教学材料《工程力学》-第七单元

第7单元平面弯曲返回上一页677.6纯弯曲时梁横截面上的应力7.7常见截面的惯性矩897.8梁的正应力强度计算7.9提高梁弯曲强度的主要措施107.10梁变形的概念7.1平面弯曲的概念工程上有很多承受弯曲变形的构件。例如:图7-2所示的桥式起重机的吊梁，图7-3所示的火车轮轴，以及图7-4所示的油道托架，它们在垂直于轴线方向的力的作用下，发生了微小的弯曲。图7-5所示的化工反应塔，在侧力的作用下也发生了微小的弯曲。通过观察，发现这些杆件的受力特点是:所受外力垂直于杆件轴线方向。变形特点是:轴线由直线变成曲线。这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。在工程实际中，梁是极为普遍的构件之一。工程结构与机械中的梁，其横截面往往具有对称轴(图7一6)，对称轴y与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面(图7一7)。若作用在梁上的外力(包括力偶)都位于纵向对称面内，且力的作用线垂直于梁的轴线，则变形后的轴线仍位于纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲。本单元仅讨论平面弯曲问题。返回7.2梁的计算简图及静定梁的基本形式在工程实际中，梁的具体结构形状、支承情况及荷载作用方式都比较复杂。为了便于分析和计算，对实际结构进行一些简化，才能得出力学上的计算简图。简化的基本原则是:按计算简图计算的结果应符合客观实际;同时，应尽可能使计算简单、方便。梁的简化通常是从梁的结构形状、支座及荷载等三个方面进行。1.梁的结构形状的简化由于梁的截面形状是多种多样的，而本章主要研究的是具有纵向对称面的直梁，因此简化时就用梁的轴线代表梁。下一页返回7.2梁的计算简图及静定梁的基本形式2.支座的简化按实际支座对梁的约束情况，将其简化为基本形式。本章所研究的三种基本形式的支座是:(1)可动铰支座可动铰支座仅限制支承处垂直于支承平面的线位移，与此相应，仅存在垂直于支承平面的反力R。(2)固定铰支座固定铰支座限制支承处沿任何方向的线位移，因此，相应支座反力可用两个分力表示，例如水平反力与垂直反力。上一页下一页返回7.2梁的计算简图及静定梁的基本形式(3)固定端支座固定端限制梁端的线位移与角位移，因此，相应支座反力可用三个分量表示:沿梁轴方向的支反力，垂直于梁轴方向的支反力以及位于梁轴平面内的支反力矩。3.荷载的简化作用于梁上的荷载一般可简化为(1)集中力通过微小梁段作用在梁上的横向力。力的分布范围远小于轴线或大梁的长度，因此可以简化为集中力。如作用在传动轴上的传动力、车床主轴上的切削力，吊车梁的吊重等。上一页下一页返回7.2梁的计算简图及静定梁的基本形式(2)集中力偶通过微小梁段作用在梁轴平面内的外力偶。(3)分布荷载沿梁全长或部分长度连续分布的横向力。4.静定梁的基本形式在工程计算中，简单梁的计算简图有如下三种基本形式:(1)简支梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。如图7一2所示桥式起重机，计算简图见图7-8

(a)所示。(2)外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁，称为外伸梁。如图7一3所示的火车轮轴，简图见图7-8(b)。(3)悬臂梁一端为固定端支座，另一端为自由端的梁。如图7-4所示油道托架、图7-5所示化工反应塔，计算简图见图7-8(c)。上一页返回7.3平面弯曲梁横截面上的内力7.3.1剪力和弯矩梁在载荷作用下，根据平衡条件可求得支座反力。当作用在梁上的所有外力(载荷和支座反力)都已知时，用截面法可求出任一横截面上的内力。下面以简支梁为例，分析横截面上内力简化的结果，如图7-9

(a)所示。已知:F1=1kN,F2=2kN,l=5m。用平面平行力系的平衡方程求得两端支座的约束反力FNA=1.5kN,FNB=1.5kN。现在欲求距A端x=2m处的横截面n-n上的内力。用截面法假想沿截面n-n截开，分为左右两部分，因为梁原来处于平衡状态，所以截开以后任意一部分也必然处于平衡状态。显然左半部分梁在F1和FNA的作用下不能保持平衡，为了维持左段〔图7一9(b)〕平衡，n-n截面上必然存在两个内力分量:下一页返回7.3平面弯曲梁横截面上的内力1)力FQ(F‘Q)其作用线平行于外力并通过截面形心(沿截面作用)，故称为剪力。2)力偶矩M(M’)，其作用面垂直于横截面，称为弯矩。7.3.2剪力和弯矩的计算剪力FQ和弯矩M的大小和方向可根据平面平行力系的平衡方程确定，如图7-9(b)所示。上一页下一页返回7.3平面弯曲梁横截面上的内力如果取右半部分梁为研究对象，如图7一9(c)所示，则截面n一n上的剪力F'Q，和弯矩M'，如图所示，可以求得F'Q=FQ=0.5kN,M'=M=2.5kN·m,即它们的大小相等，方向相反，因为它们是作用与反作用的关系。上一页下一页返回7.3平面弯曲梁横截面上的内力7.3.3剪力和弯矩的符号规定为使上述方法无论是取左部分还是取右部分为研究对象，得到的同一截面上的剪力和弯矩，非但数值相等而且符号也一致，把剪力与弯矩的符号规定与梁的变形联系起来，规定如下:(1}如图7一10

(a)所示变形情况下，即截面n一n的左段对右段向上错动时，截面n一n上的剪力规定为正;反之，为负[图7一10(b)]。(2)在图7一10(0)所示变形情况下，即在截面n一n处弯曲变形上凹下凸时，截面n一n上的弯矩规定为正值;反之，为负[图7一10(d)]。上一页下一页返回7.3平面弯曲梁横截面上的内力7.3.4剪力和弯矩的计算法则根据上述规则，对水平梁的某一指定截面来说，在它左侧的向上外力，或者右侧的向下外力，将产生正的剪力;反之，将产生负的剪力。截面左侧的外力对截面形心的力矩为顺时针转向时或者截面右侧的外力对截面形心的力矩为逆时针转向时，产生正的弯矩，反之则产生负的弯矩。对于弯矩，不难发现，无论在指定截面的左侧还是其右侧，向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩。上一页下一页返回7.3平面弯曲梁横截面上的内力由上面的例子可以总结出计算梁的剪力和弯矩的具体方法:(1)剪力FQ=截面一侧所有外力的代数和外力的正负号规定可简记为“左上右下，外力为正”。(2)弯矩M=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和力矩的正负号规定可简记为“左顺右逆，力矩为正”。上一页返回7.4剪力图和弯矩图一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随位置而变化，若以横坐标:x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上剪力和弯矩都可表示为:x的函数，即

FQ=FQ(x)M=M(x)以上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。与绘制轴力图和扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面上的剪力FQ和弯矩M沿梁轴线变化的情况。以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力和弯矩，绘出剪力方程和弯矩方程的图线，这样的图线分别称为剪力图和弯矩图。返回7.5载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图、弯矩图上的应用从上面几个例题可以看出，由于载荷不同，梁的剪力图和弯矩图也就不同;在案例7-4中曾经指出，在FQ=0的截面上，弯矩有极值等。这些都说明载荷、剪力、弯矩间存在着一定关系，下面来分析这种关系。轴线为直线的梁[图7一15

(a)]，受载荷作用，其中坐标轴的原点位于梁的左端，y轴向上为正，梁上分布载荷的集度q(x)是x的连续函数，并规定向上为正。为了研究剪力、弯矩沿梁轴的变化情况，用横截面m-m和n-n从梁中截取一微段dx来分析[图7一15(b)]。有分布载荷q(x)和两端截面上的剪力、弯矩。由于所取的dx为微量，故可把q(x)看成是均布载荷。下一页返回7.5载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图、弯矩图上的应用在这些力作用下，微段处于平衡状态由平衡方程ΣFy=0和ΣMC=0，得:略去第二式中的高阶微量，得上一页下一页返回7.5载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图、弯矩图上的应用这就是直梁微段的平衡方程。由上两式可进一步得到以上三式表示了直梁的q(x)、FQ(x)和M(x)间的微分关系。根据上述微分关系，可以得到下述推论。这些推论对正确绘制或校核剪力图和弯矩图有很大的帮助。(1)在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0，由式(7一1)可知，在该段梁上FQ(x)=常数，剪力图是平行于x轴的直线。再由式(7-2)可得m(x)是x的线性函数，其弯矩图为一倾斜直线。上一页下一页返回7.5载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图、弯矩图上的应用(2)在梁的某一段内，若作用着均布载荷，即q(x)=常数，由式(7一3)可知，FQ(x)为x的线性函数，m(x)为x的二次函数。因此，对于受均布载荷作用的一段梁上，其剪力图为一倾斜直线，而弯矩图为抛物线。在梁的某一段内，若分布载荷q(x)向下，这表明弯矩图应为向上凸的曲线，反之，若分布载荷向上，则弯矩图应为向下凸的曲线。(3)若在梁的某一截面上FQ(x)=0，则在这一截面上弯矩具有一极值(极大或极小)。即弯矩的极值发生于剪力为零的截面上(案例7一4)。在集中力作用截面的左、右两侧，剪力FQ有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化，成为一个折点。弯矩的极值就可能出现于这类截面上(案例7一2)。上一页下一页返回7.5载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图、弯矩图上的应用在集中力偶作用截面的左、右两侧，弯矩发生突然变化(案例7一3)，这也可能出现弯矩的极值。根据集中力、集中力偶作用处内力图的变化规律，可以将剪力图、弯矩图和梁上载荷三者之间的一些常见的规律小结如表7一1所示。上一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力为了进一步研究梁的横截面上内力的分布情况，本节开始将在前面的基础上，研究梁横截面上的应力及其分布规律，从而解决梁的强度计算问题。从前面内容可知，在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。与轴向拉压和扭转问题相同，应力与内力的形式是相联系的。因此，弯矩M应是横截面上法向分布内力的合力偶矩;剪力FQ应是横截面上切向分布内力的合力。由此可知，梁横截面上有弯矩时，必然有正应力;梁横截面上有剪力时，必然有切应力。所以，粱横截面上一般是既有正应力，又有切应力。下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力7.6.1纯弯曲的概念如图7一18

(a)所示的简支梁上，受两个外力F对称地作用在梁的纵向对称平面内。该梁的剪力图和弯矩图分别如图7一18(b),(c)所示。由图可见，在AC和DB段，梁各横截面上剪力FQ和弯矩M同时存在，这种情况的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。在CD段，梁各横截面上只有弯矩没有剪力，这种情况的弯曲称为纯弯曲。因此，纯弯曲的梁段，其横截面上只有正应力，而无切应力。纯弯曲是弯曲理论中最简单最基本的情况。上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力7.6.2纯弯曲横截面上的应力分布规律1.基本假设首先观察梁的变形。取一根对称截面梁(例如矩形截面梁)，在其表面画上纵线与横线〔图7一19

(a)〕。然后，在梁两端纵向对称面内，施加一对大小相等、方向相反的力偶，使梁处于纯弯曲受力状态。从实验可以观察到如图7一19(b)所示的现象:(1)横向线仍为直线，只是横向线间做相对转动，但仍与纵向线正交;(2)纵向线变为弧线，且靠近梁顶面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长;(3)在纵向线伸长区，梁的宽度减小，而在纵向线缩短区，梁的宽度则增加，这与轴向拉、压时的变形相似。上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设:(1)平面假设。变形前的横截面，变形后仍保持平面，且仍与纵向线正交(2)单向受力假设。梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉应力或压应力，即处于所谓单向受力状态。上述假设已为实验与理论分析所证实。根据平面假设，梁变形后横截面仍与各纵向线正交，即横截面上各点处均无剪应变，因此，梁纯弯时横截面上无剪应力。上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力根据平面假设，当梁弯曲时，部分“纤维”伸长，部分“纤维”缩短〔图7一19(b)]，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层(图7-20)。中性层与横截面的交线，称为中性轴。对称弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面，因此中性轴必垂直于截面的纵向对称轴。概括地说，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持平面，并绕中性轴做相对转动，而纵向“纤维”则均处于单向受力状态。上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力2.变形几何关系依据以上分析，现从纯弯曲梁中取长度为dx的微段(图7一21)，其左右截面相对转角为dθ，中性层O‘O’曲率半径为ρ。沿截面的纵向对称轴与中性轴分别建立y轴和z轴，距中性轴为y的纵向线bb原长为dx，它等于ρdθ，变形后弧长b‘b’的长度为(y+ρ)dθ，所以纵向线的正应变为上式表明，各纵向线的正应变与其到中性轴的距离y成正比。上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力3.物理关系由胡克定律σ=Eε可知，横截面上的正应力正比于ε，即横截面上正应力的分布规律如图7-21(b)所示，沿截面宽度方向(离中性轴距离)相同的各点)正应力相同;沿截面高度方向按直线规律变化，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远的点正应力最大，即正应力正比于y。(式7-5)表明了梁横截面上正应力的变化规律。而要确定截面上某点的正应力的大小，还需建立应力与内力之间的静力关系。上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力4.静力平衡关系从纯弯曲梁上任截取一个横截面，如图7一21(b)所示。自横截面上坐标为(y，z)处截取一微元面积dA，其上作用的微内力为σdA，它对z轴的矩为σdAxy,整个横截面上所有微力矩的和等于该截面上的弯矩M，得5.纯弯曲横截面上的正应力理论已经证明了中性轴通过截面形心。因为J轴为截面的对称轴，得中性轴通过截面形心且垂直于截面的对称轴，即垂直于力的作用平面。上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力将(式7-5)代入(式7-6)，对于确定的横截面E/σ为常数，于是有上式中IZ=∫Ay2dA为仅与截面形状和尺寸有关的几何量，称为截面对Z轴的惯性矩。由此得出:上一页下一页返回7.6纯弯曲时梁横截面上的应力(式7-7)是计算纯弯曲梁的中性层(梁的轴线)曲率半径的公式。EI,称为截面抗弯刚度。将(式7-7)代入(式7-5)，得到横截面上任意一点正应力公式为纯弯曲正应力的公式应用(式7-8)时，M与y可以代入绝对值，所求点的σ是拉应力还是压应力，可直接按梁的弯矩方向判断，如图7-20所示。纯弯曲时梁横截面任意点的正应力计算公式，在一定条件下也适用于横力弯曲。上一页返回7.7常见截面的惯性矩惯性矩为几何图形对某个坐标轴的二次矩。下面介绍矩形和圆形截面的惯性矩的求法。1.实心矩形截面如图7一22所示，平行于:轴的狭长条作为微面积dA，则所以下一页返回7.7常见截面的惯性矩(2)对y轴同理2.圆形截面(对任一轴)如图7一23所示，取平行于z轴的微面积dA=2zdy=2√R2-y2dy上一页下一页返回7.7常见截面的惯性矩3.对于圆环形截面，如图7-24(对任一轴)设圆环的直径比d/D=α，同理可得:上一页返回7.8梁的正应力强度计算7.8.1最大弯曲正应力和抗弯截面系数1.最大弯曲正应力强度计算需确定最大应力值。由应力分布规律可知，正应力在离中性轴最远的上下边缘部分分别达到压应力和拉应力的最大值。产生最大应力的截面和点，分别称为危险截面和危险点。横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应力σmax发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴距离最远的点即y=ymax，正应力值最大。将M=Mmax和y=ymax代入(式7一8)，则有下一页返回7.8梁的正应力强度计算当横截面形状对称于中性轴时，如矩形、圆形、工字钢等截面，其受拉和受压边缘离中性轴z的距离相等，所以最大拉应力σ+max和最大压应力σ-max相等。如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直于对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，如图7一25所示。可由下式计算:上一页下一页返回7.8梁的正应力强度计算2.抗弯截面系数如图7-22、图7-23、图7-24，由WZ=IZ/ymax可得对于矩形截面(bxh)对于圆形截面(直径为)上一页下一页返回7.8梁的正应力强度计算对于空心圆截面(外径为D，内径为d,d/D=α)对于轧制型钢(工字钢等)，抗弯截面系数WZ可直接从型钢表中查得。7.8.2梁的弯曲强度条件与拉伸、压缩杆的强度设计相似，工程设计中，为了保证梁足够安全，梁的危险截面上的最大正应力必须小于许用应力。上一页下一页返回7.8梁的正应力强度计算(1)当材料的拉、压强度相等，即[σ]+=[σ]-=[σ]，等直梁的弯曲强度条件为(2)当材料的拉、压强度不相等，即[σ]+≠[σ]-，则梁的弯曲强度条件为上一页返回7.9提高梁弯曲强度的主要措施影响梁的弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，而弯曲正应力的强度条件为所以要提高梁的弯曲强度，应从如何降低梁内最大弯矩Mmax的数值及提高抗弯截面系数WZ的数值着手。为提高梁的弯曲强度，可采取以下措施:下一页返回7.9提高梁弯曲强度的主要措施1.降低最大弯矩Mmax(1)合理布置支承位置承受均布载荷的简支梁如图7-29

(a)所示，最大弯矩值为ql2/8,若将两端支承各向内侧移动2l/9〔图7-29(c)]，则最大弯矩降为2ql2/81〔图7-29(d)]，前者约为后者的5倍。若增加中间支承〔图7-29(c)]，则最大弯矩减为ql2/32，为原来的1/4。也就是说，仅仅改变一下支承的位置或增加支承，就可将梁的承载能力成倍提高。(2)合理配置载荷图7-30(a)所示为一受集中载荷作用的简支梁。集中力F作用于中点时，其最大弯矩为Fl/4[图7-30(b)]。若将集中力F移至离支承l/6处，则最大弯矩降为5Fl/36[图7-30(c)、图7一30(d)]，梁的最大弯矩显著降低，若将集中力分到两处[图7一30(e)、图7一30(f)]，则最大弯矩为Fl/8,弯矩值大大降低。上一页下一页返回7.9提高梁弯曲强度的主要措施2.选择合理的截面形状(1)选择抗弯截面系数与截面积比值(WZ/A)大的截面形状梁的合理截面应该是用较小的截面面积获得较大的抗弯截面系数，从梁横截面正应力的分布情况来看，应该尽可能将材料放在离中性轴较远的地方。因此工程上许多受弯曲构件都采用工字形、槽形、T形等截面形状。工程中常见的梁多为各种型钢、空心钢管等，常见截面的WZ/A数值见表7一2。(2)根据材料特性选择截面形状一般塑性材料，由于[σ]+=[σ]-=[σ]，要求截面形状对称于中性轴，故常采用矩形、工字型等截面形状;脆性材料通常[σ]+＜[σ]-，宜采用T型、槽型等不对称于中性轴的截面形状，且使中性轴靠近受拉边缘。上一页下一页返回7.9提高梁弯曲强度的主要措施(3)采用变截面梁或等强度梁为了合理利用材料，减轻结构质量，很多工程构件都设计成变截面的，弯矩大的地方截面大一些，弯矩小的地方截面也小一些。如大型机械设备中的阶梯轴(图7一31)。如果使每一个截面上的最大正应力都正好等于材料的许用应力，这样设计出的梁就是等强度梁。工业厂房中的“鱼腹梁”(图7-32)就是一种等强度梁。上一页返回7.10梁变形的概念1.梁弯曲变形的概念在工程实际中，某些机器或机构中的构件，在满足强度条件的同时，还需要满足一定的刚度条件。如桥式起重机大梁AB[图7-33

(a)]，过大变形使吊车产生爬坡现象，引起振动，不能平稳地吊起重物;术地板由于过大变形，引起地板下塌[图7一33(b)];机床主轴，如果刚度不够，将严重影响加工工件的精度，传动轴的变形过大，则不仅会影响齿轮的啮合，还会导致支撑齿轮的轴颈和轴承产生不均匀磨损，既影响轴的旋转精度，又大大降低齿轮、轴及轴承的工作寿命。下一页返回7.10梁变形的概念因此，对某些构件而言，刚度条件将直接影响到机器或机构的工作精度，如图7一34所示为一悬臂梁，取直角坐标系xAy,、轴向右为正，)轴向上为正，平面与梁的纵向对称平面是同一平面。梁受外力作用后，轴线由直线变成一条连续光滑的曲线，称为挠曲线。梁各点的水平位移略去不计，梁的变形可用下述两个位移来描述。(1)梁任一横截面的形心沿)轴方向的线位移，称为该截面的挠度，用)表示。)以向上为正，其单位是m或mm。(2)梁任一横截面相对于原来位置所转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示。θ以顺时针为正，其单位是rad。上一页下一页返回7.10梁变形的概念梁在变形过程中，各横截面的挠度和转角都随截面位置x而变化，所以挠度y和转角θ可表示为、的连续函数，即上述两式分别称为挠曲线方程和转角方程，由图7-34可知，在小变形的情况下，梁内任一截面的转角θ等于挠曲线在该截面处的切线的斜率，即上一页下一页返回7.10梁变形的概念因此，只要知道梁的挠曲线方程y=y(x)，就可以求得梁任意截面的挠度y和转角θ。2.梁的刚度条件工程中在刚度方面对挠度和转角一般都有要求，刚度条件为上述两式中的「y」和「θ」分别称为许用挠度和许用转角，均根据不同零件或构件对工艺的要求而确定。上一页下一页返回7.10梁变形的概念3.提高刚度的途径要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来