2027届新高考数学精准突破复习导数与函数的单调性

2027届新高考数学精准突破复习导数与函数的单调性1.课标要求2.知识要点3.课前自测4.考点突破目录【课标要求】了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围.知识要点1.函数的单调性:在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.3.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.课前自测概念辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在定义域上恒有f'(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(

)(2)若函数f(x)在定义域(a，b)内单调递增，那么一定有f'(x)≥0.(

)(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性.(

)(4)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间能用并集“∪”及“或”连接.(

)(5)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则函数f(x)在定义域内的增区间为(a，b).(

)××√××教材改编2.[选择性必修2p98T3](多选)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则(

)A.在区间(-2，1)上f(x)单调递增B.在区间(2，3)上f(x)单调递减C.在区间(4，5)上f(x)单调递增D.在区间(3，5)上f(x)单调递减BC

3.已知f(x)=-x3-x，c<b<a，则(

)A.f(c)<f(a)<f(b)

B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(c)<f(b)<f(a)

D.f(a)<f(b)<f(c)D[解析]∵f'(x)=-3x2-1<0，∴函数f(x)=-x3-x是R上的减函数.∵c<b<a，∴f(c)>f(b)>f(a).4.[选择性必修2p97T2]函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是

.

5.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1，+∞)上单调递增，则k的取值范围是(

)A.(-∞，-2] B.(-∞，-1]C.[2，+∞) D.[1，+∞)D

考点突破考点1求不含参数函数的单调区间

(2)已知函数g(x)=ex-1-1-lnx，求

g(x)的单调区间.

[小结]确定函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f'(x).(3)解不等式f'(x)≥0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f'(x)≤0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.1.已知定义在区间(-π，π)上的函数f(x)=xsinx+cosx，则f(x)的单调递增区间是

.

跟踪练习2.(2025·四川达州·一模)函数f(x)=(x+m)ex(m∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线过点(2，2)，则函数y=f(x)的增区间为(

)A.(-∞，-1) B.(0，+∞)C.(-1，+∞) D.(0，e)C

考点2含参函数的单调性讨论

[小结]1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.讨论的标准有以下几种可能:(1)f'(x)=0是否有根;(2)若f'(x)=0有根,求出的根是否在定义域内;(3)若在定义域内有两个根,比较两个根的大小.2.讨论函数f(x)单调性的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f'(x),并求方程f'(x)=0的根.(3)利用f'(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f'(x)的正负,由符号确定f(x)在该区间上的单调性.3.已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R)，讨论函数f(x)的单调性.[解析]因为f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6[x2+(1+m)x+m]=6(x+1)(x+m)，若m=1时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增;若m>1时，-m<-1，当x<-m或x>-1时，f'(x)>0，f(x)为增函数，当-m<x<-1时，f'(x)<0，f(x)为减函数;若m<1时，-m>-1，当x<-1或x>-m时，f'(x)>0，f(x)为增函数，当-1<x<-m时，f'(x)<0，f(x)为减函数.跟踪练习综上，m=1时，f(x)在R上单调递增;当m>1时，f(x)在(-∞，-m)和(-1，+∞)上单调递增，在(-m，-1)上单调递减;当m<1时，f(x)在(-∞，-1)和(-m，+∞)上单调递增，在(-1，-m)上单调递减.考点3用导数解决函数单调性的应用问题角度1.比较大小

B

角度2.利用函数单调性解不等式例4定义在R上的函数y=f(x)，其导数为y'=f'(x)，且满足f'(x)<1，则不等式f(x)-f(20)≥x-20的解集是(

)A.(20，+∞) B.[20，+∞)C.(-∞，20] D.(-∞，20)C[解析]令g(x)=f(x)-x，

则g'(x)=f'(x)-1<0，所以g(x)在R上单调递减，所以由f(x)-f(20)≥x-20可得:f(x)-x≥f(20)-20，即g(x)≥g(20)，所以x≤20，故选C.[小结]与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式.角度3.根据函数的单调性求参数

C

[小结]根据函数单调性求参数的取值范围的方法:(1)函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.(2)函数在区间(a,b)上存在单调递增(或递减)区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集(非空).(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数