2027届新高考数学精准突破复习解三角形的应用举例

2027届新高考数学精准突破复习解三角形的应用举例1.知识要点2.课前自测3.考点突破目录知识要点图（a）1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线______时叫仰角，目标视线在水平视线______时叫俯角（如图（a））.上方下方图（b）

课前自测

×√×√×2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(

)A.北偏东10°方向

B.北偏西10°方向C.南偏东10°方向

D.南偏西10°方向B[解析]灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°，∠CAB=∠CBA=50°，则α=60°-50°=10°，即灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向.3.一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB=(

)

A

4.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A(小明)，B(主舞台)两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点的距离为(

)

A

5.[必修2p51T2]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h=

米.

考点突破

考点1

距离问题例1

(2025·山东济南·三模)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为

米.

[小结]求解距离问题应注意:(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.

A.1小时

B.0.3小时C.0.5小时

D.0.2小时B跟踪练习

考点2

高度问题例2

(2025高三上·河北邢台·期中)如图，已知AA1为某建筑物的高，BB1，CC1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，A1，B1，C1分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得A1B1=80米，CC1=86米，∠C1A1B1=48.60°，∠A1C1B1=30°，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高AA1约为(参考数据tan33.69°≈0.667，tan51.34°≈1.250，sin48.60°≈0.750)(

)A.268米

B.265米C.266米

D.267米C[解析]如图，分别过B，C作BF⊥AA1，CD⊥BB1，垂足分别为F，D，过D作DE⊥AA1，垂足为E.根据题意易得∠ABF=51.34°，∠BCD=33.69°.

[小结]求解高度问题应注意:(1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.

B跟踪练习

考点3角度问题例3《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强.如图所示的是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC=99.9cm，BC=100.2cm，AB=180cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(

)A.0.62 B.0.56

C.-0.56 D.-0.62A[解析]由题意可知∠OAC=∠OBC=90°，所以∠AOB+∠ACB=180°，

[小结]求解角度问题应注意:(1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角