【知识清单】小学三年级数学·多位数乘一位数（连续进位）笔算

【知识清单】小学三年级数学·多位数乘一位数（连续进位）笔算一、课程定位与核心素养导向（一）教材分析与学段地位本课“多位数乘一位数（连续进位）的笔算”是《多位数乘一位数》单元的核心内容，属于“数与代数”领域“数的运算”主题。它建立在学生已经熟练掌握表内乘法、整十整百数乘一位数的口算、以及“不进位”和“一次进位”笔算的基础上。本课不仅是乘法笔算知识的系统建构与提升，更是后续学习两位数乘两位数、三位数乘两位数乃至更多位数乘法的基础，起着承上启下的关键作用。掌握连续进位乘法的算理与算法，是学生运算能力形成的重要里程碑。（二）课标要求与核心素养【非常重要】依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本课的教学应聚焦于以下核心素养的培育：1.【数感】在理解“满几十就向前一位进几”的过程中，深化对计数单位及十进制位值原则的理解，体会数的大小与运算的关系。2.【运算能力】能够正确、熟练地进行多位数乘一位数（连续进位）的笔算，理解算理，掌握算法，并能根据数据特点选择合理的计算策略。能对运算结果的合理性进行初步判断。3.【推理意识】通过自主探索与合作交流，理解连续进位乘法中每一步运算的依据，感悟从未知向已知转化的推理过程。4.【应用意识】能将所学知识应用于解决现实生活中的简单实际问题，感受数学与生活的密切联系，增强提出问题和解决问题的能力。（三）设计理念本课设计遵循“以生为本，学为中心”的理念，强调“理法融合”。通过创设真实问题情境，激发学生探索需求；借助学具操作（如小棒、计数器）或直观图示，引导学生直观感知进位原理，实现从“形”到“数”的抽象；在对比辨析中，帮助学生自主建构连续进位乘法的算法模型，提升思维品质。二、教学目标与重难点定位（一）教学目标1.【基础性目标】理解并掌握多位数乘一位数（连续进位）的笔算算理和计算方法，能正确、熟练地进行计算。2.【过程性目标】经历探索连续进位乘法计算方法的过程，在独立思考、合作交流中，培养迁移类推、分析概括和解决实际问题的能力。3.【发展性目标】感受数学与生活的紧密联系，养成认真计算、自觉验算的良好学习习惯，增强学习数学的自信心。（二）教学重难点【难点】1.【教学重点】掌握多位数乘一位数（连续进位）的笔算算法，特别是连续进位的处理方法，能正确进行计算。2.【教学难点】理解连续进位乘法中“满几十就向前一位进几”的算理，并能准确记忆和处理多次进位（尤其是同时有进上来的数和本位的积需要相加的情况）。三、教学过程设计与实施要点（一）激活经验，复习铺垫（约5分钟）1.【基础】复习口算：3×6+5=7×8+4=9×5+3=。（唤醒“乘加”的运算顺序记忆，为进位时的分步计算做准备）2.【基础】复习笔算：24×3=12×8=。请学生板演，并说一说计算步骤和“一次进位”的处理方法（如：个位乘得几，满十向十位进几）。（二）创设情境，探究新知（约20分钟）1.【核心环节】出示例题：一箱饮料24瓶，9箱这样的饮料一共有多少瓶？引导学生列出算式：24×9。2.【难点突破】自主尝试，暴露思维。1.3.鼓励学生先估算：24接近20，20×9=180；24接近25，25×9=225。所以结果在之间，大约是216或更精确一些。2.4.让学生尝试用竖式计算24×9。教师巡视，寻找典型资源（正确、典型错误、不同思路）。5.【算理理解】展示交流，聚焦“连续进位”。1.6.展示正确竖式：24×9=2162.7.核心追问：个位4×9=36，个位写6，向十位进3，这里的“3”表示什么？（表示3个十）十位上2×9=18，表示18个十，为什么十位最后写的是1？这个“1”是怎么来的？（18个十加上进来的3个十，等于21个十，21个十就是2个百和1个十，所以十位写1，并向百位进2）。百位上的2是怎么来的？（从十位进上来的）【非常重要】3.8.借助学具（如小棒或计数器）演示：先摆出24根小棒（2捆和4根），乘9表示有9个24。先算4根×9=36根，36根捆成3捆（30根）还剩6根，将3捆放到整捆处。再算2捆×9=18捆，加上刚才的3捆，一共21捆，21捆就是2大捆（200根）和1捆（10根）。最终合起来是2大捆、1捆和6根，即216根。将操作过程与竖式每一步对应起来，使抽象的“进位”变得直观可感。9.【算法归纳】对比辨析，总结算法。1.10.将例题24×9与复习题24×3进行对比，有何异同？（相同点：都是多位数乘一位数，都要从个位乘起。不同点：24×3只有一次进位，24×9出现了连续进位，即个位向十位进位后，十位乘完后还要向百位进位。）2.11.师生共同归纳多位数乘一位数（连续进位）的笔算方法：【重要】（1）相同数位对齐，从个位乘起，用一位数依次去乘多位数每一位上的数。（2）哪一位上乘得的积满几十，就要向前一位进几。（3）前一位乘完时，要加上后面进上来的数，如果加上后也满几十，要继续向前一位进位。（三）分层练习，巩固内化（约12分钟）1.【基础练习】列竖式计算（独立完成，指名板演，集体订正）。重点检查进位标记是否清晰，计算顺序是否正确。1.2.36×7=？48×4=？59×8=？（强调个位、十位都可能连续进位）2.3.137×6=？（拓展到三位数乘一位数的连续进位，体会算法的普适性）4.【变式练习】改错题。（展示典型错例，让学生找出错误原因并改正，强化对算理和算法的理解）1.5.错例一：忘记加进位数。如27×3，个位3×7=21，写1进2，十位3×2=6，直接写6，结果为81（错误）。正确应为6+2=8，结果为81？等等，这里6+2=8，结果是81？不对，27×3=81是对的。换个错例：比如48×7，个位8×7=56，写6进5，十位4×7=28，28+5=33，结果应该是336，如果忘记加5，结果为286（错误）。用这样的例子。2.6.错例二：进位数字写错或进位标记混乱。3.7.错例三：连续进位时，百位上的数处理错误。如178×4，个位8×4=32，写2进3；十位7×4=28，28+3=31，写1进3；百位1×4=4，4+3=7，结果为712。若百位忘记加3，结果为412（错误）。8.【解决问题】联系生活实际应用。1.9.题目：学校要购买6箱足球，每箱售价是125元。买这些足球一共需要多少钱？（学生独立列式解答，并说明每一步的意义）（四）课堂总结，拓展延伸（约3分钟）1.【反思】请学生谈谈这节课的收获。重点引导学生回顾连续进位乘法的计算方法和注意事项。2.【拓展】思考：如果多位数中间有0，如102×4，计算时要注意什么？（为下节课学习“一个因数中间或末尾有0的乘法”埋下伏笔）四、知识要点深度解析【非常重要】（一）核心概念：进位与十进制1.【原理】进位是十进制计数法的核心体现。乘法中的进位，本质上是将某一数位上计算出的“过剩”的计数单位，按照“十进一”的规则，转化为更高一级的计数单位。2.【例析】计算48×7。1.3.第一步（个位）：8×7=56。56表示5个十和6个一。个位上只能保留6个一，多余的5个十就要“进”到十位。这个“进5”就表示在计算十位时，要额外加上5个十。2.4.第二步（十位）：4×7=28。28表示28个十。但这里千万不能忘记，之前个位还“进”来了5个十，所以十位上实际有28+5=33个十。33个十满十，又可以向百位“进”3个百，十位本身保留3个十。3.5.最终结果：3个百、3个十、6个一，即336。4.6.【要点】每次进位，都是在“本位乘完”后，立刻加上“低位进上来”的数，然后再判断是否向更高位进位。（二）核心技能：竖式计算步骤与规范【高频考点】1.【步骤口诀】“数位对齐个位起，顺序乘完再相加（指加上进位数），满几十就进几，进位标记要牢记。”2.【书写规范】1.3.进位数字要写小一些，通常写在靠近前一位的横线上方，以便与原有数字区分，避免混淆。例如，计算48×7时，个位乘完，应在十位右下角（或横线上方）清晰标注一个小的“5”；十位乘完后，28+5=33，应向百位进3，在百位右下角标注一个小的“3”，十位写3。2.4.计算过程要清晰，不可跳步。对于初学者，要求写出每步的思考过程或进位标记。5.【检验方法】【重要】1.6.估算检验：如48×7≈50×7=350，实际336，接近且小于350，合理。2.7.再算一遍：用同样的方法重新计算一次，最好换一种顺序（如先估后算）或用不同颜色的笔标记。3.8.交换位置检验：虽然多位数乘一位数不能交换位置列竖式（因为一位数必须放在下面），但可以理解为7个48相加，用加法进行粗略验证。4.9.逆运算检验：用积除以一个因数，看是否等于另一个因数（除法是乘法的逆运算，可为后续学习作铺垫）。五、考点、考向与解题策略【高频考点】（一）常见题型与考查方式1.【基础计算题】直接写出得数或用竖式计算。这是最基本的考查形式，直接检测学生对算法的掌握程度。1.2.典型题：45×8=？236×4=？507×3=？（注意第二题涉及连续进位，第三题涉及中间有0但不影响进位）3.【改错题】给出错误的竖式，让学生找出错误并改正。1.4.考查点：是否理解进位规则，是否细心（如忘记加进位数，进位数字写错等）。5.【填空题】1.6.典型题一：在计算□3×5时，要使积是三位数，□里最大能填（）。【难点】需要结合进位进行逆向思考。若□填2，23×5=115（三位数）；若□填3，33×5=165（三位数）；若□填4，43×5=215？不对，43×5=215也是三位数。等等，这里要考虑到进位可能使积变成四位数。比如填1，13×5=65（两位数）不对。需要系统思考：要使积是三位数，最大可能填几？我们可以估算：20×5=100，30×5=150，40×5=200，50×5=250，60×5=300，70×5=350，80×5=400，90×5=450。题目是□3，所以是13,23,33,43,53,63,73,83,93。分别计算：13×5=65，23×5=115，33×5=165，43×5=215，53×5=265，63×5=315，73×5=365，83×5=415，93×5=465。全部是三位数？不对，93×5=465，还是三位数。说明只要这个两位数小于200，乘5都小于1000？但比如99×5=495，也是三位数。所以这个题目的陷阱可能在于如果个位进位很大，十位乘完再加进位后也会产生进位，但最终可能还是三位数。比如99×5=495，是三位数。100×5=500，才是三位数的上限。所以□3最大可以填99？但题目是□3，所以是93。93×5=465，三位数。如果填9，就是93，没错。但如果题目改成“要使积是四位数，□里最小能填几？”那就需要从高位估算，比如200×5=1000，所以两位数要接近200，199×5=995，还是三位数，200×5=1000，但200不是□3的形式。所以需要找到第一个积≥1000的□3。可以用估算：180×5=900，190×5=950，200×5=1000。所以我们需要找到第一个数，使得它乘5≥1000，即这个数≥200。□3中，193×5=965（还差一点），203×5=1015，但203中的十位是0，不是□3形式。□3表示十位是□，个位是3，所以这个数是10×□+3。解不等式(10×□+3)×5≥1000，即50×□+15≥1000，50×□≥985，□≥19.7，所以□最小是20？但□只能是一位数09。所以这个□3形式的两位数，最大是93，93×5=465<1000，永远无法得到四位数。所以这个题如果这样出就无解。因此，原题应为“要使积是三位数，□里最大能填几？”答案是9。这个例子说明填空题的考查深度。2.7.典型题二：378×5的积是（）位数。【重要】可以通过估算判断：把378看作400，400×5=2000，是四位数；看作300，300×5=1500，也是四位数。实际378×5=1890，是四位数。8.【选择题】1.9.典型题：下面算式中，得数最大的是（）。A.49×8B.52×7C.61×6。需要分别计算或估算比较。49×8≈50×8=400，52×7≈50×7=350，61×6≈60×6=360，但A精确计算392，B是364，C是366，所以A最大。考查计算和比较能力。10.【解决问题】将计算融入实际情境。1.11.典型题：动物园的一只东北虎每天要吃32千克食物，饲养员准备了250千克食物，够一只东北虎吃一个星期（7天）吗？【重要】需要先计算7天需要的总量：32×7=224（千克），然后与250千克比较，224<250，所以够。既考查计算，又考查比较大小和问题解决能力。（二）易错点与解题技巧【非常重要】1.【易错点一】忘记加进位的数。1.2.原因：思维不连贯，只记得乘，忘记了加。2.3.对策：养成“乘完即加”的习惯。可以小声念叨每一步：“个位四七二十八，写八进二；十位二七十四，十四加进位二得十六，写六进一；百位……”4.【易错点二】进位数字与计算结果混淆。1.5.原因：书写不规范，进位数字太大或位置不对，导致看错。2.6.对策：规范书写进位数字，一定要写得小而清晰，最好写在横线上方靠近前一位的位置。计算完后，可以先用估算检验。7.【易错点三】连续进位时，处理顺序出错。1.8.原因：当低位进上来的数和高位乘得的积相加后，又产生了新的进位，容易漏掉或错加。2.9.对策：严格按照“从低位到高位”的顺序。每算完一位，先加上低位进上来的数，得到一个新的和，再判断这个和是否满十，如果满十，就向前一位进几，并写下本位应保留的数字。例如178×4：个位8×4=32，本位写2，向十位进3。算十位：7×4=28，28+3=31，本位写1，向百位进3。算百位：1×4=4，4+3=7，本位写7，千位无进位。结果712。10.【易错点四】数位对齐问题。1.11.原因：当多位数中间有0时，容易出现数位对错。或者抄错数字。2.12.对策：强调用尺子画横线，抄题时手点着数字读一遍，确保数位对齐。遇到0的乘法，要明确0乘任何数都得0，但如果有进位，0要加上进位数。13.【解题技巧】善用估算进行初步检验。在精确计算前先估出大致范围，计算后再与估算结果对比，如果相差悬殊，说明计算很可能有误。（三）思维拓展与变式训练1.【逆向思维】已知积和一个因数，求另一个因数。如：□×5=345，求□。为学习除法打基础。2.【推理思维】在下面的竖式中，每个图形代表一个数字，请推算出它们各是多少。如：□7×□——————2□1【解析】从个位开始推理：7×个位因数=个位是1，7的乘法口诀中，只有7×3=21，所以个位因数是3，并向十位进2。那么十位上：□×3+2=结果的十位，结果的十位是□（但未知），且整个结果是2□1，是三位数。十位上的数乘3再加2，得到的数的十位应与□有关。假设十位上的□是a，则a×3+2的个位就是a？或者这个和的个位可能是a？并且这个和可能向前一位进位，最终使百位是2。我们列式：10a+7乘以3=30a+21=30a+20+1，这个结果的十位取决于30a的个位和20的十位。30a的个位是0，所以结果的十位是0+2=2。所以结果的十位应该是2，即第二个□是2。那么原式就是27×3=81？不对，27×3=81，不是2□1。矛盾。说明推理过程需要调整。更严谨的做法：设两位数为(10a+7)，乘数为b，积为(200+10c+1)。其中a和c是代表数字，b是一位数。根据竖式，有(10a+7)×b=201+10c。并且个位7×b的个位是1，所以b=3。代入得(10a+7)×3=30a+21=201+10c，即30a+21=201+10c，30a=180+10c，3a=18+c，所以a=6,c=0。则原式为67×3=201。所以竖式是67×3=201。这种题对思维要求较高。3.【优化思维】选择合适的方法计算。如计算25×4，可以直接用口算，不必列竖式。培养学生的数感和对数据特征的敏感度。六、教学评价与反思建议（一）评价维度1.【知识技能】能否正确、熟练地进行连续进位乘法的笔算。2.【数学思考】能否清晰表达计算过程和每一步的算理。3.【问题解决】能否运用所学知识解决相关实际问题。