Ⅰ）平面；（Ⅱ）平面．【解答】解：（Ⅰ）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点，取中点，连接，，如图，则，，，，平面，平面，平面平面，平面，平面；（Ⅱ）底面为矩形，，平面，平面，，，平面．考点08证明面面平行48．（2025春•海淀区校级期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面．证明：（1）；（2）平面平面．【解答】证明：（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点，而是的中点，则，又平面，平面，则平面，而平面平面，平面，所以；（2）由，分别是，中点，得，又平面，平面，则平面，由（1）知，又平面，平面，则平面，又，，平面，所以平面平面．49．（2023春•大兴区校级期末）如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，．（1）证明：；（2）证明：平面平面．【解答】（1）证明：连接，，，是的中点，，，又平面，平面，，面，又平面，．（2）连接，，，分别是，，的中点，，又平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面，平面平面．50．（2024春•闽清县校级期末）已知正四棱柱中，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：在正四棱柱中，连结交于，连结．因为为正方形，所以为中点．在中，因为为中点，所以．因为平面，不包含于平面，所以平面．（Ⅱ）证明因为为正方形，所以．因为平面，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．（Ⅲ）解：当，即点为线段的中点时，平面平面．因为，且，所以四边形是平行四边形．所以．取的中点，连结，．因为为中点，所以，且，所以四边形是平行四边形．所以．同理．所以．因为，，所以平面平面．考点09证明线线垂直51．（2024春•昌平区期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，平面平面，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）判断直线与是否相交，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，又，平面，所以平面，又平面，所以．（Ⅱ）取中点，连接，，因为，，所以且，所以四边形为平行四边形，则且，因为侧面是正方形，且，所以且，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面．（Ⅲ）解：直线与不相交，理由如下：由（Ⅱ）知平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以与不平行，故与异面，从而与不相交．52．（2023春•平谷区期末）三棱锥中，面，，、分别是、中点，过的一个平面交面于．（1）证明：；（2）证明：．【解答】证明：（1）因为面，面，所以，又因为，，所以面，又因为面，所以；（2）因为、分别是、中点，所以，面，面，所以面，又因为过的一个平面交面于，所以．53．（2023春•房山区期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求证：，，，四点共面．【解答】证明：（1）由正方体的性质，平面，平面，所以平面．（2）由正方体的性质平面，平面，所以，又为正方形，所以，，，平面，所以平面，又平面，所以．（3）连接，因为，分别为，的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．54．（2023春•海淀区校级期末）如图，在长方体中，，，点和点在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求证：．【解答】解：（1）在长方体中，，点和点在棱上，且，连接、，设，连接，则为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在长方体中，，则为正方形，所以，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以，又，，，，所以，所以△，所以，又，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．考点10证明线面垂直55．（2022春•平谷区期末）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点．设平面与平面交于直线．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以．因为，，所以平面．（Ⅱ）证明：在中，因为，分别为，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．56．（2025春•北京期末）如图，在四棱锥中，已知，，分别是，，的中点，底面是一个平行四边形，，平面平面，且，．（1）求证：平面平面（2）求证：平面；（3）求证：．【解答】证明：（1）由题可知：，，分别是，，的中点，所以，平面，平面，所以平面，同理：平面，又，所以平面平面；（2）因为四边形是一个平行四边形，所以为，的中点，由，，所以，，又，所以平面；（3）由四边形是一个平行四边形，所以，由平面，平面，所以平面，又平面，且平面平面，所以．57．（2023春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，且底面，，点为棱的中点，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）求证：平面．【解答】证明：（1）底面是正方形，则，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以；（2）因为平面，面，所以，又为正方形，则，，，面，所以面，又面，所以，因为，点为的中点，所以，又，，面，所以平面．58．（2023春•朝阳区期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设棱与平面交于点，求的值．【解答】证明：（Ⅰ）因为，，可得，又因为平面平面，平面平面，面，所以可证得面；（Ⅱ）取的中点，连接，，因为，为中点，，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，而面，面，所以面；（Ⅲ）取点，使得，取的中点，连接，，由题意可知，，所以，且，所以四边形为平行四边形，可证得，且，因为，且，所以，且，连接，，可知为梯形，设与的交点，即面与的交点为，在四边形中，可得，所以的值为2．59．（2023春•西城区期末）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面．【解答】证明：（1）由正方体的结构特征，可得平面，平面，，为正方形，，又，平面．（2）设，连接，是正方体，，且，，且，，分别，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．考点11证明面面垂直60．（2025春•北京期末）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求四棱锥的体积．【解答】解：（1）证明：连接，由于，，是棱的中点，则，因，则，又由，且，，平面，则平面，而平面，必有．（2）证明：由（1）的结论，，因平面，平面，则，因，平面且平面，则平面，又由平面，由面面垂直判定定理，必有平面平面．（3）根据题意，由（2）的结论，平面，由于平面，则，故，过点作，交于点，如图：又由，解可得．因平面，而平面，则，因，而，平面，则平面，则为四棱锥的高，故．61．（2024春•延庆区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求证：平面平面．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结，交于点，连结，因为底面为正方形，所以是中点，为线段上的中点，所以，而平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面，平面，所以，因为为线段上的中点，，所以，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面．62．（2023春•房山区期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以，又底面为矩形，所以，所以．（2）证明：底面为矩形，．平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．又，，、平面，平面，而平面，平面平面；（3）存在，且，理由如下：连接、，，连接，因为是矩形，且为的中点，所以△△，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以．63．（2025春•顺义区期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为．求证：平面平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；（Ⅲ）若平面与棱交于点，求四边形的面积．【解答】解：证明：由侧面是正方形有，又，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）由有平面，又，所以平面，所以为与平面所成角，即，又，所以，即，所以梯形的面积为，所以四棱锥的体积为；（Ⅲ）由侧面是正方形，得，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，连接，平面平面，平面平面，则，由，所以，又，，所以，，由，，所以，过点作交于，由有，又，，，即，所以，所以四边形为等腰梯形，如图作，，所以，，所以，所以等腰梯形的面积为：．64．（2024春•顺义区期末）如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求五面体的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面，又，平面，平面平面，所以．（Ⅱ）证明：，取的中点，连接，，因为是中点，是中点，所以，又底面为正方形，所以，因为，所以，又，所以平面，又因为平面，所以，又，且与是相交线，所以平面，平面，所以平面平面；（Ⅲ）过点作，因为，为中点，为中点，所以，，又，由（Ⅱ）可知，平面，四棱锥体积，因为，，且，所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，，所以平面平面，所以五面体为三棱柱，在三棱柱中，，平面，平面，，，平面，，所以五面体的体积为．65．（2024春•东城区期末）如图，在四棱锥中，平面，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．【解答】证明：（Ⅰ）面，平面，，，，、平面，平面，平面．（Ⅱ），，．又面，面，，，平面，平面，平面平面．（Ⅲ）解：平面，平面平面，，在中，点为中点，点为中点，．考点12异面直线所成的角66．（2025春•通州区期末）如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【解答】解：连接、，则的中点也是的中点，因为正方体中，点、分别为、的中点，所以，可得（或其补角）就是异面直线与的所成角，设正方体的棱长为2，则，△中，，可得，△中，，所以，可得，因为，所以异面直线与所成的角的余弦值为．故选：．67．（2023春•西城区校级期末）已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：由于，所以即为直线与直线所成的角或其补角，不妨设正方体的棱长为，则，所以，故选：．68．（2025春•海淀区校级期末）如图，在正方体中，，分别为、的中点，则异面直线与所成的角等于．【解答】解：连接，，如图所示：因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以与所成的角为（或其补角），设正方体的棱长为2，则，，，所以，所以，又因为为的中点，所以，又因为，所以，即△为等边三角形，所以，即异面直线与所成的角等于．故答案为：．69．（2021春•西城区校级期末）如图，四边形是正方形，平面，且，则直线与直线所成角的大小是A． B． C． D．【解答】解：因为平面，平面，则，设，则，因为为正方形，则，所以异面直线与所成的角等于与所成的角，因为，所以，故异面直线与所成的角为；故选：．70．（2023春•房山区期末）在正方体中，异面直线，所成角的大小为（）A． B． C． D．【解答】解：因为，所以为异面直线与所成角的平面角，因为△为正三角形，所以，即异面直线，所成角的大小为．故选：．71．（2025春•东城区期末）如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，为棱上一点，，点在线段上，且满足．（Ⅰ）当为中点时，异面直线与所成角的大小为；（Ⅱ）的长的最小值是．【解答】解：（Ⅰ）取中点为，因，，所以，再连接，则为中点，再取中点为，连接，则，所以异面直线与所成角为或其补角，又易知，，，所以，所以，又，，，所以，所以异面直线与所成角的大小为；（Ⅱ）如图，连接，，则，，又，，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，取中点为，则点轨迹为以圆心，半径为的圆弧，作，易得平面，所以，所以当最小时，最小．设点轨迹与交于，由图易得，因为，所以△△，所以，所以，因为，所以△△，所以，所以，所以，，又，所以，又．所以的长的最小值是．故答案为：；．考点13直线与平面所成的角72．（2025春•丰台区期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，为棱的中点，平面与棱交于点．（1）求证：为棱的中点；（2）求直线与平面所成角的正切值．【解答】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以，因为为棱的中点，所以为棱的中点；（2）解：取的中点为，连接，，取的中点为，连接，，因为△为正三角形，为棱的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，分别为，的中点，所以，即平面，所以为直线与平面所成的角．在△中，，所以．在△中，由余弦定理可得，在△中，，所以，故直线与平面所成角的正切值为．73．（2024春•顺义区期末）如图，在正方体中，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）写出直线与平面所成角的正弦值（只需写出结论）．【解答】解：（1）证明：在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）证明：在正方体中，因为平面，平面，所以，又因为，且，，平面，所以平面；（3）直线与平面所成角的正弦值为，理由如下：取的中点，连接，，易知平面，令正方体棱长为．则，，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．74．（2024春•北京校级期末）如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点．（1）求证：平面平面；（2）设直线与平面所成的角为，求的最大值；（3）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以．因为，所以．因为平面平面，且，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，，，平面，所以平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）由（1）知平面，所以即直线与平面所成的角为，且，设，则，则，则当时，取到最大值．（3）存在点，使得直线与平面垂直．在平面中，过点作，垂足为，因为由已知，，，．所以，，，得，又因为平面，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以．又因为，，平面，所以平面．在△中，，所以．所以上存在点使得直线与平面垂直，此时线段的长为．75．（2024春•北京期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点．（1）若，求证：平面；（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示，因为，所以△△，所以，又，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连接，交于点，连接，则，且，所以四边形是平行四边形，所以，，因为，所以四边形是矩形，因为，，所以四边形是平行四边形，所以为中点，，所以△是等腰直角三角形，因为平面，所以是直线与平面所成的角，也是直线与平面所成的角，过点作，垂足为，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，由射影定理知，，所以，在△中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．考点14二面角76．（2025春•顺义区期末）如图，在四棱柱中，四边形为梯形，，，为中点．求证：平面；（Ⅱ）若平面，，且，求证：；写出二面角的正切值．（结论不要求证明）【解答】解：证明：如图，取的中点，连接，，因为的中点，故，，又，，则，，故得，则，因平面，平面，故平面；（Ⅱ）证明：因平面，平面，则，因，且，，平面，则平面，因平面，故；如图，在平面内，过点作于点，连接，因平面，平面，则，又，，平面，则平面，因平面，则，故即二面角的平面角，设，则，，在△中，由面积相等，，可得，在△中，，即二面角的正切值为．77．（2025春•通州区期末）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，恰为二面角的平面角，求△的面积．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△和△中，，，，所以△△，所以，又因为点为的中点，所以，，因为，且、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（Ⅱ）因为，所以，因为，且，所以，，所以，，所以，所以，，因为恰为二面角的平面角，所以平面，所以，设，则，则，即，解得，所以，，在△中，由余弦定理得，所以，所以．即当恰为二面角的平面角时，△的面积为．78．（2024春•丰台区期末）如图，在三棱柱中，，，平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面所成角为时，（ⅰ）求证：平面平面；（ⅱ）求二面角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：（Ⅰ）证明；因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为三棱柱，所以四边形是平行四边形，因为，所以是菱形，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以；（Ⅱ）选条件①：证明：因为，所以平行四边形为矩形，所以，由（Ⅰ）知，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；因为面，平面，所以直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，，，，作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，作于，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以是二面角的平面角，因为，所以，因为，所以，所以，所以二面角的正弦值为；条件②：证明：因为，，所以，所以，由（Ⅰ）知，，因为，，平面，所以平面，以下同条件①．考点15空间几何体的截面问题79．（2023春•朝阳区校级期末）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后得到的，现用一平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（）A． B． C． D．【解答】解：对于，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形，如图：对于，用正方体的对角面截正方体，可以得到截面图形，如图：对于，用如图截法，切点在截面的中点处，且，可以得到；故选：．80．（2024春•东城区期末）一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为．【解答】解：过平面内一点作直线，交于，交于，过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求，截面交于，则为的三等分点，且靠近点，则四边形为平行四边形，取的中点，连接，，由正四面体及为的中心，可得，，三点共线，易证，，，所以平面，而平面，所以，所以四边形为矩形因为所有棱长都等于，可得，，所以截面的面积为．故答案为：．81．（2022春•朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（）①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点与点到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：对于①，由正方体，得，是直线与直线所成角，连接，而平面，，在△中，不可能是直角，直线与直线不垂直，故①错误；对于②，连接，，，则，，平面，平面，平面，平面，故②正确；对于③，若点与点到平面的距离相等，则平面必过的中点，连接于，且不是的中点，则平面不过的中点，即点与点到平面的距离不相等，故③错误；对于④，，，等腰梯形即为平面截正方体所得截面，则，，，，之间的距离为：，平面截正方体所得的截面面积为：．故选：．82．（2024春•北京期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别是棱、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A．16 B． C．18 D．【解答】解：如图，取的中点，的中点，连接，，，，，则，因为，分别是棱、的中点，所以，，且，所以，又，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，又，，所以平面平面，所以四边形为平面截该正方体所得截面，且四边形是等腰梯形，因为，，，所以四边形的面积为．故选：．83．（2023春•海淀区校级期末）如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①与异面；②平面；③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①，连接，，，，四边形是平行四边形，又平面，，平面，平面，平面，又，与是异面直线，故①正确；对于②，连接，则，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故②正确；对于③，取的中点，当与重合时，连接，则有，，，，四点共面，即平面截正方体的图形是四边形，如下图：当点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于，交于，连接，，，，，四点共面，平面，，即平面截正方体的图形是五边形，如下图：故③错误；对于④，在正方形内，△△，，，，又平面，平面，，，平面，，平面，又平面，平面平面，故④正确．故选：．84．（2025春•西城区校级期末）在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是．①点从点运动到点的过程中，三棱锥的体积不变；②对于每一个点，在棱上总存在一点，使得平面；③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为；④二面角的平面角的正切值最大为．【解答】解：对于①，由正方体的性质知，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以为定值，正确；对于②，当点位于点时，平面即平面，平面，因为平面平面，，所以平面不成立，错误；对于③，在线段上取点使得，连接，，，，根据正方体的性质可知，，且，，故平面为所求的截面，设点到的距离为，菱形的面积，根据正方体的对称性可知，当点位于点或点时，取到最大值，此时，当点位于的中点时，取到最小值，此时，所以，，即截面图形的面积的取值范围为，错误；对于④，取是的中点，连接，，，，，，根据正方体的性质可知，，所以，，所以为二面角的平面角，当点位于点时，取到最大值，在△中，，即二面角的平面角的正切值最大为，正确；故答案为：①④．85．（2024春•通州区期末）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是．①直线与直线相交；②当时，为四边形；③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；④当时，截面与，分别交于，，则．【解答】解：①，因为为线段上的动点，所以平面，由正方体可知平面，所以直线与直线不可能相交，故①错误；②，时，截面与正方体的另一个交点落在线段上，如图所示：所以截面为四边形；又面，故面，故②正确；③，连接，，，，如下所示：因为为的中点，为的中点，则，故面即为平面截正方体所得截面；在△和中，又，故该截面为等腰梯形，又，，故截面面积，故③正确；④，，延长至，使得，连接交于，连接交于，连接，取的中点，上一点，使，连接、、，如图所示：因为且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，则，由，，所，则为中点，则，所以，又△△，△△，可得．所以，，则在△中，，故④正确．故答案为：②③④．考点16空间几何体的动点问题86．（2025春•东城区期末）在正方体中，，为侧面上一动点，若，则的长的最大值为（）A． B． C． D．【解答】解：在正方体中，，连接，，设，连接，，，如图所示：为侧面上一动点，要使得，为的中点，，又，，，平面，平面，又平面，，又平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，，反之，当时，，，，，点的运动轨迹为线段，当点与重合时，的长取得最大值为．故选：．87．（2023春•通州区期末）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点．给出下列四个命题：①三棱锥的体积为；②；③的面积为定值；④四棱锥是正四棱锥．其中所有正确命题的序号是．【解答】解：因为三棱锥体积为，所以三棱锥体积的最大值为，故①错误；连接，，则，又平面，平面，所以，，所以平面，，故②正确；设，连接，则，，所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确；由，可知平面，又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确．故答案为：②③④．88．（2023春•西城区校级期末）如图，在正方体中，，点为直线上的动点，则下列四个命题：①连接，总有平面；②平面；③动点到直线的距离的最小值是；④设，则三棱锥的体积随着增大而增大．其中正确的命题的序号是．【解答】解：在正方体中，对角面是矩形，则，平面，平面，所以平面，同理平面，而，，平面，则有平面平面，而平面，因此平面，①正确；平面，平面，则，而，，，平面，则有平面，而平面，因此，同理，，，平面，所以平面，②正确；由①知，平面平面，由于与是异面直线，则点到直线的距离最小值等于点到平面的距离，正方体棱长为1，则，由，得，即，解得，③正确；因为，平面，平面，则平面，因此点到平面的距离为定值，而△的面积为定值，于是三棱锥的体积为定值，④错误，所以正确的命题的序号是①②③．故答案为：①②③．89．（2016春•海淀区校级期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为．【解答】解：由正三棱柱，可得底面，，．在中，．把底面展开与侧面在同一个平面，如图所示，只有当三点，，在同一条直线时，取得最小值．在中，，由余弦定理可得：．周长的最小值．故答案为：．90．（2023春•丰台区期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，上的动点，给出下列四个结论：①当为线段的中点时，，两点之间距离的最小值为；②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；③存在点，，使得平面；④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为．其中所有正确结论的序号是．【解答】解：对①，当为线段的中点时，如图所示，连接，，则为的中点，是边长为的正三角形，到的垂线段最短，此时，①错误；对②，当为线段的中点时，如图，到平面的距离为定值，又△的面积也为定值，三棱锥的体积为定值，②正确；对③，如图所示，当与重合，与重合时，由三垂线定理易得，，从而可得平面，③正确；对④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点，取的中点，连接，，，则易知平行等于，且平行等于，平行等于，易得平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又易知，，，平面截该正方体所得截面的周长为，④错误．故答案为：②③．91．（2023春•昌平区期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，．为的中点，为内一动点（不与，，三点重合）．给出下列四个