教学材料《建筑力学》-模块2

任务2-1力系的分类在静力学中,为便于研究问题,通常按力系中各力作用线分布情况的不同分为平面力系和空间力系两大类.各力的作用线均在同一平面上的力系称为平面力系;作用线不全在同一平面上的力系称为空间力系.为了便于研究和解决问题,通常将力系按照其各力作用线的分布情况进行分类.(１)平面汇交力系.力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点,这样的力系称为平面汇交力系.在工程中经常遇到平面汇交力系.例如,在施工中起重机的吊钩所受各力就构成一平面汇交力系,如图２—１所示.平面汇交力系的合成有两种方法,即几何法和解析法.下一页返回任务2-1力系的分类(２)平面平行力系.在平面力系中,各力的作用线互相平行的力系称为平面平行力系.(３)平面任意力系.在平面力系中既不是平面汇交力系,也不是平面平行力系的力系称为平面任意力系.(４)空间汇交力系.各力的作用线汇交于一点的空间力系称为空间汇交力系.上一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡２.２.１平面汇交力系合成的几何法１.两个汇交力系的合成如图２—２(a)所示,设在物体上作用有汇交于O点的两个力F１和F２,根据力的平行四边形法则或力的三角形法则求合力,如图２—２(b)所示.２.多个汇交力系的合成设作用于物体上A点的力F１、F２、F３、F４组成平面汇交力系,现求其合力,如图２—３(a)所示.应用力的三角形法则,首先将F１、F２合成得R１,然后把R１与F３合成得R２,最后将R２与F４合成得R,力R就是原汇交力系F１、F２、F３、F４的合力,图２—３(b)所示即是此汇交力系合成的几何示意图,矢量关系的数学表达式为R＝F１＋F２＋F３＋F４(２—１)下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡实际作图时,可以不必画出图中虚线所示的中间合力R１和R２,只要按照一定的比例尺将表达各力矢量的有向线段首尾相接,就形成一个不封闭的多边形,如图２—３(c)所示.然后再画一条从起点指向终点的矢量R,即为原汇交力系的合力,如图２—３(d)所示.这种由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形.按照与各分力同样的比例,封闭边的长度表示合力的大小,合力的方向与封闭边的方向一致,指向则由力多边形的起点至终点,合力的作用线通过汇交点.这种求合力矢的几何作图法被称为力多边形法.上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡上述方法可以推广到包含n个力的平面汇交力系中,得出结论如下:平面汇交力系的合力矢量等于力系中各力的矢量和,即

由此可见,合力的作用线通过各力的汇交点.值得注意的是,作力多边形时,改变各力的顺序,可得不同形状的力多边形,但合力矢的大小和方向并不改变.上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡３.多个汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系合成的结果是一个合力.物体在平面汇交力系的作用下保持平衡,则该力系的合力应等于零;反之,如果该力系的合力等于零,则物体在该力系的作用下,必然处于平衡.所以,平面汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力等于零,即力系中各力的矢量和为零.

设有平面汇交力系F１,F２,F３,,Fn,如图２—５所示,当用几何法求合力,其最后一个力的终点与第一个力的起点相重合时,则表示该力系的力多边形的封闭边变为一点,即合力等于零.此时构成一个封闭的力多边形.因此,平面汇交力系平衡的充分必要几何条件是:力多边形自行闭合.上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡利用平面汇交力系平衡的几何条件,可以解决以下两类问题:(１)检验刚体在平面汇交力系作用下是否平衡.(２)当刚体处于平衡状态时,利用平衡条件,通过作用于物体上的已知力,求解未知力(未知力的个数不能超过两个).２.２.２平面汇交力系合成的解析法求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法.这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的.１.力在直角坐标系上的投影设力F用矢量AB→表示,如图２—６所示.取直角坐标系Oxy,使力F在Oxy平面内.过力矢AB→的两端点A和B分别向x、y轴作垂线,得垂足a、b及a′、b′,带有正负号的线段ab与a′b′分别称为力F在x、y轴上的投影,记作Fx、Fy.上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡并规定:当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时,力的投影取正值;反之,当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时,力的投影取负值.力的投影的值与力的大小及方向有关,设力F与x轴的夹角为α,则从图２—６可知Fx＝FcosαFy＝－Fsinα上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡一般情况下,若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为α、β,则该力在x、y轴上的投影分别为Fx＝±FcosαFy＝±Fsinβ即力在坐标轴上的投影,等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积.当力与轴垂直时,投影为零;而力与轴平行时,投影大小的绝对值等于该力的大小.反过来,若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy,也可求出该力的大小和方向角:

上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡式中,α为力F与x轴所夹的锐角,其所在的象限由Fx、Fy的正负号来确定.在图２—６中,若将力沿x、y轴进行分解,可得分力Fx和Fy.应当注意,力的投影和分力是两个不同的概念:力的投影是标量,它只有大小和正负;而力的分力是矢量,有大小和方向.它们与原力的关系各自遵循自己的规则.在直角坐标系中,分力的大小和投影的绝对值是相同的.同时,力的矢量也可以转化为力的标量进行计算,即F＝Fx＋Fy＝Fxi＋Fyj

(２—７)式中,i、j为沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量.力在平面直角坐标轴上的投影计算,在力学计算中应用非常普遍,必须熟练掌握.上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡２.合力投影定理合力投影定理建立了合力在轴上的投影与各分力在同一轴上的投影之间的关系.设有一平面汇交力系F１、F２、F３作用于物体的O点,如图２—８所示.利用力多边形法则求其合力R,则得力多边形ABCD,在其平面内任取一坐标轴x,求各分力及合力在x轴上的投影F１x、F２x、F３x、Rx.可见F１x＝－baF２x＝bcF３x＝cd上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡Rx＝ad而ad＝bc＋cd－ba所以Rx＝F１x＋F２x＋F３x这个关系可推广到任意一个汇交力系的情形,即Rx＝F１x＋F２x＋F３x＋...＋Fnx＝∑Fix(２—８)于是,可得到合力投影定理:力系的合力在任一轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和.上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡３.用解析法求平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时,可选定直角坐标系求得力系中各力在x轴、y轴上的投影,再根据合力投影定理求得合力R在x轴、y轴上的投影Rx、Ry(注意:力的投影是标量).则合力的大小及方向(合力R与x轴所夹的锐角为α)由下式确定:

合力R的指向由Rx、Ry的正负号确定.合力的作用线通过原力系的汇交点.上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡４.平面汇交力系平衡的解析条件几何法求解平面汇交力系的合力具有直观、明了、简捷的优点,但其精确度较差,在力学计算时多用解析法.物体在平面汇交力系作用下处于平衡的充分必要条件是:合力R的大小等于零.即上一页下一页返回任务2-2平面汇交力系合成与平衡式(２—１１)表明平面汇交力系平衡的解析条件是:力系中各分力在任意两个坐标轴上投影的代数和分别等于零.式(２—１１)称为平面汇交力系的平衡方程.它们相互独立,应用这两个独立的