机械制图（多学时）第2版 课件 模块2 正投影基础

模块2

正投影基础

教学内容模块2

正投影基础知识点2

投影法基本知识知识点3

三视图的形成及投影规律知识点6

平面的投影知识点7

任务实施知识点5

直线的投影知识点4

点的投影知识点1任务引入

教学目标1.了解投影法的基本概念；2.掌握三视图的形成过程、投影规律及物体的六个方位关系；3.掌握点、直线、平面的三面投影；4.掌握各种位置直线、平面的投影特性；5.熟悉两点的相对位置、直线的相对位置、直线上的点、平面上的直线和点。模块2

正投影基础素养提升实事求是、严谨认真三维形体知识点1任务引入

日常生活中投影现象随处可见，但是，怎样才能通过投影来反映图示三维形体的形状和尺寸呢？二、正投影的基本性质一、投影法知识点2

投影法基本知识

投射线通过物体向选定的面投射并在该面上得到图形的方法。一、投影法知识点2

投影法基本知识投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图

画标高图及

正轴测图单面投影多面投影1.中心投影法

所有投射线汇交于一点投影法。一、投影法知识点2

投影法基本知识投影特性——中心投影法得到的投影一般不反映形体的真实大小。——度量性较差，作图复杂。——立体感强，适用于外观图、美术图、照相等。2.平行投影法投射线相互平行的投影法。一、投影法知识点2

投影法基本知识斜投影法——投射线与投影面倾斜

正投影法——投射线与投影面垂直投影特性——能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且作图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。——立体感较差。

二、正投影的基本性质知识点2

投影法基本知识

（1）真实性平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）的性质。（2）积聚性

平面（或直线）与投影面垂直时，其投影积聚成一条线（或一个点）的性质。（3）类似性平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影变小（或变短），但投影的形状与原来相类似的性质。二、正投影的基本性质知识点2

投影法基本知识真实性积聚性类似性直线或平面平行于投影面直线或平面垂直于投影面直线或平面倾斜于投影面二、形体三视图的投影规律及画法一、三投影面体系的建立知识点3三视图的形成及投影规律三、三视图的画法及作图步骤知识点3三视图的形成及投影规律第一分角三面三轴原点三轴的交点称为原点O。正立投影面—正面，用V

表示。水平投影面—水平面，用H表示。侧立投影面—侧面，用W

表示。OX轴—V、H面的交线，代表物体的长度方向。OY轴—H、W面的交线，代表物体的宽度方向。OZ轴—V、W面的交线，代表物体的高度方向。

一、三投影面体系的建立V正立投影面H水平投影面W侧立投影面OXZY知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

注意（1）视图的基本概念

将物体向投影面作正投影所得到的图样，称为视图。

——视图不是观察者看到物体所得到的直觉印象。——视图是把物体放在观察者和投影面之间。——观察者的视线被视为一组相互平行且与投影面垂直的投射线（正投影法），即视图是对物

体进行正投射所获得的。

1.三视图的形成知识点3三视图的形成及投影规律

一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。两个视图也不行二、形体三视图的投影规律及画法

一个视图不行1.三视图的形成知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

主视图：前方→后方投射在正面V所得的视图。左视图：左方→右方投射在侧面W所得的视图。俯视图：上方→下方投射在水平面H所得的视图。左视俯视主视（1）三视图：物体在三面投影体系中的三面投影。

1.三视图的形成（2）三视图的展开正面保持不动，水平面OX轴向下旋转90°，侧面绕OZ轴向右旋转90°。90°90°(主视图)(左视图)(俯视图)知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

1.三视图的形成知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

——形体在三投影面体系中的位置一经选定，在投影过程中不能移动或变更。——在三投影面体系中摆放形体时，应使形体的多数表面（或主要表面）平行或垂直于投影面（即形体正放）。注意1.三视图的形成知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

（1）三视图的位置关系（2）三视图间的“三等”关系（3）视图与物体的方位关系2.三视图之间的对应关系知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

2.三视图之间的对应关系（1）三视图的位置关系——以主视图（V面）为准。——俯视图（H面）在主视图（V面）的正下方。——左视图（W面）在主视图（V面）的正右方。俯视图（H面）主视图（V面）左视图（W面）主视(产生V面投影)这种位置关系一般不允许变动。画图时去掉汉字，只需保留三个图。知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

2.三视图之间的对应关系（2）三视图间的“三等”关系主视图：反映物体的长度（X）和高度（Z）俯视图：反映物体的长度（X）和宽度（Y）左视图：反映物体的宽度（Y）和高度（Z）※无论是整体还是局部均满足“三等规律”！总体三等局部三等三等规律V面、H面（主、俯视图）——长对正。H面、W面（俯、左视图）——宽相等。V面、W面（主、左视图）——高平齐。

知识点3三视图的形成及投影规律H面(俯视图)——反映物体的左、右、前、后W面(左视图)——反映物体的上、下、前、后V面(主视图)——反映物体的上、下、左、右后面：靠近主视图的一边前面：远离主视图的一边以主视图为基准二、形体三视图的投影规律及画法2.三视图之间的对应关系（3）视图与物体的方位关系知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法3.三视图的画法及作图步骤1）分析其结构形状，摆正物体（使其主要表面与投影面平行或垂直），选好主视图的投射方向：主视图尽可能反映物体的形状特征，其它视图作图简单、细虚线少；2）确定绘图比例和图幅；3）布局，画底稿图：先画基准线（定位线），再从具有形体特征的主视图入手，先主后次，逐个绘出各部分的投影（先画特征投影或有积聚性的投影），根据“三等”规律，三个视图结合起来画；4）检查三视图的投影；5）加深描粗图线：其画线顺序一般先画细线后画粗线、先画圆线后画直线（先水平后铅垂再斜线）、从左至右、从上至下依次加深描粗图线；6）再次全面检查、校对视图、修饰图面；7）填写标题栏。知识点3三视图的形成及投影规律将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定主视图的投影方向。可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用细虚线绘制。当粗实线与细虚线或细点画线重合时,应画成粗实线；当细虚线与细点画线重合时，则应画成细虚线。整体和局部都要符合三视图的投影规律。特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系。注意知识点3三视图的形成及投影规律二、形体三视图的投影规律及画法

3.三视图的画法及作图步骤例主视图投射方向知识点3三视图的形成及投影规律二、点的投影与直角坐标的关系一、点的三面投影知识点4点的投影三、两点的相对位置面BCDA线点

点、直线、平面是构成物体的基本几何元素。知识点4点的投影一、点的三面投影采用多面投影（1）点的投影点的一个投影不能确定空间点的位置!AA1A2aHXVAYOWZaa

Ya

ZaXa″a′H知识点4点的投影一、点的三面投影

将空间点置于三面投影体系内，过空间点分别向三个投影面作垂线，垂足即为空间点在三个投影面上的投影。（2）点的投影标记空间点用大写拉丁字母或罗马数字表示；点的投影用相应的小写字母或阿拉伯数字表示。XVAYOWZaa

Ya

ZaXa″a′Ha—点A的水平(H)投影;a″—点A的侧面(W)投影。Α—空间点A；a′—点A的正面(V)投影;知识点4点的投影一、点的三面投影（3）点的三面投影规律知识点4点的投影一、点的三面投影XVYOWZHa

Za″a′a

YaXaAWVHYWOXZYHaxaza

ayayaa″

*点的两面投影连线必定垂直于相应的投影轴。

a

a⊥OX轴

a

a

⊥OZ轴

aax=a

az（3）点的三面投影规律

*点的两面投影连线必定垂直于相应的投影轴。知识点4点的投影一、点的三面投影

a

a⊥OX轴

a

a

⊥OZ轴

aax=a

azaOXYWYHaYHaYWaZZax

a''a'

知识点4点的投影Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A点到V面的距离Aa=a

ax=a

ay=az0=zA——A点到H面的距离

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A点到W面的距离XVYOWZaaYa

ZaXa″a′HA*点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即影轴距等于点面距。（3）点的三面投影规律一、点的三面投影知识点4点的投影一、点的三面投影●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●

通过作45°线使a

az=aax用分规直接量取a

az=aax知识点4点的投影二、点的投影与直角坐标的关系XVYOWZaa

Ya

ZaXa″a′HZAYAXAA空间点A（XA，YA，ZA）XA：A点到W面的距离；YA：A点到V面的距离；ZA：A点到H面的距离。知识点4点的投影二、点的投影与直角坐标的关系知识点4点的投影例：已知A点的坐标值A（12,10,15），求作A点的三面投影图。

（1）作投影轴（2）量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等点。步骤:（3）过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a′、a″既为所求。

aa''a'OXYWHYZaZ15YHa10aX12YWa10知识点4点的投影指两点在空间的左右、前后、上下位置关系。x坐标大的在左；y坐标大的在前；z坐标大的在上。判断方法上下后左右前三、两点的相对位置B点在A点的左、前、下方。

当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。重影点及可见性判断()H面重影，被挡住的投影加()知识点4点的投影二、各种位置直线的投影一、直线的三面投影知识点5直线的投影三、属于直线的点四、两直线的相对位置五、线段的实长及其对投影面的倾角

两点确定一条直线。

一、直线的三面投影作图方法：分别作出直线两端点的三面投影。分别用粗实线将同面投影连接。知识点5直线的投影二、各种位置直线及其投影特性知识点5直线的投影投影面平行线投影面垂直线正平线（只//Ｖ面）侧平线（只//Ｗ面）水平线（只//Ｈ面）正垂线（⊥Ｖ面）侧垂线（⊥Ｗ面）铅垂线（⊥Ｈ面）一般位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面平行于某一投影而与另两投影面倾斜与三个投影面都倾斜的直线1.一般位置直线例：

三面投影与三根投影轴都倾斜。投影特性

三面投影都不反映空间线段的实长及与三个投影面的夹角。知识点5直线的投影二、各种位置直线及其投影特性（1）投影面平行线水平线正平线侧平线知识点5直线的投影2.特殊位置直线

在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的夹角。

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。投影特性：知识点5直线的投影（2）投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线知识点5直线的投影2.特殊位置直线知识点5直线的投影铅垂线正垂线侧垂线●a

(b

)abb

a

●a

b

a(b)a

b

●a

b

aba

(b

)积聚为点积聚为点积聚为点投影特性:

另两面投影反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。

在垂直的投影面上，其投影积聚为一点。AB为水平线CD为侧平线例：判断下列直线的空间位置。知识点5直线的投影d′C′dCa'b'ab知识点5直线的投影（1）从属性：若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。（2）定比性：若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

=a

c

/c

b

判别方法：ABVHCbcac

b

a

d

d在不在C点直线AB上D点直线AB上D若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。三、属于直线的点知识点5直线的投影例：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法是因a

k:kb≠ak:kb

故点K不在AB上。1.两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。

四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。知识点5直线的投影abcda

b

c

d

例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB//CDX知识点5直线的投影cbadd

b

a

c

b

d

c

a

对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。结论：AB与CD不平行例：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影如何判断知识点5直线的投影HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

2.两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。kk

交点是两直线的共有点k

kK知识点5直线的投影●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影知识点5直线的投影3.两直线垂直两直线夹角的投影有三种情况：①当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。②当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。③当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。知识点5直线的投影直角投影定理

直角投影定理：与两相交垂直直线一样，两交叉垂直直线，只要有一条直线平行于某个投影面，那么它们在该投影面的投影仍互相垂直。如下图a）所示，MN平行于AB，MN和BC是两交叉垂直直线，则它们在H面的投影也相互垂直。直角投影定理（逆）：如果两直线在某一投影面上的投影互相垂直，而且其中有一条直线平行于该投影面，则这两直线在空间一定互相垂直。如下图d）中，GH是正平线，GH和KJ在V面上的投影g′h′和k′j′互相垂直，则在空间GH垂直于KJ。a）b）c）d）两直线相互垂直知识点5直线的投影作图步骤：①过a作ad⊥bc，如图b）所示。②作垂线ad的V面投影

，如图c）所示。③用直角三角形法求ad的实长，先求a，d两点的y方向坐标之差Δy，如图d）所示。④以a′d′为一直角边，

d′n=Δy为另一直角边，则斜边a′n即为所求距离实长，如图e）所示。a）b）c）d）e）求一点到水平线的距离例如下图所示，求点a到直线bc的距离。知识点5直线的投影12●●d

b

a

abcdc1

(2

)3(4)4.两直线交叉

同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。

“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是

H

面的重影点。3

4

●●AB与CD两直线相交吗投影特性：结论：AB与CD两直线不相交—交叉知识点5直线的投影知识点5直线的投影五、线段的实长及其与投影面的倾角

对于特殊位置直线段，即投影面平行线和投影面垂直线，其三面投影就可以反映出其空间实际长度和相对于投影面的倾角。但对于一般位置直线段，由于它相对于三个投影都是倾斜的，在三个投影面的投影都不能反映它本身的实际长度和相对于投影面的倾角，因此，当我们想根据一般位置直线的三面投影确定其实长及其相对于投影面的倾角时，必须采用一些方法，如直角三角形法、换面法和旋转法。本节内容只介绍直角三角形法求一般位置线段的实长及与投影面的倾角。直角三角形法求线段的实长和倾角知识点5直线的投影直角三角形法求线段的实长和倾角知识点5直线的投影总结：①求一般位置线段AB的实长及对H面的倾角α时，应运用H面投影长度（ab）及垂直H面方向的坐标差（Δz）为两直角边构成直角三角形，斜边即为AB实长，斜边与ab的夹角即为α。②求一般位置线段AB的实长及对V面的倾角β时，应运用V面投影长度（a′b′）及垂直V面方向的坐标差（Δy）为两直角边构成直角三角形，斜边即为AB实长，斜边与a′b′的夹角即为β。③求一般位置线段AB的实长及对W面的倾角γ时，应运用W面投影长度（a″b″）及垂直W面方向的坐标差（Δx）为两直角边构成直角三角形，斜边即为AB实长，斜边与a″b″的夹角即为γ。知识点5直线的投影例如下图a）所示，已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影

，并知AB对H面的倾角

，点B在点A之上，求AB的正面投影

。分析：此题可用直角三角形法反过来求AB的V面投影。a)知识点5直线的投影例

如下图a）所示，已知直线AB的V面投影a′b′和点A的H面投影a，并知其实长为25mm，且点B在点A的前方，求AB的H面投影ab。分析：此题仍要根据直角三角形法反过来求ab。a)二、各种位置平面的投影一、平面的三面投影知识点6平面的投影三、属于平面的直线和点四、平面的最大斜度线不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形一、平面的三面投影知识点6平面的投影1.平面的表示法●●●●a

b

c

a

c

b

abcXHVZa'b'c'AaBbca"c"b"CY2.平面的投影此“平面”多指平面的有限部分，即平面图形。

画出平面图形各顶点的投影，然后将各顶点的同面投影依次连接，即为平面图形的投影。求其投影的实质：知识点6平面的投影投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影1.一般位置平面a

b

c

a

c

b

abc空间状态：倾斜于三个投影面投影特征：三个类似形线框二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影2.特殊位置平面（1）投影面平行面空间状态：平行于一个面，垂直于两个面投影特征：一线框（实形）、两直线（平行于投影轴）a

b

c

a

b

c

abc二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影2.特殊位置平面（1）投影面平行面正平面侧平面水平面二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影2.特殊位置平面（1）投影面平行面正平面侧平面水平面二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影2.特殊位置平面（1）投影面平行面a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性结论：水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影2.特殊位置平面（2）投影面垂直面空间状态：垂直于一个面，倾斜于两个面投影特征：一条斜线、两个类似形线框H面投影积聚成一直线。β、γ反映平面对V、W面的倾角。二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影铅垂面正垂面侧垂面2.特殊位置平面（2）投影面垂直面二、各种位置平面及其投影特征知识点6平面的投影铅垂面正垂面侧垂面2.特殊位置平面（2）投影面垂直面二、各种位置平面及其投影特征ABC是什么位置的平面？abca

c

b

c

b

a

铅垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。γβ类似性类似性积聚性知识点6平面的投影2.特殊位置平面（2）投影面垂直面判断直线在平面内的方法定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。1.属于平面的直线三、属于平面的直线和点知识点6平面的投影有无数解。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：根据定理一有多少解根据定理二三、属于平面的直线和点知识点6平面的投影1.属于平面的直线例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解三、属于平面的直线和点知识点6平面的投影1.属于平面的直线2.从属于平面的点先找出过此点而又在平面内的任一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●面上取点的方法：首先面上取线②●abcab

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解三、属于平面的直线和点知识点6平面的投影bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二三、属于平面的直线和点知识点6平面的投影2.从属于平面的点

a）

求点M的两面投影知识点6平面的投影三、属于平面的直线和点3.平面内的投影面平行线某一平面内投影面平行线的投影，既有投影面平行线具有的特性，又满足直线在平面上的几何条件。如果给出某点的空间相对坐标位置，就可以利用投影面平行线的特性及应该满足的几何条件，求出该点的投影。

例如下图a）所示△ABC的两面投影，在△ABC平面上取一点M，使点M比点B低6mm，在点B之后7mm，试求点M的两面投影。分析：已知点M比点B低6mm，可作平面上的水平线；已知点M在点B之后7mm，可作平面上的正平线，点M必在两直线的交点上。b）c）d）知识点6平面的投影三、属于平面的直线和点4.平面的最大斜度线（1）最大斜度线的定义平面上相对投影面倾角最大的直线称为该平面的最大斜度线，这是属于并垂直于该平面的投影面平行线的垂直线。平面上垂直于水平线的直线，称为对水平投影面的最大斜度线；垂直于正平线的直线，称为对正立投影面的最大斜度线；垂直于侧平线的直线，称为对侧立投影面的最大斜