2026年八年级数学华师版预习讲义 第07讲 因式分解

07教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：13大核心考点精准练思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握知识点1因式分解的定义x+1x−1，是将多项式x2−1转化为两个整式x+1与x−1的乘积形式。知识点2因式分解的方法6x3y9x2y2693x最低次幂是x2，yy，3x2y。步骤：先找出公因式，再用原多项式除以公因式确定另一个因式。如6x3y?9x2y2=3x2y2x?3y。若多项式第一项有负号，先提取负号。1/PAGEPAGE10/逆用平方差公式：a2−b2=a+ba−b。适用于二项式，且两项都能写成平方形式，符号相反。例如4x2?9=2x2?32=2x+32x?3。逆用完全平方公式：a2+2ab+b2=a+b2，a2?2ab+b2=a?b2。用于三项式，其中两项是平方项，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。比如x2+6x+9=x2+2×3×x+32=x+32。逆用立方和公式（拓展）：a3+b3=a+ba2?ab+b2。逆用立方差公式（拓展）：a3?b3=a?ba2+ab+b2。分组后提公因式：如ab+a+b+1=ab+a+b+1=ab+1+b+1=a+1b+1，将多项式合分组后运用公式：例如a2?2ab+b2?1=a2?2ab+b2?1=a?b2?1=a?b+1a?b?1，先分组让部分可十字相乘法：对于二次三项式x2+p+qx+pq，可分解为x+px+q。即将常数项pq拆成两个pqx25x662323=5（一次项系数），则x2+5x+6=x+2x+3。知识点3因式分解的一般步骤1（11.53 −2（11.563（11.57=x+22+4（11.58 = = = =b的表达式，利用平方的性质求解最1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是2m和mm1的公因式的是（ D．m2m和mm1的公因式的是m，2．（24-25八年级上·福建福州·期末）把多项式2ab4ab2分解因式，应提取的公因式是 2ab4ab22ab12b∴应提取的公因式是2ab，B．3．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式6ab2x3a2by12a2b2的公因式是（

故多项式6ab2x3a2by12a2b2的公因式是3ab，4．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）6x3y2z和4x2z的公因式 【答案】【答案】2x26x3y2z和4x2z的公因式是2x2z，2x2z．5．（24-25八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解2x2xy时，应提取的公因式是（

D．2【详解】解：用提公因式法分解因式2x2xyx，6．（2023·广西·中考真题）分解因式：x25x x25xx(x5，故答案为xx5． A．xyabC．xyab

B．xyabD．xyab将axybyxcxy变形为axybxycxyaxybxycxyxyabcxyabc8．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知ab23，则abab3b的值 【答案】【答案】【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子中括号内的式子提出公因式b得到ab2ab21，据ab23abab3bab2ab213316，6．9．（2017·山东济宁·一模）因式分解：a2a 【答案】【答案】aaa2aaa110．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：x22x 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（x2

y2

x2

x4式的结构特征：a2b2abab，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可．【详解】解：Ax2y2xyxyBy2x2yxyxDx4y2x2y2x2y2x2y2xyxy，故选项不符合题意；12．（24-25八年级上·山东泰安·期末）x2y2y2x2x2y2x2x1x22x4x214x中，能用公式法分解因式的 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握a2b2abab)、a22abb2ab)2是解答本x2y2y2x2xyxyx2y2x2x x 12x22x1x22x1x124x214x2x12，能用公式法分解因式；13．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（A．a2b

B．5m2

C．x2

D．x2【详解】解：A、a2b2a2b2B、5m220mn5mm4nC、x2y2x2y2D、x2932x23x3x，应用平方差公式分解因式，符合题意，14．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）4x2y24x2y2a22abb2x1 m2n244mn，其中能用公式法分解因式的是（ 4x2y24x2y24x2y22xy2xya22abb2 x x2 2综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤．15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（A．a2b

B．m2

C．x2

D．x2x【详解】解：A.a2b2a2b2B.m24m2m2C.x2y2D.D.x2x x 1216．（2013·江苏泰州·二模）分解因式：x216y2 【答案】【答案】x4yx4yx216y2x24y)2x4yx4y)，(x4y)(x4y)． 【答案】【答案】5x525x25x5x．5x5x．18．（24-25七年级下·浙江·期中）分解因式：x21 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，掌握a2b2abab是解题的关键．19．（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式：a2m29 【答案】【答案】am3ama2m29am232am3am3，am3am3．20．（2020·江苏镇江·中考真题）分解因式：9m21 21．（2017·江苏无锡·二模）因式分解：x24x4 【答案】【答案】xx24x4x22，x2222．（24-25八年级上·山东东营·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（4x2

4x24x

x2x

x2xy两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．)Cx2x x 12Dx2xyy223．（24-25八年级上·吉林长春·期末）xy24xy【答案】【答案】xy【分析】本题主要考查了利用完全平方公式分解因式，先把xy2展开，然后合并同类项再根据完全平方xy2x22xyy24x22xyxy224．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）x2x41【答案】【答案】xx22x4x8x26xx22x4x8x26x

【详解】解：(x2y2x24xy4y2xa2x22xa3a2，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项x22xa3a2中先加上一项a2x22xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不x24xy5y2x210xy9y2x214xy32y2【答案】【答案】(1x5yxyx16yx2yx24xy4y29y2，再利用平方差公式进行因式分解即x210xy25y216y2，再利用平方差公式进行因式分（（3）x214xy49y281y2，再利用平方差公式进行因式分【详解】（1）x24xy5x24xy4y29x2y29x5yxyx210xy25y2x5y216x214xy32x214xy49y2x7y2足qmnpmnx2pxq因式分解成xmxn，②x24x12x6x2解：将xy”xyA，则原式A22A1A12，再将“A”还原，得：原式xy12．1x2x2xy24xy3②分解因式：(m2)(m26)5(2)①xy1xy3；②m1m（2）Axy则原式A24A3A1A所以xy24xy3xy1xy3则原式BB6B26BB1B5所以原式m21m228．（17-18八年级下·四川成都·期末）因式分解：a24216a2 【答案】【答案】a22aa242a244aa24a22a22a22a2229．（24-25八年级上·广东广州·期中）将多项式x3x因式分解，结果 x3xxx21xx1x1a2ab3a26ab3b2(2)3a【详解】（1）解：原式aab（2）解：原式3a22abb23ab231．（2019·江苏徐州·二模）因式分解：4x24 4x244x214x1x132．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）因式分解：6x26 【答案】【答案】6x1x【详解】解：原式6x216x1x133．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）因式分解：x3x x3xxx21xx1x1．xx1x1．34．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）计算2202422025等于（

220241222024220242202411(1)1.9921.99(2)20132201320142【详解】（1）解：1.9921.991.991.991.993.98（2）2013220132013201312013201420142013201436．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）Aa2b22b1分解因式，然后当a2024，b2022a、b的值代入计算即可．Aa2b22ba2b22ba2bab1ab1；当a2024，b2022时，A202420221202420224047404737．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知ab3，bc5，则代数式acbcb2ab的值是 分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把acbcb2ab因acabbcabb∵ab3，bc5acbcb2ab3515，

1013210112202210132

【答案】【答案】【详解】解：原式101310111013101310131012故答案为：101239．（24-25八年级上·四川乐山·期末）x29x【答案】【答案】(x10)(xx29x(x10)(x1)40．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解：x22x35 x22xx25x7xx5x741．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料：x22x35分解因式，我们可以按下面的方法解答：x2xx3557x25x4x26x7(2)x1xx2pqxpq的分解因式的x2pqxpqxpxqx27x101，常数项1025725x27x10x2x5，因式分解：x28x15(2)a的所有可能的值是7找出所求满足乘积为8，相加为ax28x15x3x5；817187242422，即整数a的所有可能的值是：7，2．43（24-原式2a43ab6b2a23baa22【类比】（1）x2a2xa【挑战】（2）请用分组分解法将axa22abbxb2把原式化为axbxa22abb2【详解】解：（1）x2a2xxaxaxxaxa1（2）axa22abbxaxbxa22abb2xabaabxab 【答案】【答案】m1nmn2mn2mn2n2m1n2m1n245．（24-25七年级上·上海宝山·期末）a2b212b【答案】【答案】ab1aba2b21a2b22ba2bab1ab146．（24-25七年级上·上海松江·期末）9a23abb2【答案】【答案】3ab3ab【详解】解：原式9a2b23a47．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式amanbmbn分解因式，可以先把它进行x2y2xy已知ab3ac5，求式子acbca2abx36x211x6【答案】【答案】(1xyxy(3)x1x2x【详解】（1）x2y2xxyxyx（2）ab3，ac5acbca2caa515（3）x36x211xx3x25x25x6xx3x25x25x6xx1x25xx1x2x348．（24-25八年级上·山东济宁·期中）12中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）abaxababbxbaabaxbxaxbabaxbxx2axb1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是ax的长方形的面积长是bx的长方形的面积x2中，阴影部分的长为ax1中，阴影部分的面积大长方形的面积ax的长方形的面积长是bx的长方形的面积x的正方形的面积，1中阴影部分的面积abaxbxx22中阴影部分的面积axbabaxbxx2axbx，A的一个因式．老师给出了演算方法：x24xxx2x32x27xx324x27x4x2xxx2x32x27x2x32x2x2 x36x27x6x3x36x27x6x33x2mxnx1与另一个完全平方式，求m与nx3x23x2；x33x2mxnx1x24xm4nm4x33x2mxnx1与另一个完全平方式，得出m44m、n【详解】（1）x32x27x2x2x24xx32x27x2x2x2712x23xx3x36x27xx33x27x3x22x2xx36x27x6x24xmx33x2mxnx3x2x14x2mx4x2m4xm4xm∴x33x2mxnx1x24xm4，nm4x33x2mxnx1x24xm4∴m44∴m0，n450．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式a22abb2及a22abb2x22x3x22x14x124x12x12x3x例如：求代数式2x24x62x24x62x22x32x128x12x24x6有最小值8m24m5当a为何值时，多项式2a24a18【答案】【答案】(1m1m(2)当a12a24a18根据阅读材料，先将m24m5变形为m24m49，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式利用配方法将2a24a18变形为2a1220【详解】（1）m24mm24m4m23m2m1m5（2）2a24a2a12202a12当a1时，多项式2a24a1851．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）20251月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影的数与最大的数的乘积记作m，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n，若mn30mn的值 【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为a，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为b，则ma264nb249，结合题意得出abab45，求出a23，b22，代入代数式计算即可得解．【详解】解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为a，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为bma264，nb249∵mn30∴a264b24930∴a2b245∴abab45∵a9，b8∴ab45，ab∴a23，b22mna264b2492326422249900，故答案为：900．52．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（a22abb21(ab)2

2x22x2x211 x(x2)(x2)x2

x41x21(x1)(x53．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（A．mabmaC．3x23x13xx1

B．a2bab2aba【详解】解：A、mabmamba2bab2abab3x23x13xx11x1x1x21是乘法运算，故不符合题意；x23x1x(x3)C．x22xx(x

(x2)(x2)x2D．x26x9(x【详解】解：Ax23x1x(x31，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，(x2)(x2)x24，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合x26x9x3)2，故原选项计算错误，故此项不符合题意． C．a22a4a2

B．a2a1aa1D．a29a3aa22a4a22Ca29a3a3D符合题意；56．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式x22m1x9可分解因式为x32的形式，则m的值 【答案】【答案】的结构特征是解题的关键．由题意得x22m1x9x26x9，按照系数对应，即可求解．x22m1x9x32x26x9m2，2．x25x6可分解为x2xaa若二次三项式2x2bx5可分解为2x1xcb、c【答案】【答案】(1a(2)b9，c【详解】（1）解：x2xa=x2a2)x2ax25x6a25a3（2）解：2x1xc2x22c1)xc2x2bx52c1bc解得c5b58．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式a2man可因式分解为a4a5，则m（

【分析】本题考查了因式分解，先得出a4a5a2a20，结合多项式a2mana4a5，列式a2mana2a20a4a5a25a4a20a2a20∵多项式a2man可因式分解为a4a5∴a2mana2a20m1,n20，59．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式2x23xm能分解成两个因式的积，且其中一个因式为x2，则m的值为 【答案】【答案】22232m0【详解】解：∵多项式2x23xmx2∴22232m0∴m2【答案】x2mx3xpxqpq3mpq，根m、p，q【答案】x2mx3xpxqpq3mpq，根m、p，qm的值即可．x2mx3xpxpq3mpqp1q3p1q3，则m132或m132，2．（ 利用矩形的面积和周长公式求出代数式ab和ab142ab14，所以ab7，10ab10，∴a2baba将ab7ab10代入上式得原式1072．（21-22八年级上·重庆江津·期末）已知mn3，则m2n26n的值是（ 代入代入mn3可得所求式子3mn∴m2n2mnmn3mn=3m+3n-3mn393．（24-25八年级上·福建泉州·期中）xy2xy4x2yxy2的值是（ xy因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解．xy2xy4x2yxy2xyxy248．4．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（x2xyxx(xyx24(x4)(x

x22x4(xD．2a(bc)(bc)(bc)(2a【详解】解：Ax2xyxxxy1)x22x4x24x2)(x2)2a(bcbc)(bc)(2a1)，结果正确，故此选项符合题意：5．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（A．x23x2xx3 B．4x294x34xC．a22a1a

a22a1a1)2Cx25x6x2x3D正确，符合题意．(x1)(x

xx22x

x24x

2x34x2【详解】解：根据题意可得，这些鸡米花的数量可能是x1x3x22x3xx22x3或2x34x26x2xx22x3，不可能是x24x3，7．（24-25八年级上·北京·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（acab1acbC．mnmnm2

bxybxD．a22abb2a8．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）a，b，c是三角形的三边长，那么代数式a2b22abc2的值是（） a2b22abab2∴acb0，a(bc)0a22abc2b20，即a22abc2b2的值是负数．9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知a2015x2016b2015x2017c2015x2015，则多项式a2b2c2abbcac的值为（）完全平方公式分解因式，可得：原式1ab2完全平方公式分解因式，可得：原式1ab21ac21bc2，把a、b、ca2b2c2abbc1a21b21c21a21b21c2abbc 1a22abb21a22acc21b2bcc21ab21ac21bc2当a2015x2016b2015x2017c2015x2015原式1ab21ac21bca2abb2a2acc2bbcc21121121111 110．（24-25八年级上·四川乐山·期末）若a、b、cab1a2abacbc11，则bc（ 首先得出ab1，然后将a2abacbc11左边因式分解为abac11abac②①ab∴ab∵a2abacbc∴abaca、b、cab∴ac11．（20-21九年级下·浙江·期末）因式分解：3a212 【答案】【答案】3a2a3a23a23a2a212．（24-25八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”x4y4(xy)(xyx2y2x9y9，则各个因式的值是：xy18，xy0,x2y2162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式4x3xy2，取x10,y5时，用上述方法产生的密码是 根据4x3xy2x2xy2xyx2xy2xy或2xyx2xy或2xy2xyx2xyx2xy或2xy2xyxx10y5【详解】解：4x3xy2x2xy2xyx2xy2xy或2xyx2xy或2xy2xyx2xyx2xy或2xy2xyxx10y52xy252xy15六位数密码为102515或101525或251015或251510或151025或152510故答案为：102515（或101525或251015或251510或151025或15251013（24-25八年级上·江苏南通·期末x22024x2025xabx时，该多项式的值为a，若ab，则ab的值 解题关键．先根据多项式的值可得a22024a2025bb22024b2025a，再将两个等式相减可得a2b22023ab0，利用因式分解可得abab20230，然后根据ab0即可得．xax22024x2025的值为b，当xb时，该多项式的值为a∴a22024a2025b①，b22024b2025aa2b22024a2024bba，即a2b22023ab0∴abab2023ab0ab，即ab0∴ab20230ab2023，14．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）若xy4，xy1，则x2yxy2的值 xy4xy1【详解】解：x2yxy2xyxyxy4xy1原式142 15．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）因式分解：x2y6xy9y y，然后运用完全平方公式因式分解即可．x2y6xy9yx26xyx26x32yx323mx23my26mxy16a419xy26xy81ab225ab2【答案】【答案】(13m(xy(4a21)(2a1)(2a(3x3y4(7a2b)(2a【详解】（1）3mx23my23m(x22xyy3m(x16a4(4a2)2(4a21)(4a29xy26