2026年八年级数学人教版 第02讲 与三角形有关的线段(暑假预习讲义)

02预习航标→析目标·教材全解→建框架·题型突破→析考点·12345678910过关检测→练考点·三角形的高、中线、内心；三角三角形三边1/PAGEPAGE10/01a、b、cc为最长边：a+bm、n（m>n）x范围：m-nx B．8cm，5cm，C．3cm，4cm， A：1345，∴不能组成三角形，不符合要求；D：1569知识点 三角形的稳定是迄今世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样 知识点 三角形的中线、角平分线、AAD⊥BCBC边的中点D作∠BAC的平分线AD，交BCAD是△ABCAD是△ABCBCAD⊥BCAD是△ABCAD是△ABCBC边上BD＝DC＝DBCAD是△ABCD．∠1＝∠2＝AD是△ABCAD是△ABCBD＝DC＝AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝—三角形的三条高(或它们的延长线)一个三角形有三条角平分AD为VABC的中线，BE为△ABD的中线．若VABC的面积为30BD5，则VBDE边上的高是（ D．3AD为VABCBE为△ABD∴S

1

ABC,S

1

1

ABC设VBDEBD边上的高为h∵VABC的面积为30BD5∴S

1BD·h15h130 ∴h33条高、3条中线、31判断能否构成三角形1】下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（A．1，2， C．15，5， D．1，3，A、∵较短边为12，最长边为4，123B、∵较短边为46，最长边为86428且64108C、∵较短边为56，最长边为15561115D、∵较短边为13，最长边为4，1342】已知三角形的两边长分别为4和5，则此三角形第三边的长不可能是（ 【详解】解：三角形的两边长分别为4和5x由三角形三边关系可得54x54，即1x9，选项中9不满足1x9此三角形第三边的长不可能是9．A．先把三条边按从小到大排序：a≤b≤c只需验证：a+b>c1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（4cm4cm8cmC．1cccm

8cm16cm7cmD．1cm10cm20cm【详解】解：A.4484cm4cm8cmB.∵7815168cm16cm7cmC.∵5510111cm5cm5cmD.∵1013232013cm10cm20cm1-2】下列各组线段能组成一个三角形的是（2cm、2cm、 B．1cm、2cm、C．4cm、7cm、 D．5cm、8cm、【详解】解：A.224∵123447115813122 x，74x74，∴3x11∵三角形的周长47x11x3x11范围内的奇数为579【例2】由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中a3cm,b5cm，那么c的长度可以是 b∴baca即53c5化简得2cmc

a3cm观察选项，只有7cm在此范围内，C．b70直接套用公式：mnxm“第三边的整数解有几个”，就在范围内找整数。若题目问“周长的取值范围”，两边同时加上m+n即可。4a212a4a212a a，bc的取值范围，即可选出正确2a3

4a212a9b

2a32b70则 b a 解得 b 由于c是三角形的最长边，则cb，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得cab375 c的取值范围是3.5c5，只有c4符合条件， 则61<a<61，即5a7第三边长a63三角形的稳定性1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ 【例AB和CD），这样做的依据是（ 3-1】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ A不符合；B不符合；D不符合．4等边三角形的分类讨论y1】xy满足x5y

0xy的值为两边长的等腰三角形的周长是（ C．18或 yy

0又∵x52

0x50y80∴x5，y8当等腰三角形的腰长为5时，则该三角形的三边长为558∵558∴三角形的周长为55818当等腰三角形的腰长为8时，则该三角形的三边长为885∵588∴三角形的周长为885综上所述，等腰三角形的周长为18或21 【答案】【详解】解：等腰三角形的一边等于5cm，一边等于11cm周长为1111527cm当腰为5cm时，三边为5cm5cm，11cm5511三角形的周长为27cm/错解。37时，37做腰。 【答案】1755755，可以构成三角形，则此等腰三角形的周长为55717；当三角形三边为577时，75575，可以构成三角形，则此等腰三角形的周长为57719．【变式4-2】等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则等腰三角形的底边长 ．【分析】根据4为腰长和4为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结①当边长为4的边为腰长时，底边长为16428，此时三角形三边长为8②当边长为4腰长为1646此时三角形三边长为4∴该等腰三角形的底边长为45根据三角形的中线求长度1VABC中，ABAC，ACBD156ABADCD1AC1AB ABACBDAC∴ADCD1AC1AB AB1ABABAD当BCCD

时，即BC

ABAB10BC1AB1ABABAD 当BCCD15时，即 BC

AB15AB4BC13AC4AB10．2】AD是VABCBD4BC的长度为（ BC2BD．AD是VABCBD∴BC∵BDBC8．中线定义：ADBC边上的中线BDDC1=两腰之差（公共边+中线抵消）。5-1】如图，已知CD是VABCAB20BD的长为（ DABBD1ABAB【详解】解：∵CD是VABC∴DAB∴BD1AB∵AB20∴BD120105-2】如图，已知VABC35ADBCAB3AC(1)AC10BD(2AC12AC12AB18BC5【详解】（1）AB3ACAC10∴AB31015∵VABC∴ABACBC35∴BC35ABAC35151010ADBC∴BD1BC5（2）AC12，理由如下：AC12，∵AB3AC∴AB31218∵VABC∴ABACBC35∴BC35ABAC3512185∴VABC的三边长分别为5,12,18，此时512186根据三角形的中线求面积【例1如图，CD是VABC的中线点P在AC上且CP∶AP若SABC24则△PCD的面积 由CD是VABC

1

3

【详解】解：CD是VABCS

1

12CP3ACS

3

31236 36 【例2】如图，AD是VABC的中线，CE是ACD的中线， 3cm2，则 cm2 【答案】【分析】三角形中线平分三角形面积，先由CE是ACDSACD2SACE6cm2AD是VSABC2SACD12cm2CE是ACDSACE3cm2∴SACD2SACE6cm2AD是VABC∴SABC2SACD12cm2AD是中线：SABD=SACD=1S6-1】如图，在VABCD，E，FBCADCE的中点，且VABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于cm2． 【分析】根据三角形中线的性质得S S 2cm2，同理可得S 1cm2，同理S 出S 4cm2，点D是BC的中点∴SABDS

1

2cm2EAD∴SABES

1

ACES

1

∴S△BCES△BDES△CDE2F是CE∴S

1

1cm2【变式6-2】如图，若VABC的面积为3，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，则求阴影部分的面 ABCSACDSABC3，从而得出SDBF2SCBF6SFAE2SABE6SECD2SACD6ADBF、CF∵VABC3A，B，CECAFBD∴SCBFSABC3，SABESABC3，SACDSABC3∴SDBF2SCBF6，SFAE2SABE6，SECD2SACD6SDBFSFAESECD187重心的概念【例1长方形ABOC和DEFO在平面直角坐标系中的位置如图所示若将这两个长方形视为一个组合图形， 【答案】1510 ABOCDEFO的重心坐标，再利用不规则图形的重心坐标计算【详解】解：如图，GHABOCDEFO∴G2,4，H3,3，ABOC8，ACOB4，DEOF6，FEOD3 2 ABOCS14832DEFOS23618xS1xGS2S1

322183132 SySy 32418 y1 2H 2 S1

32 ∴重心坐标为131510 2】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线MN上的是（） C．组合图形关于直线MNMNDMNMN上，不符合题意．下列说法正确的是（）【变式7-2】在VABC中，D是VABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，若BC12，则BE EBCBE的长度．D是ABCAE是ABCEBC∵BC12∴BE1BC1126 8三角形的角平分线【例1如图，VABC的角平分线AD中线BE相交于点O则①AO是ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④SADESCDE，其中结论正确的有（ A．1 B．2 D．4AD是VABC∴BADCADAO平分BAEAO是ABEBE是VABC∴AEECOADBO不是△ABDBE是VABC∴AEECDE是△ADCDE是△ADCSADESCDE∴有32ABC中，12，GADBGACE，FABCF A．BG是ABD中边AD上的中 B．AD是ABE中BAE的平分C．CH是ACH中AH边上的 D．AH是ACF的角平分线和【详解】解：∵GADAGDG1ADBG是ABDADA∵12AG是ABE中BAEBCFADCH是ACHAHC∵CFAD，12AH是ACFAH是ACFDAD平分∠BAC：∠BAD=∠CAD18-1】CDAE、CF分别是VABC的高线、角平分线、中线，则下列结论中的是（A．CD

B．CAE1C．AF

D．BECDABAAECAEBAE1BACBCFAFBFCBECED8-2】如图，在VABCC90DEACAEDEBD平分EBC，下列说法中不正确的是（）A12 BBD是BCEC．BE是△ABD的中 D．BC是VBDE的AEDECBD平分EBC和角平分BD选项的正确；利用角平分线的定义只能得到23，但没有办法得到123A选项错误．AEDEEADBE是△ABDCBD平分EBCBD是BCEBC90BCCEBC是BDEDBD平分EBC但没有办法得到123A错误，符合题意．9做三角形的高1】如图，ADBC，BEAC，CFABD、E、F，VABCBC边上的高是（ ADBC∴VABCBCAD2】BD是VABC的高的是（ B． 【详解】解：A、B、CBD不能表示ABC任何边上的高，9-1】如图，在VABCBDABACD点，CEABABE点，AFBC交CB的FBC边上的高是（） 【详解】解：在VABCBCAF，9-2】VABCAC边上的高是（ B．线段 【详解】解：根据三角形高的定义，在ABCACBAC边所在直线作的垂线段，观BE符合条件；10与三角形的高有关的计算1】BDBEBF分别是VABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（A．AEC．AC

B．ABE1D．BDABE是ABCAEECBBE是ABC的角平分线，根据角平分线的定义，ABECBE1ABCCBF是ABCFACAC2CF2AF，该选项正确；DBD是ABC的高，BDACBDCD，该选项正确．2】AD、AE分别是VABCAD

ABC24BE的长为（ AD是VABC∴ADBC∵AD

ABC24

1BCAD24∴BC8AE是VABC∴BECE1BC4核心公式：SABC=1BC×hBC=1AC×hAC 直角三角形的面积：S11210-1】如图，在VABCBC8ADCEAFABBFS△ACF6，求线段CE的长．ABBF1BC4SABC2S

△

1ABCEAFBC8S△ACF6∴ABBF1BC4，

ABC2S

12 1ABCE14CE12△ ∴CE610-2】AD是VABCDEABEDFACFDF2DEAB SABDSACD，再根据三角形的面积公式即可得出结论．AD是VABC∴BDCD∴SABD=SACD∴1ABDE1ACDF ∵DF2DE∴1ABDE1AC2 AB2ACABAC2倍．已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（ C．12cm或者 当腰长为3cm，底边长为6cm时，三角形三边长为3cm3cm6cm当腰长为6cm，底边长为3cm时，三角形三边长为6cm6cm3cm，满足三角形三边关系，此时周长为66315cm，下列长度的3条线段，能组成三角形的是 A．1，2， C．2，2， A选项∵123，∴不能组成三角形B561112，∴不能组成三角形C224，∴不能组成三角形D4596，满足三边关系，∴能组成三角形 x，则95x95，即4x14，所以四个选项中只有7如图，在ABCDACEBC上，CE2BE，AEBD交于点O，那么和四边形OECD的面积比是（1: C．1: D．1:【分析】连接OC，设SBOEx，SCODy，根据三角形面积之间的关系可得：SACE2x2y，SABE4x，根据CE2BE，可得SBOE:S四边形OECD15．【详解】解：如下图所示，连接OCSBOExSCODyDACEBCCE2BESAODSCODy，SCOE2xSACESAODSCODSCOE2x2y，DAC的中点，SABDSCBDSAOBSAODSBOCSSAOBy3xySAOB3xSABESBOESAOB4x，EBCCE2BE，S

1

ACE4x12x2yy3xS四边形OECDSCOESCOD2xy2x3x5xSBOES四边形OECDx5x15BD是VABCEFBDCE的中点，若△AEF6，则VABC S△ACF6，进而求出SACE12，再根据三角形中线的定义得SADESCDE6SABESBCE6，最后根据SABCSABESACFSBCESAEFF是CE∴SAEFSACF6∴SACESAEFSACF12DAC∴SADESCDE6EBD∴SABESADESBCESCDE6∴SABCSABESACFSBCESAEF6424AP1为VABCAP2为AP1CAP3为AP2C的中线，LAPn为 cm若VABC的面积为64，则AP5C的面积 根据三角形的中线性质，可得AP1C32，AP2C16【详解】解：（1）AP1为VABC∵AB12cm，AC16cm（2）AP1为VABCS

1

32

1S

16SS

11S

84∴S

1

2在VABCABACDBCADDEABEDFACFBGAC于点G1DEDFBG小明是这样证明的：SABC SACD1ACBG1ABDE ABAC 如图1，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关 2DBCDEDFBG【答案】(1)BGDEDF； ；1ACDF；BGDE BGDEBGDFDBC1ABDE1ACDFABACDEDFBGDE 【详解】（1）BGDEDF

S△ABCS△ABDS△1ACBG1ABDE1AC ABAC∴BGDEDF解：DBC∴SABD=S1ABDE1ACDF ABACBGDEDFBG2DEDEBGDFQSVABDSVABCSVACD1ABDE1ACBG1AC ABAC∴DEBGDFABC，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．1AO3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出