2025-2026学年上海市第三女子中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市第三女子中学高一（上）期末数学试卷一．填空题1．（4分）已知集合，，且，则．2．（4分）设全集，集合，则．3．（4分）函数的定义域是．4．（4分）将化简为有理数指数幂的形式．5．（4分）已知数列是等差数列，且，公差，则．6．（4分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．7．（5分）已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是．8．（5分）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是．9．（5分）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是．10．（5分）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买吨．11．（5分）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形、2、3、面积的和是．12．（5分）已知，若在，上恒成立，则实数的取值范围是．二．选择题13．（5分）已知、是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．（5分）下列说法中，正确的是（）A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“△是锐角三角形”的否定形式是“△中存在一个内角大于” D．“任意，”的否定形式是“存在，使得”15．（6分）若实数，实数，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．16．（6分）已知非空数集满足：若任意、，则，，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三．解答题17．（12分）已知集合，集合，求集合．18．（14分）已知，其中为实数．（1）若（2），求的值；（2）若时，有，求的取值范围．19．（14分）已知数列是等比数列，其中．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若数列满足，求证：数列是等差数列．20．（17分）已知奇函数的表达式为，其中常数且．（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）若，求实数的取值范围．21．（17分）已知函数为偶函数，为奇函数，且．（1）写出函数的单调区间（不要求证明）；（2）求出函数，的表达式；（3）若函数恰有4个零点，求实数的取值范围．

参考答案一．填空题1．（4分）已知集合，，且，则1．解：因为集合，，且，所以．故答案为：1．2．（4分）设全集，集合，则．解：，集合，则．故答案为：．3．（4分）函数的定义域是．解：由题意知，函数的定义域为．故答案为：．4．（4分）将化简为有理数指数幂的形式．解：．故答案为：．5．（4分）已知数列是等差数列，且，公差，则7．解：因为数列是等差数列，且，公差，所以．故答案为：7．6．（4分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．解：因为的解集为，即恒成立，所以△，所以实数的取值范围是．故答案为：．7．（5分）已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是．解：，，若是的必要条件，因为是的必要条件，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．8．（5分）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是．解：因为不等式的解集是，所以有，所以，或．故答案为：．9．（5分）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是0或2．解：因为幂函数的图象关于轴对称，设，则，所以有为偶数，幂函数的图象与轴和轴无交点，所以，因为，当时，为偶数，当时，不是偶数，当时，为偶数，综上，的值是0或2．故答案为：0或2．10．（5分）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买20吨．解：由一年共购买200吨，每次购买吨，则一年共购买次，则一年运费共万元，一年的总费用，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：20．11．（5分）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形、2、3、面积的和是．解：由题可得三角形的面积为，三角形的面积为，三角形、2、3、面积构成的数列为：，，，，所以该数列是以为首项，为公比的无穷等比数列，所以所有三角形、2、3、面积的和是．故答案为：．12．（5分）已知，若在，上恒成立，则实数的取值范围是．解：因为，，所以由，设，因为函数在，时单调递增，且，所以函数在，时单调递减，函数在，时单调递增，且，所以函数在，时单调递减，因此函数时单调递减，所以，所以在，上恒成立，只需，因此实数的取值范围是．故答案为：．二．选择题13．（5分）已知、是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：是奇数，都是奇数，所以能推出，充分性成立，但推不出，必要性不成立，所以是的充分非必要条件．故选：．14．（5分）下列说法中，正确的是（）A．“或”的否定形式是“或” B．“”的否定形式是“或” C．“△是锐角三角形”的否定形式是“△中存在一个内角大于” D．“任意，”的否定形式是“存在，使得”解：：因为“或”的否定形式是“且”，不正确；：因为“”的否定形式是“或”，不正确；：因为“△是锐角三角形”的否定形式是“△中存在一个内角不小于”，所不正确；：因为“任意，”的否定形式是“存在，使得”，正确．故选：．15．（6分）若实数，实数，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．解：根据题意，依次分析选项：对于，函数是以为变量，为常量的幂函数，由于，易得在上单调递增，因，，可以得到，故正确；对于，函数，是以为变量，为常量的指数函数，由于，则单调递增，因，可以得到，故不正确；对于，，，由于，则，，则，则有，即，故不正确；对于，由，因为实数，而实数，所以，，则，即，故不正确．故选：．16．（6分）已知非空数集满足：若任意、，则，，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：对于①，是有限集，，，为无限集，与是有限集矛盾，，故①正确；对于②，，例如取，2，3，4，5，，不成立，故②错误；对于③，若，，例如取，，，，，，0，1，2，3，4，5，，不成立，故③错误；对于④，设，当，，，，，时，，当时，，当时，，，当时，，当时，，符合题中定义，故④正确．故选：．三．解答题17．（12分）已知集合，集合，求集合．解：由，或，解得或，即或．由，即，所以或．18．（14分）已知，其中为实数．（1）若（2），求的值；（2）若时，有，求的取值范围．解：，其中为实数．（1）由题意得（2），得到，则，解得．（2）由题可得：函数是正实数集上的减函数，则，解得或，故的取值范围为．19．（14分）已知数列是等比数列，其中．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若数列满足，求证：数列是等差数列．解：（1）设数列的公比为，因为，所以，解得，所以，；（2）证明：由（1）可知，所以，所以，所以数列是等差数列．20．（17分）已知奇函数的表达式为，其中常数且．（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）若，求实数的取值范围．解：（1）因为是奇函数，所以，所以；（2）函数是上的增函数，证明如下：因为，设，是任意两个实数，且，所以，，，，即，所以函数是上的增函数；（3）由上可知，函数为奇函数，则，又为上的增函数，则有，解得，所以实数的取值范围为．21．（17分）已知函数为偶函数，为奇函数，且．（1）写出函数的单调区间（不要求证明）；（2）求出函数，的表达式；（3）若函数恰有4个零点，求实数的取值范围．解：（1）当时，，显然此时函数单调递增，当时，，显然此时函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）因为函数为偶函数，为奇函数，所以由，可得，即，联立，解得，；（3），由，得，解得，所以令，得，令，问题函数恰