连续系统的S域分析

连续系统的S域分析第五章 连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t); 对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。

在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之

和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第4-2页■5.1

拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号

f(t)，适当选取σ的值，使乘积信号f(t)e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0

，从而使f(t)e-σt的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为-σtf(t)

e

=

2π1b

F

(σ

jω

)

e

j

ω

t

d

ωbF

(

+j

)=

ℱ[f(t)

e-σt]=f

(t)

e

(σ

jω

)t

d

t

f

(t)

e

σ

t

e

jω

t

d

t

第4-3页■2π

f

(t)

1bF

(σ

jω

)

e(σ

jω

)t

d

ω令s=σ

+jω,d

ω=ds/j，有

f

(t)e

st

d

tbF

(s)

σ

j

σ

j

F

(s)

e

st

d

sf

(t)

2π

j1bFb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。5.1

拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对第4-4页■5.1

拉普拉斯变换例1因果信号f1(t)=eαt

ε(t)，求其拉普拉斯变换。解e

100

(

s

α

)t[1

lime

(σ

α

)t

e

jω

t

]

(s

α

)

(s

α)

eαt

e

st

d

t

1bF

(s)

t

1

s

α

不定, Re[s]

σ

α，

σ

α

无界

，

σ

α可见，对于因果信号，仅当

Re[s]=σ>α时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。σjω0

α收敛域收敛边界第4-5页■5.1

拉普拉斯变换例2

反因果信号f2(t)=eβtε(-t)，求其拉普拉斯变换。解:[1

lim

e

(σ

β)t

e

j

ω

t

]t

(s

β

)1

(s

β

)e0

(

s

β

)t2b

0F

(s)

eβ

t

e

st

d

t

1

(s

β

)

无界

, Re[s]

σ

.

β不定

，

σ

β，

σ

β可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=σ<β时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。σ第4-6页■jω0β5.1

拉普拉斯变换例3

双边信号求其拉普拉斯变换。t

0

e

,

t

0f

3

(t)

f1

(t)

f

2

(t)

α

t

eβ

t

,求其拉普拉斯变换。解:其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当β>α时，其收敛域为α<Re[s]<β的一个带状区域，如图所示。jω0β

σα第4-7页■5.1

拉普拉斯变换例4

求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=

e-3t

ε(t)

+

e-2t

ε(t)f2(t)=

–e

-3t

ε(–t)

–e-2t

ε(–t)f3(t)=

e

-3t

ε(t)

–e-2t

ε(–t)解1

1f1

(t)

F1

(s)

Re[s]=

σ

>

–2s

3

s

21

1f2

(t)

F2

(s)

Re[s]=

σ

<

–3s

3

s

21

1第4-8页■

s

3

s

2f3

(t)

F3

(s)

–3

<

σ

<

–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。5.1

拉普拉斯变换结论：1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2、收敛域：部分s平面收敛；整个s平面均收敛；整个s平面均不收敛。3、不同的信号可以有相同的F(S)，但它们的收敛域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则它们的F(S)必然不同！第4-9页■5.1

拉普拉斯变换定义：对于给定的f(t)，把凡是满足下式的s组成的点集，称作f(t)的绝对收敛域：收敛域的确定方法（因为：s=σ+jw）：求解适合于如下条件的所有σ值或范围:limt

f

(t

)

e

σ

t

0f

(

t

)

e

σ

t

d

t

第4-10页■

5.1

拉普拉斯变换jω0

α

σσ

a(a)

因果信号jωa

σ-a

0

a

σ

a(b)

双边信号σ

a(c)

反因果信号1

atf

(t)

(eat

e

)ε(t)

e

,

t

0f2

(t)

at

e

at

,t

03

at

atf

(t)

(

e

e

)ε(

t)a

2F

(

S

)

2

a

S

2注意：以上3个信号，具有相同的F(S),但收敛域不同：a

00

s第4-11页■-ajω5.1

拉普拉斯变换第4-12页■

通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为

0

f

(t)

e d

tF

(s)

st称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>α

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换

0

defF

(s)

f

(t)

e d

t

st2π

jstF(s)

e d

s

ε

(t

)

def

1

f

(t)

σ

j

σ

j

简记为F(s)=£

[f(t)]f(t)=£

-1[F(s)]或f(t)←→

F(s)5.1

拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换1、δ(t)←→1，σ>-∞2、ε(t)或1

←→1/s

，σ>03、指数函数e-s0t

←→

1

s

s0t

←→1/s20σ>

-Re[s

]cosω0t

=

(ejω0t+

e-jω0t

)/2

←→0

ω

2s

2ssinω0t

=

(ejω0t–e-jω0t

)/2j

←→0第4-13页■ω0

ω

2s

25.1

拉普拉斯变换4、周期信号fT(t)2T0(n

1)T

n

0TT0T

stF

(s)

f

(t)

e d

tTf

(t)

e

st

d

t

Tf

(t)

e

st

d

t

.....TTf

(t)

e

st

d

t

nT

0第4-14页■01fT

(t)

e d

tTT

stfT

(t)

e d

t

1

e

sT

st令t

t

nT

nsT

en

0

“周期信号”的F(s):若f

t

F

s

F

s

则fT

t

1

e

sTfT

(t

)f

(t

)0T2T3T

t第4-15页■特例：δT(t)

←→

1/(1

–e-sT)5.2

拉普拉斯变换性质5.2

拉普拉斯变换性质5.2

拉普拉斯变换性质0、引言利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换

的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。常用信号的拉普拉斯变换对

f(t)

←→

F(s)δ(t)

←→1ε(t)

←→

1/ss

n

1第4-16页■n!t

n

ε

(t

)

5.2

拉普拉斯变换性质常用信号的拉普拉斯变换对（续）

f(t)

←→

F(s)s

a第4-17页■e

at

ε

(

t

)

1(

s

a

)

n

1t

n

e

at

ε

(t

)

n!

β

2s

2cos(

βt

)ε

(t)

s

β

2s

2sin(βt)ε

(t

)

β

5.2

拉普拉斯变换性质一、线性性质若

f1

(t)

F1

(s) Re[s]

σ1

,则

af1

(t)

a2

f2

(t)

a1

F1

(s)

a2

F2

(s) Re[s]

max(σ1

,σ

2

)例

f(t)

=

δ(t)

+

ε(t)←→1

+

1/s，

σ>

0二、尺度变换0第4-18页■a

a若

f

(t

)

F

(s)

Re[s]

σ

0

且有实数a

0则

f

(at)

1

F

(

s

)

Re[s]

aσf2

(t)

F2

(s) Re[s]

σ

25.2

拉普拉斯变换性质s2

s例：如图信号f(t)的拉氏变换F

(s)

e(1

e

s

e

)

s

s求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)

4

f

(0.5t)Y

(s)

4

2F

(2s)

2s

2(1

e

2

s

2s

e

2

s

)

2

s

8e

2

s第4-19页■

2s(1

e

2s

e

)s

2

2

s

2

e5.2

拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性与尺度变换相结合a

0

,

t0

0a1a

t0

s

s

e

F

a

例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=ε(t)–ε(t-1)，f2(t)=ε(t+1)–ε(t-1)1F

(s)=1s第4-20页■

s(1

e

)F2(s)=

F1(s)f

(at

t0

)ε

(at

t0

)

且有实常数t0

000

00F

(s)Re[s]

σ

st若

f

(t

)

F

(s) Re[s]

σ

0则

f

(t

t

)ε

(t

t

)

e5.2

拉普拉斯变换性质例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1

[0.5(t-2)]f1(0.5t)

←→

2F1(2s)0f1(t)1014

t1

tf2(t)2-1第4-21页■f1

[0.5(t-2)]

←→

2F1(2s)e-2sf2(t)

←→

2F1(2s)(1

–e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?5.2

拉普拉斯变换性质四、复频移（s域平移）特性s2例1:已知因果信号f(t)的象函数

F

(s)

s

1求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→(s

1)2

9e

2

(s

1)3s

1

4

2

4

2

2

4第4-22页■s

2

s

2

s

2例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解:cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)F

(s)

s

2

2

2

2

s

2

jωaf

(t

)esat

F

(s

s

)a且有复常数sa

σ

aRe[s]

σ

0

σa若

f

(t)

F

(s) Re[s]

σ

0则5.2

拉普拉斯变换性质第4-23页■🖂、时域的微分特性（微分定理）n

1f(

n)

(t)

sn

F

(s)

m

0s

f

(0

)n

1

m

(

m)

例3:

d

[cos

2t]

?d

td

t若f(t)为因果信号，则f

(n

)(t)

sn

F

(s)例1:δ(n)(t)←→?例2:

d

[cos

2tε

(t)]

?Re[s]

σ

0若

f

(t)

F

(s)则f

(t)

sF

(s)

f

(0

)f

′(t)

s2

F

(s)

sf

(0 )

f

(0

)

5.2

拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）1f

(x)

d

x

F

(s)s

n

nt

0

f

(

1)

(t)

f

(x)

d

x

s

1F

(s)

s

1

f

(

1)

(0

)

ttε

(x)

d

x

tε

(t)0

ttε

(t)t

20ε

(x)

d

x

ε

(x)

d

x

x2023第4-24页■22t

ε

(t)

sRe[s]

σ

0

，

则若

f

(t)

F

(s)例1:

t

2ε

(t

)

？5.2

拉普拉斯变换性质0

f

'(x)

d

x

f

(t)

f

(0

)例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f

(t)求导得f

(t)，如图t

0

f

'(

x)

d

xf

(t)

由于f

(t)是因果信号，故（f

0

)

0t

2

s

2

s11sF

(s)

(1

e)

2

e(1

e

2s

)

e

2sF

(s)

12sss2F

(s)

1

f

(t)

ε

(t)

ε

(t

2)

2δ

(t

2)

结论：若f(t)为因果信号，已知nf

(

n)

(t)

F

(s)sn第4-25页■则：f

(t)

Fn

(s)5.2

拉普拉斯变换性质

c

j

c

j

F

(η)F

(s

η)

dηf1

(t)

f

2

(t)

2π

j1七、卷积定理时域卷积定理若因果信号

f1(t)

F1(s) Re[s]

σ1,

f

2

(t)

F2

(s) Re[s]

σ

2则

f1(t)*

f2

(t)

F1(s)F2

(s)复频域（s域）卷积定理1

2例1：t

ε(t)←→?例2：已知1F

(s)

?s(1

e

2

s

)

ε

(t)*

δ

(t

2n)

ε

(t

2n)n

0

n

01第4-26页■1

e

sT

1

e

s

2T例3：已知F

(s)

1

e

sT

？5.2

拉普拉斯变换性质八、s域微分和积分d

sd

F

(s)(

t)

f

(t)

d

sndn

F

(s)n(

t)

f

(t)

sF

(η)dη

f

(t)

tRe[s]

σ0

，

则若

f

(t

)

F

(s)例1：t

2e

2tε

(t)

?解：e

2tε

(t)

1s

2d2第4-27页■2

2t(s

2)312t

e

ε

(t

)

( )

d

s2

s

25.2

拉普拉斯变换性质t例2：sin

t

ε

(t)

?

11sin

tε

(t)

s

2

ssη

2sin

t

ε

(t)

1

dη

arctanηπ

arctan

s

arctan

12

s

t

1例3：1

e

2tt1

e

2t

?

1

s s

211

e

2t第4-28页■111s

2s(1

1

)

d

s

lns1

s1

2

ln

ss

s

s

2t

5.2

拉普拉斯变换性质第4-29页■九、初值定理和终值定理t

0

s

初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞)，而不必求出原函数f(t)。初值定理设函数f(t)不含δ(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则f

(0

)

lim

f

(t)

lim

sF

(s)终值定理若f(t)当t

→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,σ0<0，则s

0f

(

)

lim

sF

(s)5.2

拉普拉斯变换性质

2s

2s

2例1：F

(s)

2s

2

2s

22s

22s

2f

(0

)

lim

sF

(s)

lims

s

2s

0

2s

2f

(

)

lim

sF

(s)

lims

0

s2s

0例2：F

(s)

2s

2s

2s

2

2第4-30页■

2s

2

2s

2

2sf

(0

)

lim

sF

(s)

lims

s

2s

2s

2s

2F

(s)

1

2s

2

5.3

拉普拉斯逆变换5.3

拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法:

（1）查表法（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为snn

1

1

0b

sm

b sm

1

....

b

s

bF

(s)

m

m

1

1

0

a sn

1

...

a

s

aA(s)第4-31页■若m≥n（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。F

(s)

P(s)

B(s)5.3

拉普拉斯逆变换2s2

3s

3F

(s)

s

3

s

2

6s

2

11s

6

6s

2

11s

6s

3

8s3

25s

2

31s

15s4由于L-1[1]=δ(t)，L-1[sn]=δ(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为F

(s)

第4-32页■snn

1

1

0B(s)

b

sm

b sm

1

....

b

s

b

m

m

1

1

0

A(s)

a sn

1

...

a

s

a式中A(s)称为系统的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。5.3

拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单极点（单根）s

pnKns

piKi

...

....

F

(s)

B(s)

A(s)

s

p1

s

p2K1

K2s

piKi

(s

pi

)F

(s)1i]

e

pit

ε

(t

)s

pL

1[特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2

=–α±jβ)B(s)D(s)(s

α

j

β

)(s

α

j

β

)D(s)[(s

α)

2

β

2

]B(s)F

(s)

K

2s

α

j

βK1s

α

j

β2

F

(s)

j

θK1

[(s

α

j

β

)F

(s)]

s

α

j

β

|

K1

|

e

A

j

B第4-33页■K2

=K1*5.3

拉普拉斯逆变换1s

α

j

β|

K

|

e

j

θ

|

K

|

e

j

θKs

α

j

β

s

α

j

β

s

α

j

βKF(s)

1

2

1

1

例1:已知F

(

s)

10(s

2)(s

5)

,s

(s

1)(s

3)求其逆变换。k2

k3s s

1

s

3解：部分分式分解法

F

(s)

k1

（m

n）其

中

k1

s

F

(

s

)

s

0第4-34页■s

0

1

0

(

s

2

)(

s

5

)

1

0

0(

s

1)(

s

3

)31f

(t)

2

|

K

|

e

α

t

cos(β

t

θ

)ε

(t)1,21ε

(t)[

A

cos(βt)

B

sin(β

t)]

αt1

A

jB,

f

(t)

2e若写为k5.3

拉普拉斯逆变换s

1s

1k

2

(

s

1)

F

(

s

)

1

0

(

s

2

)(

s

5

)

2

0s

(

s

3

)3s

3k3

(

s

3)

F

(

s)

s

3

10(

s

2)(

s

5)

10s(s

1)

F

(

s

)

1

0

0

2

0 1

03

s

s

1 3

(

s

3

)e第4-35页■103100ε

(t)

3

20e

f

(t)

3t

t5.3

拉普拉斯逆变换例2:s

3

5

s

2

9

s

7已知F

(s

)

,(

s

1)(

s

2

)求其逆变换解：长除法F

(

s

) s

2第4-36页■

9

s

7

2

s

5

s

2

3

s

22

s

2

7

s

72

s

2

６

s

４s

3

s

2

3

s

2

s

3s

35.3

拉普拉斯逆变换k1

k

2s

1

s

2分式分解法

F

(

s

)

s

2

1s

12s

2(

s

1)(

s

2

)其中

k

(

s

1)

s

3

2

s

3

1s

1k

F

(

s)

s

2

2

1

s

1

s

2第4-37页■

f

(t)

δ

'(t)

2δ

(t)

(2

e

t

e-2

t

)ε

(t)5.3

拉普拉斯逆变换例3s

2(

s

2

2

s

5)(

s

2)

3已知F

(s

)

,

求其逆变换s2

3解：F

(s)

(s

1

j2)(s

1

j2)(s

2)

k1s

1

j2

k2

k0s

1

j2

s

2p

1

,

2

α

j

β

,

(α

1,

β

2

)s

1

j

2第4-38页■s

2

3

1

j

25

(

s

1

j

2

)(

s

2

)其中k15.3

拉普拉斯逆变换1即

k

1

,

2

A

j

B

, (

A

5

,

B

2

)575s

2s

2

3

(

s

1

j

2

)(

s

1

j

2

)k０

1

j

2

1

j

2

F

(s)

5 5

5

5

7s

1

j2

s

1

j2

5(s

2)

α

1,

β

255A

1

,

B

2

e第4-39页■525ε

(t)

7

5

1

cos(2t)

sin(2t)

f

(t)

2

e

2t

t5.3

拉普拉斯逆变换例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。s(s

1)(s2

1)(s

2

2s

2)

s

2

2s

4F

(s)

s3解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=–1，s3,4=±j1

，s5,6=–1±j1，故

s s

1

s

j s

j s

1

j s

1

jK

4

K

5

K

6

K

2

K3F

(s)

K1K1=

sF(s)|s=0

=

2，

K2=

(s+1)F(s)|s=-1=

–1K3=

(s

–j)F(s)|s=j=j/2

=(1/2)ej(π/2)

,K4=K3*=(1/2)e-j(π/2)41j

3πK6=K5*4第4-40页■22

e

t

cos(t

3π

)]ε

(t)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=

e2f

(t)

[2

e

t

cos(t

π

)

5.3

拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=p1处有r重根，A(s)F(s)

B(s)

1K1r(s

p

)11K11

K12

....

(s

p

)r(s

p

)r

1s

p1(r

1)!

d

s

r

1dr

1111rr

(s

p

)

F

(s)

K

s

n

1n!L[t

nε

(t)]

1111n!]

t(s

p

)n

1L

1[p

te

ε

(t)ns

p1111F

(s)rK

(s

p

)

s

p1第4-41页■121r

d

dsK

(s

p

)

F

(s)

5.3

拉普拉斯逆变换求其逆变换。s(s

1)3举例:

已知F

(s)

s

2

,k13k11

k12

k

2解：F

(s

)

(

s

1)

s

(

s

1)3

(

s

1)

231s

2令

F

(

s)

(

s

1)

F

(

s)

s1其

中

k1

1

F1

(

s

)

s

ps

1

s

2

3ss

p1第4-42页■1

21s

(

s

2

)

1s

2s

1

2d

sk

d

F (

s

)

5.3

拉普拉斯逆变换s

p

12k

1

3F1

(

s

)2

d

s

2s

4s

11

d1

4

s

22

k

2

s

F

(

s

)s

0(

s

1

)

3s

0

s

2

2

F

(

s

)

３

２

２

２(

s

1)

3

(

s

1)

2

(

s

１)

s2第4-43页■

f(t

)

(

3

t

2

e

t

2t

e

t

2

e

t

2)ε

(t

)5.4

复频域分析第4-44页■一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为

n

mi

ii

0

j

0(

j

)(i)b

f

(t)a

y

(t)

i

1系统的初始状态为y(0-),y’(0-),…，y(n-1)

(0-)。取拉普拉斯变换y(

i

)

(t)

si

Y

(s)

si

1

p

y(

p)

(0

)p

0若f

(t)在t

0时接入，则f

(j)(t)

s

j

F

(s)5.4

复频域分析n

ni

mj

jj

0i

1

p

(

p

)i

i

i

0

i

0i

1p

0a

s

]Y

(s)

a[b

s

]F

(s)s

y

(0

)]

[[A(s)

A(s)x

fY

(s)

M

(s)

B(s)

F

(s)

Y

(s)

Y

(s)例1

描述某LTI系统的微分方程为y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t)已知初始状态y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5costε(t)，求系统的全响应y(t)。解：取拉氏变换得F(s)s

2

s

2

5s

6

5s

6Y

(s)

sy(0

)

y'

(0

)

5y(0

)

2

1第4-45页■F

(s)

s

25s5.4

复频域分析5.4

复频域分析25ss

4Y

(s)

Yx

(s)

Yf

(s)

(s

2)(s

3)

(s

2)(s

3)

s

2

1e4

e

41

1

2

1

4

3

2

2

j

π

jπs

2

s

3

s

2

s

3

s

j s

jy(t)

[2e

2t

e

3t

4e

2t

3e

3t

2

cos(t

π

)]ε

(t)4二、系统函数系统函数H(s)定义为B(s)第4-46页■def

Y

(s)H

(s)

f

F

(s)

A(s)它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。h(t)<-->H(s)5.4

复频域分析例已知当输入f(t)=e-tε(t)时，某LTI系统的零状态响应yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)ε(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。F

(s) (s

2)(s

3)第4-47页■解：H

(s)

Y

f

(s)

s

2s

2

s

3

5s

62(s

4)

4

2

2s

8h(t)

(4e

2t

2e

3t

)ε

(t

)微分方程为y

′(t)

5

y

(t)

6

y(t)

2

f

(t)

8

f

(t)5.4

复频域分析三、系统的s域框图积分器的系统框图：1/sF(s)F(s)/s∑∑s

1s

1例：已知系统框图如图所示：132F(s)Y(s)求H(s)。X(s)S-1X(s)S-2X(s)4H(S)F(s)第4-48页■Y(s)5.4

复频域分析四、电路的s域模型

对时域电路取拉氏变换

1、电阻u(t)=R

i(t)2、电感d

tu(t

)

L

d

iL(t

)s1

i

(0

)sLL

U

(s)

LI

(s)

i(t)

Ru(t)U(s)=

R

I(s)I(s)

RU(s)Lu(t)iL(t)U

(s)

sLIL

(s)

LiL

(0

)第4-49页■5.4

复频域分析3、电容d

ti(t)

C

d

uC

(t)sC

s1

u

(0

)I

(s)

C

CU

(s)

I(s)UC(s)CuC(0

-)或s

1

uC

(0

)sCsC1I(s)UC(s)Ci(t)uC(t)4、电源的S域模型us(t)，

is(t)Us(s)，

Is(s)第4-50页■I

(s)

sCUC

(s)

CuC

(0

)5.4

复频域分析5、S域的KCL，KVL例：如图所示电路，已知uS(t)=ε(t)V，iS(t)=δ(t)，起始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压u(t)。

kkI

(S)

0Lkki

(t)

0

节点：Lk

k

k

k

U

(S)

0u

(t)

0回路：第4-51页■5.4

复频域分析第4-52页■🖂、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系

0

stF

(s)

f

(t)

e d

tRe[s]>σ0

f

(t)

e

jω

t

d

tF(jω)

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标σ0的值可分为以下三种情况：（1）σ0

>0，F(jω)不存在。例：f(t)=e2tε(