2024-2025学年上海市第三女子中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

-2025学年上海市第三女子中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知角的终边经过点，则的值为．2．已知，若，其中为虚数单位，则．3．已知向量，则．4．在等比数列中，，，则．5．若，，，且，则点的坐标为．6．在中，若，，，则的大小为．7．已知为锐角，若，则．8．若数列满足，则数列的通项公式．9．若，且，则的最小值是．10．函数的严格减区间是．11．已知复数，，为虚数单位）．在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期．12．如图，等边是半径为2的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围是．二、选择题（每小题3分，共12分）13．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件14．设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．已知、是平面向量的一组基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②．则（）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对16．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（）A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则三、解答题（共52分）17．已知数列是等差数列，，，为数列的前项和，，；（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项．18．已知向量．（1）若，求的值；（2）若，求向量与的夹角的大小．19．已知，是关于的方程的两个虚根．（1）若为虚数单位），求实数的值；（2）若，满足，求实数的值．20．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含，两个端点）上的一点，且，，且．（1）若为圆弧的中点，求和的值；（2）若在圆弧（包含，两个端点）上运动，求的取值范围．21．已知为正整数，数列满足，，数列满足；（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式和的值；（2）若集合，，，中有且仅有三个元素，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知角的终边经过点，则的值为．解：的终边经过点，，则，故答案为：；2．已知，若，其中为虚数单位，则．解：，故．故答案为：．3．已知向量，则14．解：因为，所以，所以．故答案为：14．4．在等比数列中，，，则．解：等比数列中，，，则，故．故答案为：．5．若，，，且，则点的坐标为．解：设点，因为，，，且，所以，所以，解得，所以点的坐标为．故答案为：．6．在中，若，，，则的大小为．解：，，，由正弦定理得：，，，．故答案为：7．已知为锐角，若，则．解：因为，所以，又为锐角，所以，所以．故答案为：．8．若数列满足，则数列的通项公式．解：由，取，得，且，，则，，验证不适合上式，则．故答案为：．9．若，且，则的最小值是．解：因为，且，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，所以，表示点到点的距离，如图：由图可知当，，共线，且在，之间时，取得最小值，为．故答案为：．10．函数的严格减区间是，，．解：由题意得，设，，解得，，所以函数的严格减区间是，，．故答案为：，，．11．已知复数，，为虚数单位）．在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期．解：由题意，，，，，，即，．则函数的最小正周期为．故答案为：．12．如图，等边是半径为2的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围是，．解：易知，，，又，．故答案为：，．二、选择题（每小题3分，共12分）13．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件解：由，得，，则；反之，由，得，，则．“”是“”的充分不必要条件．故选：．14．设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：复数的共轭复数为，所以在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：．15．已知、是平面向量的一组基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②．则（）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对解：，，，，、是平面向量的一组基，，，消去得，①对；，，，、的模与夹角不知道，不一定得到．②错．故选：．16．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（）A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则解：对于，由，得，即，当，时，，但不是单调递增，故错误；对于，由，得，则，所以当时，，满足，但不是单调递增，故错误；对于，当时，由，，满足数列单调递增，但，故错误；对于，由是单调递增，则，，所以，故，即，所以，且，又因为，所以，即，故正确．故选：．三、解答题（共52分）17．已知数列是等差数列，，，为数列的前项和，，；（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项．解：（1）因为数列是等差数列，所以，因为，，所以，根据等差数列的通项公式可得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，根据等差数列的求和公式可得数列的前项和：，因为，，所以当或5时，有最大值，即，所以数列的最大项和．18．已知向量．（1）若，求的值；（2）若，求向量与的夹角的大小．解：（1）向量，，则，解得或；（2）当时，，，，，，故，所以向量与的夹角的大小为．19．已知，是关于的方程的两个虚根．（1）若为虚数单位），求实数的值；（2）若，满足，求实数的值．解：（1）因为，是关于的方程的两个虚根，且，所以，所以；（2）因为，是关于的方程的两个虚根，所以设，则，由，解得，又因为，所以，所以，解得，所以，分别对应复数和．所以．20．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含，两个端点）上的一点，且，，且．（1）若为圆弧的中点，求和的值；（2）若在圆弧（包含，两个端点）上运动，求的取值范围．解：（1）以为原点、所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，可得，，，，即，所以，，若为圆弧的中点，则，可得，，即，，若，则，解得，；（2）设，，可得，由，可得，解得，所以，由，可知，，当，即，取得最大值1，当或时，取得最小值，所以的最小值为1，最大值为2，即的取值范围是，．21．已知为正整数，数列满足，，数列满足；（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式和的值；（2）若集合，，，中有且仅有三个元