2027届新高考数学精准突破复习数列求和

2027届新高考数学精准突破复习数列求和【课标要求】

1.熟练掌握等差、等比数列前n项和公式.2.熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等.【知识要点】

na1

(2)裂项相消法数列{an}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和.(3)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项和公式就是用此法推导的.(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和然后相加减.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和法.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.

√××√×教材改编

B

3.[选择性必修2p40T3]已知an=2n+n，则数列{an}的前n项和Sn=

.

4.已知奇函数f(x)在R上单调递增，数列{an}满足an+3=an(n∈N*)，f(a2)+f(a3+a4)=0，则=

.

0[解析]

由已知f(x)在R上单调递增，且为奇函数.因为f(a2)+f(a3+a4)=0，则f(a3+a4)=-f(a2)=f(-a2)，可得a3+a4=-a2，即a2+a3+a4=0，由an+3=an(n∈N*)可知:3为数列{an}的周期，则an+an+1+an+2=0，且2025=3×675，所以=0.

223+208

考点1拆项分组求和例1

(2025高三上·四川绵阳·阶段考)已知数列{an}满足:a1=1，an+1=an+2(n∈N*)，数列{bn}为单调递增的等比数列，b2=2，且b1，b2，b3-1成等差数列.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;(2)设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;

(2)设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

[小结]当一个数列是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列构成时，可以用分组求和法，分别求和再相加减.

巩固训练(1)求{an}，{bn}的通项公式;

考点2错位相减法求和例2

(2025·天津河东·二模)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，d∈N*，q∈N*，2a3+a2=b3，a3-a2=b1，a1=b1+1.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式及

ai;

(ⅱ)求

aici.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式及

ai;

[解析](2)(ⅰ)由已知(b1，b2)=(3，9)，a1=4，a2=7在此区间内，∴c1=2，因为(b2，b3)=(9，27)，所以b2<an<b3即为9<3n+1<27⇔8<3n<26⇔9≤3n≤24⇔3≤n≤8，∴c2=8-3+1=6.(bk，bk+1)=(3k，3k+1)，所以bk<an<bk+1即为3k<3n+1<3k+1⇔3k-1<3n<3k+1-1⇔3k≤3n≤3k+1-3，所以3k-1≤n≤3k-1，所以ck=3k-1-3k-1+1=3k-3k-1=2×3k-1，所以数列{ck}的通项公式为ck=2×3k-1.(ⅱ)求

aici.

[小结]用错位相减法求和时应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

巩固训练

考点3裂项相消法求和

(1)求数列{an}的通项公式;

(1)求数列{an}的通项公式;[解析](1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1，a2，a3-8构成等差数列，所以2a2=a1+a3-8，即4q=2+2q2-8，解得q=3或q=-1(不符合题意舍去)，所以an=2×3n-1.

(1)求{an}的通项公式;[解析](1)由an+1=2an-1，变形可得an+1-1=2(an-1)，因为a1-1=2-1=1，所以数列{an-1}是以1为首项、2为公比的等比数列，故an-1=1×2n-1=2n-1，即an=2n-1+1.

巩固训练(1)求数列{an}的通项公式;

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)求数列{an+bn}的前n项和Sn;

考点4并项法求和例6在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=(-1)n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.

[小结]用并项法求和时，要