教学材料《建筑力学》-模块3

任务3-1力矩３.１.１力对点之矩力对物体的作用效果除能使物体移动外,还能使物体转动,力矩就是力使物体转动效果的度量.现以扳手拧螺帽为例,如图３—１所示.手加在扳手上的力F,使扳手带动螺帽绕中心O转动.力F越大,转动越快;力的作用线离转动中心越远,转动也越快;如果力的作用线与力的作用点到转动中心O点的连线不垂直,则转动的效果就差;当力的作用线通过转动中心O时,无论力F多大也不能扳动螺帽,只有当力的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时,转动效果才最好.另外,当力的大小和作用线不变而指向相反时,将使物体向相反的方向转动.通过实践总结出以下的规律:力使物体绕某点转动的效果,与力的大小成正比,与转动中心到力的作用线的垂直距离d也成正比.下一页返回任务3-1力矩这个垂直距离称为力臂,转动中心称为矩心.力的大小与力臂的乘积称为力F对点O之矩(简称力矩),记作MO(F).其计算公式可写为MO(F)＝±F.d(３—１)O点称为转动中心,简称矩心.矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂.式中的正负号表示力矩的转向.通常规定:力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正;反之为负.在平面力系中,力矩或为正值,或为负值,因此,力矩可视为代数量.３.１.２力矩的性质由力矩的定义可以得到如下性质:(１)力F对点O的矩,不仅取决于力的大小,同时与矩心的位置有关.(２)当力的大小为零或力臂为零时,力矩为零.上一页下一页返回任务3-1力矩(３)力沿其作用线移动时,因为力的大小、方向和力臂均没有改变,故力矩不变.(４)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零.３.１.３合力矩定理由前面的内容可知,平面汇交力系的作用效应可以用它的合力来代替,作用效应包括移动效应和转动效应,而力使物体绕某点的转动效应由力对点的矩来度量,由此可得:平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于该力系中的各分力对同一点之矩的代数和.这就是平面汇交力系的合力矩定理.上一页下一页返回任务3-1力矩证明:设物体O点作用有平面汇交力系F１、F２,其合力为R.在力系的作用面内取一点A,点A到F１、F２、合力R三力作用线的垂直距离分别为d１、d２和d,以OA为x轴,建立直角坐标系,如图３—３所示,F１、F２、合力R与x轴的夹角分别α１、α１２、α,则:mA(F)＝－Fd＝－F.OAsinαmA(F１)＝－F１d１＝－F１.OAsinα１mA(F２)＝－F２d２＝－F２.OAsinα２因Fy＝F１y＋F２y即Fsinα＝F１sinα１＋F２sinα２上一页下一页返回任务3-1力矩等式两边同时乘以长度OA得:F.OAsinα＝F１.OAsinα１＋F２.OAsinα２所以有mA(F)＝mA(F１)＋mA(F２)上式表明:汇交于某点的两个分力对A点的力矩的代数和等于其合力对A点的力矩.上述证明可推广到n个力组成的平面汇交力系,即:mA(F)＝mA(F１)＋mA(F２)＋...＋mA(Fn)＝∑mA(Fi)(３—２)式(３—２)就是平面汇交力系的合力矩定理的表达式.利用合力矩定理可以简化力矩的计算.上一页返回任务3-2力偶与力偶矩３.２.１力偶与力偶矩的概念在生产实践和日常生活中,经常遇到大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系.这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应.例如,司机操纵方向盘[图３—６(b)]、木工钻孔[图３—６(c)]以及开关自来水龙头或拧钢笔套等.这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶,用符号(F,F′)表示.力偶的两个力作用线问的垂直距离d称为力偶臂,力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面.实践表明,当组成力偶的力F越大,或力偶臂d越大,则力偶使物体的转动效应就越强;反之就越弱.下一页返回任务3-2力偶与力偶矩因此,与力矩类似,我们用F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应,并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩,用m表示,即m＝±Fd(３—３)式中,正负号表示力偶矩的转向.通常规定:若力偶使物体作逆时针方向转动时,力偶矩为正;反之为负.在平面力系中,力偶矩是代数量.力偶矩的单位与力矩相同.３.２.２力偶的基本性质力偶不同于力,它具有一些特殊的性质,现分述如下:性质一:力偶没有合力,不能用一个力来代替.上一页下一页返回任务3-2力偶与力偶矩由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行,如果求它们在任一轴x上的投影,如图３—７所示.设力与轴x的夹角为α,由图３—７可得∑Fx＝Fcosα－F′cosα＝０这说明,力偶在任一轴上的投影都等于零.因为力偶在轴上的投影为零,所以力偶对物体只能产生转动效应,而一个力在一般情况下,对物体可产生移动和转动两种效应.力偶和力对物体的作用效应不同,说明力偶不能用一个力来代替,即力偶不能简化为一个力,因而力偶也不能和一个力平衡,力偶只能与力偶平衡.上一页下一页返回任务3-2力偶与力偶矩性质二:力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩,而与矩心位置无关.由于力偶的作用是使物体产生转动效应,所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量.图３—８所示的力偶(F,F′),力偶臂为d,逆时针转向,其力偶矩为m＝Fd,在该力偶作用面内任选一点O为矩心,设矩心与F′的垂直距离为x.显然力偶对O点的力矩为MO(F,F′)＝F(d＋x)－F′.X＝Fd＝m这说明力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩,而与矩心的位置无关.上一页下一页返回任务3-2力偶与力偶矩性质三:同一平面内的两个力偶,如果它们的力偶矩大小相等、转向相同,则这两个力偶等效,称为力偶的等效性(其证明从略).从以上性质还可以得出两个推论:推论一:在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下,力偶可在其作用面内任意移动.而不会改变力偶对物体的转动效应.如图３—９(a)作用在方向盘上的两个力偶(p１,p′１)与(p２,p′２)只要它们的力偶矩大小相等,转向相同,作用位置虽不同,但转动效应是相同的.上一页下一页返回任务3-2力偶与力偶矩推论二:在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下,可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短,而不改变力偶对物体的转动效应.如图３—９(b)所示,在攻螺纹时,作用在纹杆上的(F１,F′１)或(F２,F′２)虽然d１和d２不相等,但只要调整力的大小,使力偶矩F１d１＝F２d２.则两力偶的作用效果是相同的.由以上分析可知,力偶对于物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面,即力偶的三要素.因此,在力学计算中,有时也用一带箭头的弧线表示力偶,如图３—１０所示,其中箭头表示力偶的转向,m表示力偶矩的大小.上一页返回任务3-3平面力偶系的合成与平衡条件３.３.１平面力偶系的合成作用在物体上同一平面内的两个或两个以上的力偶,称为平面力偶系.平面力偶系合成可以根据力偶的等效性来进行.设有两个力偶作用在物体的同一平面内,其力偶矩分别为m１、m２,如图３—１１所示.根据力偶的等效性,将两个力偶等效变换,使它们成为具有相同力偶臂d的两个力偶(F１,F′１)、(F２,F′２),则m１＝F１d,m２＝－F２d.将变换后的各力偶在作用面内移动和转动,使它们的力偶臂都与AB重合.设F１＞F２,则F和F′的大小为F＝F′＝F１－F２上一页下一页返回任务3-3平面力偶系的合成与平衡条件F和F′组成一个合力偶(F,F′),这个力偶与原来的两个力偶等效,称为原平面力偶系的合力偶.其力偶矩为M＝F.d＝(F１－F２)×d＝F１.d－F２.d＝m１＋m２上述结论可以推广到任意多个力偶合成的情形,即平面力偶系可以合成为一个合力偶,合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和.可写为M１＝m１＋m２＋...＋mn＝∑m(３—４)３.３.２平面力偶系的平衡条件平面力偶系可合成为一个合力偶,当合力偶矩等于零时,则力偶系中各力偶对物体的转动效应互相抵消,物体处于平衡状态;上一页下一页返回任务3-3平面力偶系的合成与平衡条件反之,若物体在平面力偶系的作用下处于平衡