高中数学《二面角的平面角及求法》练习

在高中立体几何的学习中，二面角是一个核心概念，而求二面角的平面角则是其重点与难点。它不仅考察我们对空间图形的直观感知能力，更考验逻辑推理与计算能力。本文将系统梳理二面角平面角的定义、求解方法，并通过典型例题与练习题，帮助同学们深化理解，掌握解题技巧。一、二面角的平面角的概念回顾我们知道，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。而二面角的大小是由其平面角来度量的。1.1定义以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。1.2理解要点*顶点在棱上：平面角的顶点必须位于二面角的棱上。*两边在面内：平面角的两条边分别在二面角的两个半平面内。*垂直于棱：平面角的两条边都必须垂直于二面角的棱。只有同时满足以上三个条件的角，才是二面角的平面角。二面角的大小就等于其平面角的大小，范围是[0°,180°]。二、二面角的平面角的常用求法求解二面角的平面角，关键在于根据题目的具体条件，选择合适的方法作出或找到这个平面角，然后通过解三角形等方法求出其大小。2.1定义法（直接法）根据二面角平面角的定义，直接在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，从而得到平面角。步骤：1.在二面角的棱上选择一个恰当的点作为平面角的顶点（通常选择特殊点，如中点、端点，或与已知条件相关的点）。2.过此顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线。3.这两条射线所成的角即为所求二面角的平面角。4.在包含此平面角的三角形中，利用已知条件求出该角的大小。适用场景：图形中存在或容易作出符合定义的垂线，结构相对简单。例题示范：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求二面角A₁-BD-C₁的平面角的余弦值。（*分析*：可在棱BD上取中点O，连接A₁O与C₁O。易证A₁O⊥BD，C₁O⊥BD，故∠A₁OC₁即为所求二面角的平面角。然后通过计算A₁O、C₁O、A₁C₁的长度，利用余弦定理求解。）2.2三垂线定理（或逆定理）法这是求二面角平面角最常用的方法之一，其核心思想是利用线面垂直关系来构造平面角。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。方法思路：1.在二面角的一个半平面α内取一点P，作另一个半平面β的垂线，垂足为Q。2.过垂足Q作二面角棱l的垂线，垂足为O。3.连接PO，则根据三垂线定理（或逆定理），PO也垂直于棱l。4.因此，∠POQ即为所求二面角α-l-β的平面角。适用场景：易于在一个半平面内找到一点向另一个半平面作垂线，且垂足位置相对明确。例题示范：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC。求二面角A-PC-B的大小。（*分析*：欲求二面角A-PC-B，可在平面PAC内取点A，作平面PBC的垂线。但PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，从而平面PAB⊥平面PBC。过A作PB的垂线，垂足为D，则AD⊥平面PBC。再作PC的垂线DE，垂足为E，连接AE，则∠AED即为所求二面角的平面角。）2.3垂面法如果能找到一个平面与二面角的棱垂直，那么这个平面与二面角的两个半平面的交线所成的角，就是该二面角的平面角。步骤：1.找到一个平面γ，使得γ与二面角的棱l垂直。2.设平面γ与二面角的两个半平面α、β分别交于直线a、b。3.则直线a与b所成的角（或其补角）即为二面角α-l-β的平面角。适用场景：存在或易于构造出与棱垂直的平面。2.4向量法（坐标法）随着空间向量的引入，向量法为求解二面角提供了一种代数化的途径，尤其对于一些复杂的几何体，向量法往往能化繁为简。核心思想：二面角的大小可以通过其两个半平面的法向量的夹角来求得。设两个半平面的法向量分别为n₁和n₂，则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos<n₁,n₂>|。需要注意的是，法向量的夹角与二面角的平面角可能相等，也可能互补，需结合图形判断其具体大小（是锐角还是钝角）。步骤：1.建立适当的空间直角坐标系。2.求出二面角两个半平面的法向量n₁和n₂。3.计算法向量n₁和n₂的夹角余弦值。4.根据图形观察二面角是锐角还是钝角，确定二面角的大小θ。适用场景：几何体规则，易于建立空间直角坐标系，且各点坐标易于表示。例题示范：已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁。求二面角B₁-AC-B的大小。（*分析*：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立坐标系。设AC=BC=AA₁=1，求出平面B₁AC和平面BAC的法向量，再求夹角。）三、方法总结与选择策略面对具体问题时，选择合适的求法至关重要：*定义法：直观，但有时不易作出平面角，依赖于对图形的深刻理解。*三垂线定理法：应用广泛，技巧性较强，需要熟练掌握线面垂直关系。*垂面法：逻辑清晰，但找到垂面有时需要一定的空间想象能力。*向量法：思维量小，步骤相对固定，计算量可能较大，是“万能”方法之一，但需注意法向量方向与二面角大小的关系。在解题时，建议首先观察图形的特点，尝试用定义法或三垂线定理法；若图形不规则或关系复杂，可考虑向量法。多练习，多总结，才能灵活运用。四、实战演练：练习题以下练习题旨在帮助同学们巩固所学知识，灵活运用各种方法求解二面角的平面角。练习1：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求平面A₁BD与平面C₁BD所成二面角的余弦值。（*提示：可考虑定义法，取BD中点；或向量法。*）练习2：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB。求二面角B-PC-D的大小。（*提示：可考虑三垂线定理法，在平面PBC或PDC内找一点向另一个平面作垂线；或向量法。*）练习3：已知正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长相等，E、F分别为SC、AB的中点。求异面直线EF与SA所成角的大小及二面角E-AB-C的大小。（*提示：正三棱锥的性质，对称性，可尝试定义法或向量法。*）练习4：在直二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，线段AB=2a，AB与α成45°角，与β成30°角。求二面角A-BC-l（其中C在l上）的平面角的大小（若存在）。（*提示：先根据已知条件确定点A、B在棱l上的射影位置，再分析。*）五、结语二面角的平面角及其求法，是立体几何中的一座重要桥梁，连接着空间想象与逻辑推理。同学们在学习过程中，应首先深刻理解平面角的定义，这是解决一切相关问题的基础。然后，通过大量练习，熟