安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二下学期春季联赛试题 数学 含解析

安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二下学期春季联赛数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．T C．S D．Z2．从1，2，4，8，16这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为（

）A． B． C． D．3．若复数，满足，则（

）A．-1 B．1 C． D．4．已知平面向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．6．已知，，若，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．07．若，则（

）A． B． C． D．8．如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（

）A．20 B．21 C．100 D．101二、多选题9．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（

）A． B．C．在上是减函数 D．10．已知点F是抛物线C：的焦点，设直线：与抛物线C有唯一公共点P，过点P作直线的垂线交x轴于点R，则（

）A． B． C． D．11．已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（

）A．，直线与直线所成的角均为B．，使得四面体的体积为C．当时，直线与平面所成角的正切值为D．当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为三、填空题12．乘积式展开后的项数是___________.13．函数的最大值为_____.14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为5cm，该纸片上的正六边形的中心为，G、H、M、N、P、Q为圆上的点，，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥.当正六边形的边长变化时，所得六棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_____.四、解答题15．已知数列的递推关系式为.(1)记的前项和为，证明：；(2)若数列各项除以2后所得到的余数构成，记前项和为，求.16．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．(1)证明：∠PAD＝∠PBC；(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．17．在平面直角坐标系中，设A，B两点的坐标分别为，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，设点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)点P，Q在C上，E是平面上不同于P，Q的动点，且满足.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①E在曲线C上；②；③.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.18．（1）证明：当且时，，；（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10次，设抽得的10个号码互不相同的概率为.证明：.19．点S是直线外一点，点M，N在直线上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段上，记；若点M在线段外，记．记．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，点D是射线上一点，且．(1)若，求；(2)射线上的点，，，…满足，，（i）当时，求的最小值；（ii）当时，过点C作于，记，求证：数列的前n项和．参考答案1．C【详解】任取，则，其中，所以，故，因此，.故选：C2．B【详解】从5个数中取两个数，总共有种取法，满足“其中一个数是另一个的两倍”的数对有：，共4对，所以概率为.3．A【详解】由和，得是方程的两个根，解得，它们互为共轭复数，设，所以.4．B【详解】向量，向量，则，，所以在方向上的投影向量为.5．D【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意；对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号，则与异号，故与题设矛盾，故B不成立；对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误；对于D：，设，则，不等式转化为，因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确.6．C【详解】因为，所以.设，，则，易知在上单调递增，从而，即，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选:C.7．C【详解】由二项式定理，，对比系数得，即，则所求表达式为，利用组合恒等式，得.8．A【详解】因为是等腰直角三角形，可设，则，代入可得，，即，再结合与的图象交点可知，，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，所以有，故，则点的横坐标为20.9．AD【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以，A正确；，因为，所以，所以不可能，B不正确；因为，所以当增大时，也增大，C不正确；，D正确.故选：AD.10．AD【详解】抛物线：，焦点，直线：与抛物线有唯一公共点，即相切，将代入抛物线得，由得，化简得，故A正确，B错误.切点坐标：，，过点作直线的垂线，斜率为，方程为，令得，即，计算，，，故恒成立，故C错误，D正确.11．ACD【详解】设，则，又，所以，解得，即.A：建立如图空间直角坐标系，则，有，所以，得，故A正确；

B：因为，，，，有，所以，得，所以.设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，所以四面体的体积为，则该四面体的体积为定值，故B错误；

C：由选项B的分析可知，当时，，易知平面的一个法向量为，则，设直线与平面所成角为，为锐角，则，所以，故C正确；

D：当时，E、F分别为AD、AB的中点，由正三棱柱的特征可知，点分别为正方形、、的中心，如图，则，有，则，所以为正三棱柱的高，且，故D正确.

故选：ACD.12．18【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法，从第二个括号中选一个字母有种方法，从第三个括号中选一个字母有种方法，按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项；故答案为：13．1【详解】，设，即，因此当，即时,.14．【详解】由题，连接，交于点，由题，，设，则，，六棱锥的高，底面积，则，令，，，令，即，，则，则，所以体积最大值为.15．(1)证明见解析(2)1352【详解】（1）因为，所以，则有，以上各式相加得，又，所以；（2）根据递推关系及每一项的奇偶性可知，数列各项除以2后所得余数构成新数列1，1，0，1，1，0，…所以该数列的周期为，1个周期内的项为，所以.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，因为，所以，又因为，所以，又因为，，所以平面，因为平面，所以，在中，因为垂直平分，所以，又因为，，所以，从而可得；（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，设，，在中，，过点作于，则，因为平面，平面，所以平面平面，又因为平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，设直线与平面所成角为，所以，令，，，则，当且仅当，即时，有最大值2，此时直线与平面所成角为的正弦值最大，所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为．17．(1)(2)证明见解析【详解】（1）设点的坐标为，由题意可得，化简得，点的轨迹方程为.（2）设，，，由可得，，若由①②推③：当在曲线上，则有，化简得，，又，所以，即.若由①③推②：当E在曲线C上，则有，化简得，再由得，从而可得.若由②③推①：由得，结合.，所以E在曲线C上.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）当时，；当，时，构造函数，其中且，则，可知，所以当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增，所以，故当且时，.综上，当且时，，；（2）由题意，从100张卡片中有放回地抽取10次，每次抽取相互独立，总可能结果为，要使10个号码互不相同，相当于从100个号码中选取10个进行排列，共有种方式.因此概率为.对分子中的因数配对并放缩：，，，.于是.由（1）可得，对且，有.即，两边取倒数得.因此，原不等式得证.19．(1)，(2)（i）（ii）当，