教学材料《建筑力学》-模块7

任务7-1剪切及计算公式７.１.１剪切的概念剪切变形是杆件的基本变形之一.其是指杆件受到一对垂直于杆轴方向的大小相等、方向相反、作用线相距很近的外力作用所引起的变形,如图７—１(a)所示.此时,截面cd相对于ab将发生相对错动,即剪切变形.若变形过大,杆件将在两个外力作用面之间的某一截面m—m处被剪断,被剪断的截面称为剪切面,如图７—１(b)所示.工程中有一些连接件,如连接件连接中的螺栓[图７—２(a)]、连接件连接中的键[图７—２(b)]、连接件连接中的销钉[图７—２(c)]以及角焊缝[图７—２(d)]等,都是以剪切变形为主的构件.下一页返回任务7-1剪切及计算公式７.１.２剪切的计算公式剪切面上的内力可用截面法求得,用铆钉连接的两钢板如图７—３所示.拉力p通过板的孔壁作用在铆钉上,铆钉的受力如图７—４(a)所示,图中a—a为受剪面.在a—a处截开并取下部分离体[图７—４(b)],由∑Fx＝０可知,截面a—a上一定存在沿截面的内力Q,且Q＝p,Q称为剪力.截面a—a上与内力Q对应的应力为剪应力τ[图７—４(c)].当剪应力τ达到一定限度时,铆钉将被剪坏.截面a—a上剪应力的分布情况非常复杂,在进行剪切强度计算时,工程中采用下述实用计算方法.假定截面a—a上的剪应力为均匀分布,以平均剪应力τ＝Q/A(７—１)上一页下一页返回任务7-1剪切及计算公式作为计算剪应力(A为铆钉的横截面面积);对铆钉进行剪切破坏试验,以剪断时截面a—a上的平均剪应力值除以安全系数作为材料的许用剪应力,剪切强度条件为τ＝G/A≤[τ](７—２)各种材料的许用剪应力可在有关手册中查得.上一页返回任务7-2挤压及其计算公式７.２.１挤压概念构件在受剪切的同时,在两构件的接触面上,因互相压紧会产生局部压力,称为挤压.如图７—５所示的铆钉连接中,作用在钢板上的拉力F,通过钢板与铆钉的接触面传递给铆钉,接触面上就产生了挤压.两构件的接触面称为挤压面;作用于接触面的压力称为挤压力;挤压面上的压应力称为挤压应力.当挤压力过大时,孔壁边缘将受压起“皱”[图７—５(a)],铆钉局部压“扁”,使圆截面变成椭圆,连接松动[图７—５(b)],这就是挤压破坏.所以,连接件除需计算剪切强度外,还要计算挤压强度.下一页返回任务7-2挤压及其计算公式７.２.２挤压的计算公式挤压应力在挤压面上的分布也很复杂,如图７—６(a)所示.因此,也采用实用计算法,假定在挤压面上的挤压应力σc是均匀分布的,因此σc＝Pc/Ac(７—３)式中Pc———挤压面上的挤压力,Pc＝P;Ac———挤压面的计算面积,Ac＝d.t.这样得到的平均挤压应力又称作名义挤压应力.当接触面为平面时,接触面的面积就是计算挤压面积;当接触面为半圆柱面时,取圆柱体的直径平面作为计算挤压面积[图７—６(b)].上一页下一页返回任务7-2挤压及其计算公式为了防止挤压破坏,挤压面上的挤压应力不得超过连接件材料的许用挤压应力[σc],即要求σc＝Pc/Ac≤[σc](７—４)式(７—１)称为挤压强度条件.许用挤压应力[σc]等于连接件的挤压极限应力除以安全系数.试验表明,钢连接件的许用挤压应力[σc]与许用压应力[σ]之间有如下关系:[σc]＝(１.７~２.０)[σ](７—５)上一页返回任务7-3剪切胡克定律与剪应力互等定理７.３.１剪切胡克定律杆件发生剪切变形时,杆件内与外力平行的截面就会产生相对错动.若在杆件受剪区域内截取一微小的直角六面体[图７—８(a)],该直角六面体在剪切变形后,截面发生相对滑动,致使直角六面体变为斜平行六面体,原来的直角有了微小的变化,这个直角的改变量称为剪应变.剪应力τ与剪应变γ的关系,如同前述正应力σ与线应变一样.试验证明:当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp或弹性极限τe时,剪应变与剪应力呈线性弹性关系[图７—８(b)],即:τ＝Gγ(７—６)下一页返回任务7-3剪切胡克定律与剪应力互等定理式(７—６)称为剪切胡克定律.式中G称为材料的剪变模量,它是表示材料抵抗剪切变形能力的物理量,其单位与应力相同,常采用GPa.各种材料的G值均由实验测定.钢材的G值约为８０GPa.G值越大,表示材料抵抗剪切变形的能力越强,它是材料的弹性指标之一.对于各向同性的材料,其弹性模量E、剪变模量G和泊松比μ三者之间的关系为G＝E/２(１＋μ)(７—７)当知道E、G、μ三者中的任意两个,即可由式(７—７)计算出第三个弹性常数.上一页下一页返回任务7-3剪切胡克定律与剪应力互等定理７.３.２剪应力互等定理现以图７—８(a)所示的直角六面体为例,研究其受力情况.设该直角六面体的边长分别为dx、dy、dz,已知直角六面体左右两侧面上,无正应力,只有剪应力τ,且这两个面上的剪应力数值相等,但方向相反.因而,这两个面上的剪力组成一个力偶,其力偶矩为(τdzdy)dx.由于直角六面体的前后两个面上无任何应力,而该直角六面体处于平衡状态,为与左右两侧面上组成的力偶平衡,因而其上下两个面上必存在大小相等、方向相反的剪应力τ′,它们组成的力偶矩为(τ′dzdy)dx,且满足(τdzdy)dx＝(τ′dzdy)dx由此可得τ＝τ′(７—８)上一页下一页返回任务7-3剪切胡克定律与剪应力互等定理式(７—８)表明:过一点相互垂直的两个平面上,若其中某一平面存在剪应力,则另一平面上必存在剪应力,两者数值相等,方向均垂直于两平面的交线,且共同指向或背离交线(即两者正负号相反),这一规律称为剪应力互等定理.上述直角六面体的两个侧面上只有剪应力,而无正应力,这种受力状态称为纯剪切应力状态.剪应力互等定理对于纯剪切应力状态或其他应力状态都是适用的.上一页返回任务7-4圆轴扭转计算７.４.１扭转的概念工程中有许多杆件承受扭转变形.例如,当钳工攻螺纹孔时,两手所加的外力偶作用在丝锥杆的上端,工件的反作用力偶作用在丝锥杆的下端,使得丝锥杆发生扭转变形,如图７—９所示.图７—１０所示的方向盘操纵杆以及一些传动轴等均是扭转变形的实例,它们的受力简图如图７—１１所示.房屋的雨篷梁也有扭转变形,如图７—１２所示.７.４.２圆轴扭转时的内力———扭矩１.扭矩计算如图７—１３所示为等截面圆轴,已知外力偶矩Me,由截面法求横截面上的内力.下一页返回任务7-4圆轴扭转计算将轴沿截面m—m截开,分析左段的平衡问题,截面上必有内力矩T,有平衡条件:∑Mx＝０,Me－T＝０,T＝MeT称为扭矩,单位为N.m.若取右段分析,求出的截面内力矩大小相等,但方向相反.２.扭矩正负号的规定扭矩符号的规定采用右手螺旋法则:四指顺着扭矩的转向握住轴,大拇指方向与x轴方向相同则为正;反之则为负,如图７—１４所示.一般情况下,扭矩T是横截面的位置x的函数,即T＝T(x).上一页下一页返回任务7-4圆轴扭转计算３.扭矩图为了清楚地表示出轴各个截面上扭矩的变化情况,通常将扭矩随截面位置的变化规律绘制成图,称为扭矩图.扭矩图的做法、规则及注意点与轴力图相同.７.４.３圆轴扭转时的剪应力经过理论研究得知,圆轴扭转时截面上任意点只存在着剪应力,其剪应力τ的大小与横截面上的扭矩T及要求剪应力点到圆心的距离(半径)ρ点成正比,剪应力的方向垂直于半径.上一页下一页返回任务7-4圆轴扭转计算７.４.４圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力τmax不得超过材料的许用切应力[τ],即τmax≤[τ](７—１２)式(７—１２)称为圆轴扭转时的强度条件.对于等截面圆轴,从轴的受力情况或由扭矩图可以确定最大扭矩Tmax,最大切应力τmax发生于Tmax所在截面的边缘上.因而强度条件可改写为τmax＝Tmax/Wt≤[τ](７—１３)对于变截面杆,如阶梯轴、圆锥形杆等,Wt不是常量,τmax并不一定发生在扭矩为极值Tmax的截面上,这要综合考虑扭矩T和抗扭截面系数Wt两者的变化情况来确定τmax.上一页下一页返回任务7-4圆轴扭转计算在静载荷情况下,扭转许用切应力[τ]与许用拉应力[σ]之间有如下关系:钢[τ]＝(０.５~０.６)[σ]铸铁[τ]＝(０.８~１.０)[σ]轴类零件由于考虑到动载荷等原因,故其所取许用切应力一般比静载荷的许用切应力还要低.７.４.５圆轴扭转时的刚度条件用φ表示单位长度扭转角,有φ＝dφ/dx＝T/GIp上一页下一页返回任务7-4圆轴扭转计算为保证轴的刚度,通常规定单位长度扭转角的最大值φmax不得超过许用单位长度扭转角[φ],即φmax＝(T/GIp)max≤[φ](７—１４)式(７—１４)称为圆轴扭转时的刚度条件.式中φ的单位为rad/m.工程中,[φ]的单位习惯上用°/m给出.为此将式(７—１４)改写为φmax＝(T/GIp)max×１８０°π≤[φ](７—１５)[φ]的数值可由有关手册查出.下面给出几个参考数据:精密机器的轴[φ]＝(０.２５~０.５０)°/m一般传动轴[φ]＝(０.５