综合与实践进球线路与最佳射门角课件-2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

一、实践背景与核心概念1.现实情境与探究意义足球比赛中，运动员带球跑动时，射门角大小直接影响进球概率（射门角越大，进球可能性越高）。本实践通过分析横向、直向等典型跑动线路，探究“最佳射门点”（射门角最大的位置），本质是将体育场景转化为圆的几何问题，深化对圆周角、切线性质的理解与应用。2.核心概念界定（配图：球门与射门角示意图）球门：用线段\(AB\)表示，\(A\)、\(B\)为球门边框两端点；射门点：运动员持球位置，记为点\(C\)；射门角：射门点与球门两端点的夹角，即\(\angleACB\)；最佳射门点：在某条跑动线路上，使\(\angleACB\)达到最大值的点。二、核心探究：不同跑动线路的最佳射门角1.横向跑动线路（平行于球门的跑动）（1）射门角变化规律如图1，直线\(l\)为横向跑动线路，\(C_0\)为球门中心线（\(AB\)的垂直平分线）与\(l\)的交点。当点\(C\)沿\(l\)自左向右移动时：射门角先增大，后减小，在\(C_0\)处达到最大值。（2）几何原理证明（关键：圆周角性质）过\(A\)、\(B\)、\(C_0\)三点作\(\odotO\)，则\(\angleAC_0B\)为弦\(AB\)所对的圆周角；在\(l\)上另取一点\(C_1\)（非\(C_0\)），连接\(AC_1\)、\(BC_1\)，\(BC_1\)与\(\odotO\)交于点\(D\)；由圆周角定理推论：\(\angleADB=\angleAC_0B\)（同弧所对圆周角相等）；又\(\angleADB>\angleAC_1B\)（三角形外角大于不相邻内角），故\(\angleAC_0B>\angleAC_1B\)。（3）核心结论横向跑动的最佳射门点\(C_0\)是过\(A\)、\(B\)的圆与直线\(l\)的切点；直线\(l\)离球门\(AB\)越近，最佳射门角\(\angleAC_0B\)越大。2.直向跑动线路（朝向球门的纵向跑动）（1）射门角变化规律如图2，直线\(CD\)为直向跑动线路（点\(D\)在\(AB\)延长线上）。当点\(C\)沿\(CD\)向球门方向移动时：射门角逐渐增大，在“过\(A\)、\(B\)的圆与\(CD\)的切点\(C'\)”处达到最大值。（2）与横向跑动的共性最佳射门点均满足“过球门两端点的圆与跑动线路相切”，切点处的射门角为该线路上的最大值。3.拓展：斜向跑动线路斜向跑动可分解为横向与直向的合成运动，最佳射门点同样遵循“切圆原理”：过\(A\)、\(B\)作圆与斜向线路相切，切点即为最佳射门点，且线路与球门的夹角越小（越接近横向），最佳射门角越易达到峰值。三、关键知识关联：衔接第24章核心模块实践中的问题关联的圆的知识点应用逻辑比较不同点的射门角大小圆周角、圆内角、圆外角的关系同弦同侧：圆内角>圆周角>圆外角（最佳射门角为圆周角，非圆内/外角）确定最佳射门点的位置直线与圆的位置关系（相切）最佳射门点是“直线与圆相切的切点”，此时圆心到直线的距离等于半径（\(d=r\)）证明射门角的最大值圆周角定理推论、三角形外角性质利用“同弧圆周角相等”和“外角大于内角”推导角度大小关系计算最佳射门角的度数垂径定理、勾股定理、圆周角与圆心角关系由垂径定理求圆心到\(AB\)的距离，结合半径用三角函数求圆心角，再得圆周角四、案例解析与实践应用例题：计算横向跑动的最佳射门角已知球门\(AB=7.32m\)（标准足球门宽度），横向跑动线路\(l\)与\(AB\)的距离为\(10m\)，求最佳射门角\(\angleAC_0B\)的度数。（1）解题步骤作\(AB\)的垂直平分线交\(AB\)于\(M\)，交\(l\)于\(C_0\)，则\(AM=3.66m\)，\(MC_0=10m\)；过\(A\)、\(B\)、\(C_0\)作\(\odotO\)，\(O\)在\(MC_0\)延长线上（垂径定理：圆心在弦的垂直平分线上）；设\(\odotO\)半径为\(R\)，则\(OM=R-10\)，在\(Rt\triangleAOM\)中：\(R^2=AM^2+OM^2\)，即\(R^2=3.66^2+(R-10)^2\)；解得\(R\approx10.67m\)，由圆周角与圆心角关系：\(\sin\frac{\angleAOB}{2}=\frac{AM}{R}\approx0.343\)，故\(\angleAOB\approx40^\circ\)，则\(\angleAC_0B=\frac{1}{2}\angleAOB\approx20^\circ\)。（2）结论当跑动线路距球门10m时，最佳射门角约为20°；若线路靠近球门（如5m），计算可得最佳射门角约为37°，印证“距离越近，角度越大”。五、实践总结与思想方法提炼1.核心结论无论横向、直向还是斜向跑动，最佳射门点均是过球门两端点的圆与跑动线路的切点；同弦同侧的角的大小关系：圆内角>圆周角>圆外角（最佳射门角为圆周角）；跑动线路与球门的距离直接影响最佳射门角大小，距离越近，角度越大。2.数学思想方法建模思想：将足球射门场景转化为“线段与圆的位置关系”几何模型；转化思想：将“求最大射门角”转化为“找直线与圆的切点”，用圆的知识解决实际问题；数形结合思想：通过画图标注已知量，利用圆周角、切线等性质建立数量关系。3.拓展作业测量校园足球门宽度，模拟横向跑动线路，计算不同距离下的最佳射门角；探究：为何足球比赛中“底线传中”后，中路包抄球员的射门角更大？（结合直向跑动最佳射门点原理）；用几何画板模拟：当跑动线路与球门成45°

角时，最佳射门点的位置变化。2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师：

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24.8综合与实践进球线路与最佳射门角第24章圆aiTujmiaNg合作探究ABC球门射门角射门点足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点.射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角.在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性就越大.合作探究

你知道运动员带球跑动的几种常见路线吗？ABC球门lABC球门lABC球门l把握最佳射门点，有助于提高运动员进球成功率.下面我们一起来研究!横向跑动直向跑动斜向跑动探究如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上由左边(或右边)逐渐向球门的中心靠近时，∠ACB怎样变化？当点C在什么位置时，∠ACB最大？ABC球门lC0∠ACB逐渐增大.根据对称性可知，当点C在直线l上移动到离球门中心最近的位置，即线段AB的垂直平分线与直线l的交点C0时，∠AC0B最大.猜想你能证明你的猜想吗？证明猜想ABC球门lC0证明：如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上移动时，∠ACB的最大值为∠AC0B.证明：过A，B，C0三点作⊙O，由于AB//l，AC0=BC0，C为直线l上任一点(不同于点C0)，易知⊙O与直线l相切于点C0，BC与⊙O交于点D.则∠ADB=∠AC0B.∵∠ADB＞∠ACB，∴∠AC0B＞∠ACB.即点C在直线l上移动时，∠ACB的最大值为∠AC0B.DOABC球门lC0当直线l向上平移到直线l'时，∠ACB的最大值会发生什么变化？延伸l'C0

→

C2

∠AC0B

→∠AC2B∠AC2B＞∠AC0BC2

根据刚才的探究你能得出什么结论？应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知归纳创设情境当运动员沿直线l横向跑动时，他的位置离球门的中心越近，射门角越大，离球门的中心最近(点C0)时，射门角最大.ABC球门lC0最佳射门角最佳射门点最佳射门角的大小与直线l到AB的距离有关，当直线l与AB的距离越近，最佳射门角就越大，射门进球的可能性也就越大.你还能得出其它的结论吗？归纳如果⊙O过点A，B，而直线AB同侧的三点C1，C0，C2分别在⊙O外，⊙O上和⊙O内，则有∠AC1B＜∠AC0B＜∠AC2B.ABC1球门lC0简单地说，在弦的同侧，同弦所对的圆外角α、圆周角β和圆内角θ的大小关系为α＜β＜θ.l'C2

O典型例题【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.(1)作出过A，B，C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系；(2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角；(3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长；(4)向左平移直线l到直线l'，观察直线l上的最佳射门角与直线l'上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论.ABC球门lDl'典型例题【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.(1)作出过A，B，C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系；解：(1)直线l与该圆有两种位置关系：相交、相切.典型例题【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.(2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角；(2)直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l上的最佳射门角.典型例题【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.(2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角；ABC球门lDO证明：设C1为直线l上任一点(不同于点C)，连接AC1交⊙O于点H，连接BC1，BH，因为⊙O与直线l相切于点C，则

∠AHB=∠ACB.∵∠AHB＞∠AC1B，∴∠ACB＞∠AC1B.即直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l上的最佳射门角.C1H典型例题【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.

(3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长；(3)如图，过点O作OE⊥AD，连接OB、OC.则四边形OEDC是矩形，OE=CD.

∵AB=m，BD=n，

∴OB=OC=DE=.

ABC球门lODE典型例题【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.(3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长；∴在Rt△OEB中，由勾股定理得ABC球门lODE∴CD的长为.典型例题【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.

(4)向左平移直线l到直线l'，观察直线l上的最佳射门角与直线l'上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论.(4)直线l上的最佳射门角比直线l'上的最佳射门角小.项目探究最佳射门角度的选择1.如图，足球运动员在球门AB前横向带球准备射门，下列说法正确的是(

)A．在C处射门进球的可能性大B．在D处射门进球的可能性大C．在C，D两处射门进球的可能性一样大D．无法判断C，D两处哪处进球的可能性大B项目探究进球线路与最佳射门角的个例分析2.【提出问题】如图①，直线l是足球场底线，AB是球门，点P是射门点，连接AP，BP，则∠APB叫做射门角．如图②，在足球比赛场上，甲、乙两名球员互相配合向对方球门AB进攻，当甲带球冲到点Q时，乙跟随冲到点P，仅从射门角度大小考虑(射门角越大，足球越容易被踢进)，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由．项目探究【经验感知】如图③，若球员在直线MN上跑动，随时准备射门，是否存在某一点S，使得射门角∠ASB最大．人们发现：当且仅当经过A，B两点的圆与直线MN相切于点S时，∠ASB最大，并称此时的∠ASB为最大射门角．如图④，AB