教学材料《工程力学》-第六单元

6.1圆轴扭转的概念在日常生活及工程实际中，有很多承受扭转的构件。例如汽车转向轴(图6-2)，当汽车转向时，驾驶员通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器的阻力偶作用。当钳工攻螺纹时(图6-3)，加在手柄上的两个等值反向的力组成力偶，作用于锥杆的上端，工件的反力偶作用在锥杆的下端。又如钻探机的钻杆(图6一4)，火力发电厂汽轮机带动发电机转动的传动轴(图6一5)以及电动机带动的传动轴(图6一6)等。这些杆件的受力特点是:杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。其变形特点是:杆的各横截面都绕轴线发生相对转动。这种变形称为扭转变形。以扭转变形为主的构件称为轴。在生产实际中圆轴(横截面为圆形或圆环形)用得较多，本章只研究圆轴的扭转问题。下一页返回6.1圆轴扭转的概念在两外力偶作用下，轴产生扭转变形，其中杆件任意两截面间相对转动的角度称为扭转角，用φ表示。如图6-7中的φ角就是截面B相对于截面A转过的扭转角。同时，杆件表面的纵向线也转了一个角度γ，变为螺旋线，γ称为切应变。上一页返回6.2扭矩和扭矩图6.2.1外力偶矩的计算研究圆轴扭转的强度和刚度问题时，首先要知道作用在轴上的外力偶矩的大小。在工程实际中，作用在轴上的外力偶矩，一般在工作过程中并不是已知的，而是已知轴所传递的功率和轴的转速。功率、转速和力偶矩之间的关系可由动力学知识推出，这里直接给出公式:可以看出，轴所承受的外力偶矩与所传递的功率成正比，与转速成反比。因此，在传递同样大的功率时，低速轴所受的外力偶矩比高速轴大，所以在传动系统中，低速轴的直径要比高速轴的直径大一些。下一页返回6.2扭矩和扭矩图应当注意，在确定外力偶的转向时，输入功率所产生的外力偶为主动力偶，其转向与轴的转向相同;而从动轮的输出功率所产生的外力偶为阻力偶，其转向与轴的转向相反。6.2.2圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩要研究受扭杆件的应力和变形，首先要计算内力。圆轴横截面上的内力仍通过截面法来进行分析。下面以图6一8(a)所示两端承受外力偶矩M作用的圆轴为例，说明求任意横截面m一m上内力的方法。上一页下一页返回6.2扭矩和扭矩图用一假想截面沿m一m,将轴截开，任取一段(如左段)，如图6一8(b)所示。由于圆轴是平衡的，因此截取部分也处于平衡状态，根据力偶的性质，横截面m,一m,上必有一个内力偶矩与外力偶矩m,平衡，我们把这个内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，单位为N·m或kN·m。由平衡条件ΣM=0得若取右段为研究对象，如图6一8(c)所示，由平衡条件ΣM=0得上一页下一页返回6.2扭矩和扭矩图与取左段为研究对象结果相同。分析表明，扭转时，任一截面上扭矩的大小可由下式确定:T=截面一侧(左或右)所有外力偶矩的代数和为了使从左、右两段求得同一截面上的扭矩正负号相同，通常对扭矩的正负号作如下规定:用右手螺旋法则，大拇指指向横截面外法线方向，扭矩的转向与四指的转向一致时，扭矩为正，反之为负，如图6-9所示。求扭矩时，在截面上均按正向画出扭矩，所得为负则说明扭矩转向与假设相反。当轴上作用有多个外力偶时，须按外力偶所在的截面将轴分成数段，逐段求出其扭矩。上一页下一页返回6.2扭矩和扭矩图6.2.3扭矩图1.扭矩图当轴上同时作用两个以上的外力偶矩时，为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，以便分析危险截面，常需画出扭矩随截面位置变化的图形，这种图形称为扭矩图。其画法与轴力图类似。取平行于轴线的横坐标x表示横截面的位置，垂直于x轴的纵坐标T表示横截面上的扭矩，正扭矩画在x轴上方，负扭矩画在x轴下方。上一页下一页返回6.2扭矩和扭矩图2.扭矩图的简洁画法对于扭矩图，可以从左端开始向右作图，、轴正向如图6一11

(b)所示，图中MB的箭头向下，扭矩图也向下画至一3820N·m,BC段无外力偶矩作用，画水平线;C处MC的箭头向下，扭矩图则从一3820N·m向下移3820N·m至一7640N·m,CA段无外力偶矩作用，画水平线;A处MA的箭头向上，扭矩图则从一7640N·m向上移13370N·m至5730N·m,AD段无外力偶矩作用，画水平线;D处MD的箭头向下，扭矩图则从5730N·m向下移5730N·m至零，图形封闭满足平衡条件ΣM=0经验证，这样得到的结果与截面法是一致的。上一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力6.3.1圆轴扭转时横截面上的切应力1.平面假设取一圆轴进行扭转试验，试验前在圆轴表面作出若干等距的圆周线和纵向线，如图6一12

(a)所示。实验时，圆轴一端固定，另一端施加外力偶。在外力偶的作用下，圆轴发生扭转变形。在变形微小的情况下，可以观察到如下现象:(1)各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力(2)所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度y，使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。根据观察到的现象，可以假设:圆轴的横截面变形后仍为平面，其形状和大小不变，仅绕轴线发生相对转动(无轴向移动)，这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。按照这一假设，在扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，一个接着一个产生绕轴线的相对转动，如图6一12(b)所示，右端面相对左端面绕轴线旋转了一个角度φ。上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力按照平面假设，可得如下推论:(1)横截面上无正应力。因扭转变形时，圆轴相邻横截面间距不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。(2)横截面上有切应力。因扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动，截面上各点相对错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。(3)切应力方向与半径垂直。因半径长度不变，故切应力方向必与半径垂直。(4)圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力2.圆轴的扭转切应力分布规律为了弄清楚横截面上各点切应变γρ的分布规律及其与圆周表面的切应变γ的关系，用两个垂直于轴线的平面从圆轴上截取一长为dx的微段来研究(图6一13)，则微段左右两侧面的相对扭转角为dφ，纵线AB倾斜小角度γ成为AC。由几何关系可得:上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力而在任意半径P处的纵向线A‘B’，根据平面假设转过dρ后成为A‘C’(其相应倾角为γφ，如图6一13所示。由于是小变形，从图6一13可知:B‘C’=γφdx=ρPdφ。于是切应力与切应变之间存在一定物理关系，由剪切胡克定律可知:当切应力不超过某一极限值时，切应力与切应变成正比。即:τ=G·γ由此，可得到圆轴扭转时横截面上各点的切应力为上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力上式表达了切应力在横截面上的分布规律:由于任意指定截面上，dφ/dx为常量，横截面上任意点处的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比，即τρ沿半径成线性变化。当ρ=0，τρ=0;当ρ=0，τρ=τmax

。又因为切应变γρ发生在垂直于半径的平面内，所以横截面上各点切应力的方向垂直于半径且与扭矩的方向一致。实心圆轴与空心圆轴横截面上切应力分布如图6一14所示。上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力3.横截面上任意点的切应力大小为了计算切应力数值，必须从静力学方面来考虑，建立切应力与扭矩T之间的关系。如图6一15所示:微面积dA上内力τρdA对O点的矩为dMρτρdA,整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩T,即(式6-5)表明了切应力与扭矩的关系。将式(6-4)中的τρ值代入(式6-5)，得上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力(式6一6)中的积分∫Aρ2dA只取决于横截面的大小和形状，称为横截面对形心的极惯性矩，单位为m4，以Iρ表示，即则(式6一6)可写为上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力将上式代回(式6一4),即得横截面上距圆心为ρ处的切应力计算公式为:对于确定的轴，IP都是定值。则在圆截面边缘上，ρ为最大值R时，得最大剪应力为:上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力令WP=IP/R，则上式变为:应当注意:(1)应力计算公式只适用于弹性范围内圆截面轴扭转，且τmax不超过材料的比例极限的情况。(2)扭转切应力的分布不同于一般剪切切应力，前者组成一个力偶，后者则组成一个力。两种情况下的切应力计算公式完全不同。上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力6.3.2极惯性矩IP和抗扭截面系数WP极惯性矩和抗扭截面模量都是截面图形的几何性质，可以根据定义由积分法求出。具体的计算方法参见截面图形的几何性质有关内容。1.实心圆轴如图6一16

(a)所示，将dA=2πρ·dρ代入(式6-7)得到:其抗扭截面模量为:上一页下一页返回6.3圆轴扭转时磺截面上的应力2.空心圆轴如图6一16(b)所示，设内外径之比α=d/D，其极惯性矩IP和抗扭截面模量WP分别为上一页返回6.4圆轴扭转的强度计算要进行受扭圆轴的强度计算，需先通过扭转试验确定其失效形式与相应的极限应力。6.4.1圆轴扭转的极限应力与许用应力1.圆轴扭转的极限应力圆轴扭转时，由于材料不同，将发生两种形式的失效:屈服和断裂。塑性材料的扭转失效是屈服破坏，其屈服应力τs为极限应力，即τ0=τs,脆性材料的扭转失效是断裂，其强度极限τb为极限应力，即τ0=τb;下一页返回6.4圆轴扭转的强度计算2.圆轴扭转的许用应力强度计算时，为确保安全，材料的强度要有一定的储备。一般把极限应力除以大于1的安全系数n，所得结果称为许用切应力，用[τ]表示，即各种材料的许用切应力可从有关手册中查得。在常温静载下，材料的扭转许用切应力与拉伸许用正应力之间有如下关系:上一页下一页返回6.4圆轴扭转的强度计算塑性材料τs=(0.5一0.6)σs脆性材料τb=(0.8一1.0)σb6.4.2圆轴扭转的强度条件为了保证圆轴在扭转变形中不会因强度不足而发生破坏，应使圆轴横截面上的最大切应力不超过材料的许用切应力，即(式6一15)称为圆轴扭转的强度条件。上一页返回6.5圆轴扭转的刚度计算对于轴类构件，有时还要求不产生过大的扭转变形，例如机床主轴若产生过大的扭转变形，将引起过大的振动，影响工件的加工精度和机床的使用寿命。因此，为了保证满足扭转刚度条件，扭转变形量不得超过许用值。6.5.1扭转角的计算圆轴扭转时，任意两横截面产生的相对角位移称为扭转角。扭转角φ是扭转变形的变形度量。如图6-20所示，两横截面相距越远，它的扭角就越大。圆轴的扭转变形程度是用两个横截面绕轴线的相对扭转角来度量的。下一页返回6.5圆轴扭转的刚度计算对于T,GIp不随长度变化的圆轴，则长度为l的一段杆两端截面的相对扭转角为由此可见扭转角φ与扭矩T和轴的长度l成正比，与GIp成反比。GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值T有变化，或轴的直径或材料不同，那么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加求代数和。上一页下一页返回6.5圆轴扭转的刚度计算6.5.2圆轴扭转的刚度条件圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条件为:整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度许用扭转角[θ]，即式中，工程上单位长度许用扭转角[θ]的单位为(o)/m，故θmax的单位需换算为(o)/m，上式改写为上一页返