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文档简介

解答1．解法1：考虑二元生成函数，则所求为．注意到中奇偶各1013个，故．因此．解法2：将分为奇数集和偶数集，各含1013个元素．设中有个奇数，个偶数，则，且的奇偶性由决定（因为偶数不改变和的奇偶性）．故．根据二项式定理．代入可知：．2．解：令，则．显然关于单增，且时，，故．3．解：设为底面的中心，顶点为，则．又侧面的高为：，故由相似可知．4．解：由知．考虑复平面上定点，动点，下求的最大值．设，则．求导易知：，当且仅当时取等号，故最大值为：．5．解：由题意和点到平面的距离公式．故．取等．6．解：作仿射变换：，则椭圆变为单位圆，此时．下求的最大值．设到圆心的距离为．由垂线段最短可知：．故．令．显然在上递增，故．7．解：设，注意到：，故．所以．于是．故．因此．对比实部与虚部知8．解：考虑对任意凸边形计数．有四种情况：（1）三个顶点均在原多边形顶点：．（2）两个顶点在多边形顶点，一个在内部：．（3）一个顶点在多边形顶点，两个在内部：．（4）三个顶点都在内部交点：．故总数为：．9．解：一方面，取．另一方面，注意到．故由熟知的不等式．10．解：显然严格递增，且．对，由知 ．故．下证．先证引理．引理1：设，则：．证明：注意到对任意整数，均有：．故．回到题目．由式知：，又注意到，故由引理1知．故．11．解：设，则．注意到为定值，故只需求最大时，直线的斜率．设的斜率为，倾斜角为，则：．注意到：是弦在方向上的投影长

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