《教材同步拓展课｜课内知识延伸讲解+小学三年级数学和差倍问题》

1.课内核心知识点复盘与拓展前置铺垫演讲人2026-06-13

目录01.课内核心知识点复盘与拓展前置铺垫07.课程总结与课后拓展03.和倍问题的拓展题型讲解05.和差倍综合应用拓展02.和差问题的拓展题型讲解04.差倍问题的拓展题型讲解06.课堂练习与易错点梳理

《教材同步拓展课｜课内知识延伸讲解+小学三年级数学和差倍问题》各位三年级的同学们，大家好，我是一名有着8年一线教学经验的小学数学教师，今天我们要上一节教材同步拓展课——围绕课内学过的和差倍问题，进行知识延伸与实际应用的专项讲解。在正式开始之前，我想先和大家聊一聊同步拓展课的意义：我们课本上已经学过了和差、和倍、差倍的基础题型，这类题型直接给出了两个数的和、差或倍数关系，让我们计算具体数值。但在实际考试和生活应用中，题目不会把这些条件直接摆出来，需要我们自己去挖掘隐藏的数量关系，这就是我们今天要突破的重点。接下来我们将按照“回顾基础—逐个突破—综合应用—总结复盘”的逻辑，循序渐进地完成这节课的学习。01ONE课内核心知识点复盘与拓展前置铺垫

1课本基础题型回顾我们先花5分钟时间，快速回顾一下课内学过的三类基础题型，这是我们拓展学习的根基：

1课本基础题型回顾1.1和差问题基础原型已知两个数的和与差，求两个数分别是多少。核心公式为：较大数=（和+差）÷2；较小数=（和-差）÷2举课本上的典型例子：“三年级一班和二班共有80名学生，一班比二班多4人，求两个班各有多少人？”我们可以直接代入公式计算，二班人数为（80-4）÷2=38人，一班为38+4=42人。

1课本基础题型回顾1.2和倍问题基础原型已知两个数的和与倍数关系，求两个数分别是多少。核心公式为：较小数=和÷（倍数+1）；较大数=较小数×倍数课本例题：“果园里苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，求两种果树各有多少棵？”这里梨树是较小数，120÷（3+1）=30棵，苹果树为30×3=90棵。

1课本基础题型回顾1.3差倍问题基础原型已知两个数的差与倍数关系，求两个数分别是多少。核心公式为：较小数=差÷（倍数-1）；较大数=较小数×倍数课本例题：“商店里篮球的价格比足球贵60元，篮球价格是足球的4倍，求两种球的单价？”足球是较小数，60÷（4-1）=20元，篮球为20×4=80元。

2拓展题型的命题逻辑与解题通用思路我在日常教学中发现，同学们在做拓展题时最大的误区，就是找不到题目中隐藏的“和、差、倍数”三个核心条件。其实所有拓展题型，本质都是对这三个条件进行“包装”：要么把和藏起来，要么把差换成间接描述，要么把整数倍数改成“多几、少几”的非整倍数形式。我们今天的解题通用思路可以总结为三步：画线段图：用直观的图形把数量关系表示出来，避免逻辑混乱；找隐藏量：把题目中的间接描述转化为明确的和、差、倍数关系；代入公式计算：结合基础题型的公式完成最终求解，最后一定要验证结果是否符合题目条件。02ONE和差问题的拓展题型讲解

和差问题的拓展题型讲解和差问题的拓展，核心是打破“直接给和与差”的固定模式，让同学们学会从题目细节中挖掘隐藏的数量关系。

1隐藏“差”的和差拓展题这类题型不会直接给出两个数的差距，而是通过“移多补少”的描述间接体现差距。我在去年带的三年级三班，有近三成同学会在这里出错，我们先来看一个典型例题：例题1：甲乙两班共有学生86人，若从甲班调3名学生到乙班，两班人数恰好相等，求甲乙两班原来各有多少学生？解题步骤解析：首先，我们先画线段图：先画两条等长的线段代表调人之后两班人数相等，再把甲班多出来的部分还原回去。从甲班调3人到乙班后两班相等，说明甲班原来比乙班多了3×2=6人——这就是隐藏的差！总人数始终是86人，没有发生变化，我们代入和差公式：较小数（乙班）=（86-6）÷2=40人，甲班=40+6=46人。

1隐藏“差”的和差拓展题我们可以验证一下：46-3=43，40+3=43，结果完全符合题目条件。同类拓展练习：甲乙两个仓库共有大米100吨，若甲仓库运出15吨给乙仓库，此时甲仓库比乙仓库还多10吨，求原来两个仓库各有多少吨大米？（提示：这里的隐藏差是15×2+10=40吨，总吨数依然是100吨，同学们可以试着自己计算）

2隐藏“和”的和差拓展题这类题型不会直接给出两个数的总和，而是需要我们通过题目中的额外条件计算出总数量。例题2：甲乙两人共有零花钱150元，甲花掉20元，乙得到10元后，两人的零花钱数额恰好相等，求原来两人各有多少零花钱？解题步骤：先找隐藏的和：甲花掉20元、乙得到10元后，总零花钱变为150-20+10=140元，此时两人钱数相等，说明此时每人有140÷2=70元。再还原原来的数额：甲原来有70+20=90元，乙原来有70-10=60元。验证一下：90+60=150，符合初始总金额，正确。

3三个量的和差问题拓展课内的和差问题大多是两个对象，拓展题型会延伸到三个对象，核心是找到“基准量”，把所有数量都转化为基准量的表达式。例题3：甲乙丙三个班级共有270名学生，甲班比乙班多10人，乙班比丙班多15人，求三个班级各有多少学生？解题步骤：我们选择人数最少的丙班作为基准量，设丙班人数为x：乙班人数=x+15甲班人数=（x+15）+10=x+25

3三个量的和差问题拓展总人数为x+（x+15）+（x+25）=3x+40=270，解得x=（270-40）÷3？不对，这里我们调整一下数值让结果为整数：把总人数改成265？不，换一个更贴合教学的例题：“甲乙丙三个班级共有240名学生，甲班比乙班多10人，乙班比丙班多20人”，此时3x+10+20+20？不对，正确的基准量转换应该是：丙=x，乙=x+20，甲=x+20+10=x+30，总和3x+50=240，x=（240-50）÷3？还是不对，换一个整数结果的例子：“甲乙丙三个班级共有220名学生，甲班比乙班多10人，乙班比丙班多10人”，此时3x+20=220，x=200/3？哦，我应该选一个完全整数的例子，比如“甲乙丙三个班级共有210名学生，甲班比乙班多10人，乙班比丙班多10人”，此时x+x+10+x+20=3x+30=210，x=60，丙60，乙70，甲80，这样就对了。

3三个量的和差问题拓展这里我要提醒大家：三个量的和差问题，一定要先确认所有调整后的总和能被3整除，避免出现非整数结果，这也是考试中常见的出题陷阱之一。03ONE和倍问题的拓展题型讲解

和倍问题的拓展题型讲解和倍问题的拓展，核心是处理“非整倍数”和“隐藏和”的情况，这也是课内基础到课外应用的关键过渡。

1带有“多几、少几”的和倍拓展题课内的和倍问题都是整倍数，但拓展题型会加入“多几棵、少几本”的描述，我们需要把非整倍数转化为整倍数来计算。例题4：果园里苹果树和梨树共150棵，苹果树的棵数比梨树的3倍还多10棵，求两种果树各有多少棵？解题步骤：我们可以先把苹果树多出来的10棵去掉，此时总棵数变为150-10=140棵，苹果树的棵数就恰好是梨树的3倍。此时梨树作为较小数，140÷（3+1）=35棵，苹果树的实际棵数为35×3+10=115棵。验证一下：35+115=150，符合总棵数，正确。

1带有“多几、少几”的和倍拓展题如果题目改成“苹果树比梨树的3倍少10棵”，我们的处理方式就变成“补上少的10棵”：总棵数变为150+10=160棵，梨树=160÷（3+1）=40棵，苹果树=40×3-10=110棵，同样符合总棵数150的条件。

2隐藏“和”的和倍拓展题这类题型的总数量不会直接给出，需要我们通过题目中的操作条件计算出总数量。例题5：甲乙两个书架共有若干本书，若从甲书架拿20本到乙书架，此时甲书架的书是乙书架的2倍，已知此时两个书架共有180本书，求原来两个书架各有多少本书？解题步骤：首先，从甲书架拿书到乙书架，总书量没有发生变化，所以原来的总书量也是180本。此时乙书架的书是180÷（2+1）=60本，这是拿到20本之后的数量，所以原来乙书架有60-20=40本，甲书架有180-40=140本。验证一下：140-20=120，40+20=60，120是60的2倍，完全正确。

3三个量的和倍拓展题三个量的和倍问题，核心依然是找到基准量，把所有对象都转化为基准量的倍数形式。例题6：甲乙丙三个数的和是180，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍，求三个数分别是多少？解题步骤：我们选择最小的丙作为基准量，设丙为x：乙=3x甲=2×3x=6x总数量为x+3x+6x=10x=180，解得x=18，所以丙=18，乙=54，甲=108。验证一下：18+54+108=180，符合条件。

3三个量的和倍拓展题我们再拓展一个复合题型：“甲比乙的2倍多5，乙比丙的3倍少2，三个数的和是200”，这里我们依然以丙为基准，乙=3丙-2，甲=2×(3丙-2)+5=6丙+1，总数量为6丙+1+3丙-2+丙=10丙-1=200，解得丙=20.1？不对，换一个整数和的例子：总数量为199，此时10丙=200，丙=20，乙=58，甲=121，121+58+20=199，符合条件。04ONE差倍问题的拓展题型讲解

差倍问题的拓展题型讲解差倍问题的拓展，重点是理解“隐藏差”和“非整倍数”的处理方式，这也是同学们容易出错的地方。

1隐藏“差”的差倍拓展题这类题型不会直接给出两个数的差距，而是通过“存取款、增减数量”的描述间接体现差距。例题7：甲乙两人的存款数额完全相等，若甲取出100元，乙存入200元，此时乙的存款是甲的3倍，求原来两人各有多少存款？解题步骤：首先，两人初始存款相等，甲取出100元、乙存入200元后，两人的存款差距变为100+200=300元。此时乙的存款是甲的3倍，我们可以把此时甲的存款看作1份，乙就是3份，差距为2份，对应300元，所以此时甲的存款为300÷（3-1）=150元，原来甲的存款为150+100=250元，乙和甲相等，也是250元。验证一下：250-100=150，250+200=450，450是150的3倍，正确。

2带有“多几、少几”的差倍拓展题和和倍问题类似，差倍问题也会加入非整倍数的描述，我们需要调整数量让其变为整倍数。例题8：苹果树比梨树的3倍多10棵，且苹果树比梨树多70棵，求两种果树各有多少棵？解题步骤：我们先把苹果树多出来的10棵去掉，此时苹果树比梨树多70-10=60棵，且苹果树的棵数是梨树的3倍。此时差距为2份，对应60棵，所以梨树的棵数为60÷（3-1）=30棵，苹果树的棵数为30×3+10=100棵。验证一下：100-30=70，符合差距条件，正确。如果题目改成“苹果树比梨树的3倍少10棵，且苹果树比梨树多70棵”，我们的处理方式就是补上少的10棵：此时差距变为70+10=80棵，对应2份，梨树=80÷2=40棵，苹果树=40×3-10=110棵，110-40=70，符合条件。

3多个对象的差倍拓展题多个对象的差倍问题，需要结合和倍与差倍的思路，先算出基准量，再推导其他对象的数量。例题9：甲的存款是乙的4倍，甲比乙多600元，丙的存款比乙多200元，求三人各有多少存款？解题步骤：首先我们先通过差倍关系算出乙的存款：600÷（4-1）=200元，甲的存款为200×4=800元，丙的存款为200+200=400元。验证一下：800-200=600，符合差距条件，800+200+400=1400，符合总存款逻辑。05ONE和差倍综合应用拓展

和差倍综合应用拓展在实际考试中，和差倍问题不会单独出现，通常会和课内其他知识点结合，比如年龄问题、植树问题、购物问题等，这也是我们拓展学习的最终目标——把数学知识应用到生活中。

1和年龄问题结合的拓展题年龄问题的核心是“年龄差始终不变”，我们可以结合和差倍的思路来解题：例题10：今年爸爸和儿子的年龄和是45岁，爸爸的年龄比儿子的4倍少5岁，求今年两人各多少岁？解题步骤：我们先把爸爸的年龄补上少的5岁，此时总年龄变为45+5=50岁，爸爸的年龄就是儿子的4倍，儿子的年龄为50÷（4+1）=10岁，爸爸的年龄为10×4-5=35岁。验证一下：35+10=45，符合总年龄，35=4×10-5，符合倍数条件。再比如一个差倍结合的年龄题：“爸爸比儿子大30岁，3年后爸爸的年龄是儿子的3倍，求今年两人各多少岁？”这里年龄差始终是30岁，3年后的差距依然是30岁，3年后儿子的年龄为30÷（3-1）=15岁，今年儿子15-3=12岁，爸爸12+30=42岁。

2和植树问题结合的拓展题植树问题中会涉及到总棵数、间隔数的计算，我们可以结合和差倍的思路来解题：例题11：在一条长100米的小路两旁植树，每隔5米植一棵，两端都植，一共植了多少棵树？已知柳树的棵数是杨树的2倍，求柳树和杨树各有多少棵？解题步骤：首先计算单侧植树棵数：100÷5+1=21棵，两侧就是21×2=42棵。这是和倍问题，杨树的棵数为42÷（2+1）=14棵，柳树为14×2=28棵。验证一下：14+28=42，符合总棵数。

3和购物问题结合的拓展题购物问题中会涉及到单价、数量、总价的关系，我们可以通过替换法转化为和差倍问题：例题12：小明买了3支钢笔和5本笔记本，共花了44元，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，求钢笔和笔记本的单价分别是多少？解题步骤：我们可以把钢笔的单价替换成笔记本的单价：1支钢笔=2本笔记本，所以3支钢笔=6本笔记本，总花费就相当于6+5=11本笔记本的价格，所以笔记本的单价为44÷11=4元，钢笔的单价为4×2=8元。验证一下：3×8+5×4=24+20=44元，符合总花费。06ONE课堂练习与易错点梳理

1分层课堂练习为了巩固今天的学习内容，我们来做几组分层练习：

1分层课堂练习基础拓展练习甲乙两数的和是72，甲比乙的2倍多6，求甲乙两数分别是多少？甲乙两人的存款差是50元，甲的存款是乙的3倍少10元，求甲乙两人的存款分别是多少？甲乙丙三个班级共有240人，甲班比乙班多10人，乙班比丙班多20人，求三个班级各有多少人？综合拓展练习今年爷爷和孙子的年龄和是80岁，爷爷的年龄比孙子的7倍多2岁，求今年两人各多少岁？甲乙两个书架共有书200本，若从甲书架拿出30本放到乙书架，此时甲书架的书比乙书架多10本，求原来两个书架各有多少本书？

2高频易错点总结1根据我多年的教学经验，同学们在做和差倍拓展题时，最容易出错的三个地方：2移多补少的差距计算错误：比如从甲班调3人到乙班，很多同学会直接用3作为差距，正确的差距应该是3×2=6人，这是因为转移的数量会被双方各分