2026年八年级数学华师版预习讲义 第05讲 乘法公式

05教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：七大核心考点精准练思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握知识点1平方差公式(ab)(ab)a2b.位置变化：如(ab)(ba系数变化：如(3x5y)(3x5指数变化：如(m3n2)(m3n2符号变化：如(ab)(a增项变化：如(mnp)(mn增因式变化：如(ab)(ab)(a2b2)(a4b41/PAGEPAGE10/a和b知识点2完全平方公式2倍，二者也仅有一个“符号”不同．（a2和b2中间项为乘积的±2（2ab知识点31（11.368【答案设两个连续奇数分别为2n?1和2n+1（n为整数则2n+12?2n?12=2n+1+2n?12n+1?2n1=8n，因为n是整数，所以两个连续奇数的平方差一定是8的倍数2n+12−2n−1 [2n+1+2n−1][2n+1−2n−1a=2n1，b=2n?1

2n+1+2n−12n+1−2n+ 4n×

n8n8的倍数。关键在于合理设出两个连续奇数，再运用平2（11.37已知a+b=4，ab=3，求下列各式的值：(1)a2+b2；(2)a−b2【答案】(110(24【解析(1)题：根据完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2，变形可得a2+b2=a+b2?2ab。已知a+b=4，ab=3，将其代入上式得：a2+b2=42−2×3=16−6=10(2)题：根据完全平方公式a?b2=a2?2ab+b2=a2+2ab+b2?4ab=a+b2?4ab。把a+b=4，ab=3代入可得：a−b2=42−4×3=16−12=4。ababa、b式子的值。关键是联想到完全平方公式，并3（11.38若多项式1x2ax4a的值【答案】a【解析对于完全平方式mx±n2=m2x2±2mnx+n2在多项式1x2+ax+4中m2x2=1x2则m=±1n2= n2ax2mnxm1，n2时，ax212x2x，a2m1，n2时，ax21 ×−

×− 2x=2x，a=2a2a的值。关键是掌握完全平方式的结构特征，将给定多项式a。1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（①2mm2；②x5x5；③aba B．1 ababa2b2，解题的关键是掌握平方差公式的特点：①左边是两减去相反项的平方）；③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式．据此分析即可作出判断．2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）202322022202420232202220232202312023202322023220232202323．（22-23八年级上·福建泉州·期末）已知a2b212，ab2，则ab 【答案】【答案】a2b2ababa2b212ab2ab6，（2122124128121221241282121221241282212212412824124128281282161(1)212212412812161(2)313213413813161．【答案】【答案】(1232 -【详解】（1）212212412812162212212412812162412412812162812812162161216232313132134138131613213213413813161=(316-1)(316+1)´ - 5（24-察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（）A．ab2a22abC．ababa2

B．aaba2D．ab2a22ab【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为abab，第二个图形的面积为a2b2，∴ababa2b224，点G、CD在同一直线上，阴影部分的面积为S，则2S（ CGCGaba2b2241ADCG1DECG∴CGab∴a2b2241ADCG1DE1ADDECG1aba1a2b212 应用：利用“平方差公式”计算19492拓展：运用平方差公式计算(21)22124128 210121将原式变形成(21)(212212412812101211【详解】（1）解：图①验证了等式(ab)(aba2b2，图②验证了等式(ab)2ab)24ab，解：解：1949219492194921949219492(2122124128210121(21)(21)221241281210121221221241281210121241241281210121220241220248．（24-25八年级上·广西南宁·期中）1ab1中的阴影部分拼成一个长方形（2所示） 如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 ①已知4m2n2122mn4，求2mn2024220222026【答案】【答案】(1a2(2)abaa2b2abab（1）【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是a2b2，故答案为：a2b2；解：它的宽是ab，长是ab，面积是abab解：由图1、图2a2b2abab，故答案为：a2b2abab；∴2mn2mn12∵2mn4∴42mn12∴2mn3②20242202220242202422024220242202422220242202422249．（24-25八年级上·四川乐山·期末）运用完全平方公式计算39.62的最佳选择是 38

40

50B．(400.4)24022400.40.42C．(309.6)2302230D．(5010.4)250225010.4210．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知2024a2a202527，则代数式2024aa2025值是（

2024a2a202527∴1722024aa2024aa20251723，11．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）a，b1a222bab，则a2b2 a 1a222bab1a22a22abb21a2abb21a22a40 a ∴1ab0，1a20∴a4，b2a2b2422220．12．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）运用完全平方公式(ab)2a22abb2计算x

1，则公式中的2ab是（A．1 ∴公式中的∴公式中的2ab 2 1 x22x x2x 1【分析】本题考查完全平方公式的应用，将x 展开即可得公式中的2ab代表的是13．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算：2024240482025202521 【答案】【答案】202424048202520252202422202420252025220242025212014．（21-22七年级下·江苏宿迁·期末）已知mn5，mn3，则m2mnn2的值 【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子m2mnn2变形为(mn)23mn．根据mn5mn3，利用完全平方公式把式子m2mnn2变形，可以求得所求式【详解】解：mn5mn3m2mnm22mnn2(mn)2(5)23251615．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若ab3ab1，求a2b2的值．解：因为ab3ab1，所以ab29，即a2b22ab9，所以a2b27．若ab5，ab3，则a2b2 若ab217ab213，求a2b2x13x4

【详解】（【详解】（1）解：ab5ab3ab225，2ab6a22abb225，即a26b225a2b231，（2）ab217，ab213ab2ab230a22abb2a22abb230a2b215x13∴x 3 1 x 1（3）两边平方得x 3，化简求出由题意得到ab2ab230，根据完全平方公式得出a22abb2a22abb230，化简即可∴x41119x412x2 1∴x2 112x21x212916．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知ab3ab1a2b2ab(2)ab根据完全平方公式得到a2b2ab22ab根据完全平方公式得到ab2ab24ab【详解】（1）解：ab3ab1a232911（2）ab3，ab1aab232913ab1317．（22-23八年级上·福建厦门·期中）xy3xy1x2y2求xy2xy3xy1x2y2xy22xyxy3xy1代入xy2xy24xy【详解】（1）xy3xy1∴x2y2xy22xy9219211（2）xy3xy1∴xy2xy24xy941941318．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图①是一个长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分由图②可以直接写出ab2，ab2，ab之间的一个等量关系式 根据（1）3x2y8xy2，求3x2y【答案】(1ab2ab2【答案】(1ab2ab2(3)利用（1）中关系式得到3x2y23x2y224xyxy3DGBExy3，进而根据已知条件得到2xy36，则xy281xy913x13y3xy27 ab2ab24ab∴ab2ab24abab2ab24ab∴3x2y23x2y224xy∵3x2y8，xy2∴3x2y282242644816∴3x2y4∴xy3，DGBExy3∴xy29∴x22xyy2∵x2y245∴2xy45936∴x22xyy2453681∴xy2∵x0，y0∴xy9ab2a22abb2根据题意可知a2b2ab2x4x2x24x2将两块全等的特制直角三角板VAOB

点A，O，DB，O，CAC，BDAD12，S△AOCS△BOD40求其中一块直角三角板AOBx2y2802xy(xy)2x2y2641x21y240 △ 2xyxy)2x2y264【详解】解：（1）ab2a22aba2b2ab22ab，2ab；（2）∵x4x2∴x24xx4x22x4x16212故答案为：12AOCO，BODO，AOBCODAOC180COD90BODAOC90．AOCOxBODOy．ADAOODxy12 1x21y240x2y280△ （3）AOCOxBODOyx4x2看成ab2，进而根据a2b2ab22abxy32 1OAOB1xy1620．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等1所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材2 ①已知mn7,mn6则，mn2②已知4x5x6，求92x2ABCDAEFG3xyx2y234BE2.求图中阴影部分面①利用（1）中结论进行求解即可；②令a4x,b5x，进而得到ab1ab6，利用（1）中结论求出ab2即可；【详解】（1）mn2mn24mn；故答案为：mn2mn24mn（2）①∵mn7,mn6∴mn2mn24mn724625②令②令a4x,b5xab4x5x1ab6∵ab2ab24ab∴1ab246∴ab2254x5x292x225（3）ABADCDxAEAGy∴BEDGxy2∴xy24x2y22xy∵x2y234∴xy2x2y22xy64∵xy0∴xy81CDDG1EF1x21yxy821．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，某中学校园内有一个长为(4ab米，宽为(3ab米的长方当a2,b3)12a27abb2a22abb211a25ab（2）解：当a2,b3时，11a25ab112252374．所以绿化的面积为74平方米．22．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若x2m1x4是一个完全平方式，则m的值等 【答案】【答案】5或故不要漏掉答案．根据完全平方公式的特征判断即可得到m的值．x2(m1)x4m14m5或3故答案为：5或3“4x2●25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能 【答案】【答案】20xy或【分析】本题考查完全平方公式，由完全平方公式ab2a22abb24x2●25y22x2●5y22x5y2【详解】解：由完全平方公式ab2a22abb24x2●25y22x2●5y22x5y24x220xy25y2墨迹覆盖的这一项及其符号可能是20xy，也可能是20xy，20xy或20xy．24．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）x22m1x16通过变形可以可成xn2m 【答案】【答案】3【分析】本题考查了完全平方公式ab2a22abb2x22m1x16x42x22m1x16通过变形可以可成xn2∴∴x22m1x16x42∴x22m1x16x28x162m18或2m18，解得m3或m5，25．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若a2ka9是一个完全平方式，则常数k 【答案】【答案】ab2a22abb2是解题的关键．a2ka9∴a2ka9a32a26a9∴k626．（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知4y2my9是完全平方式，则m 【答案】【答案】m的值．【详解】4y2my94y2my9(2y3)24y212y9m12 ，图②中长方形ABCD的面积 a2当ab

a2

ab

已知m0n1m(n1)9，利用（1）发现的结论求m2n22n1【答案】（【答案】（1）（ⅰ）1a21b2ab；（ⅱ）（ⅲ）见详解甲同学：当ab1a21b2ab当aba2ab（ⅲ）当aba2ab甲同学：当aba2a2abaaa2a 当aba2ab当aba2ab（2）m2n22nm2n12，mn1m2nm2n1218m2n22n1的最小值为1828．（23-24七年级下·福建漳州·期中）1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四2的形状拼成一个正方形．请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1： 请写出代数式：mn2,mn2，mn之间的等量关系 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知ab3ab是负整数，求(ab)2【答案】【答案】(1mn2mn24mnmn2mn24mn(22mnmn2m23mnn2(3ab215（长为的2mnmn的面积是2mnmn由（1）ab2ab24ab，结合ab2：大正方形边长为mn，面积是：mn2mn的长方形的面积是4mn，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为mn24mn，12均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即mn2mn24mn，mn2mn24mnmn2mn24mn；方法一是大长方形（长为的2mn，宽为mn）的面积是2mnmn积即3mn，1n的正方形的面积n22m23mnn2，方法一和方法二的计算结∴2mnmn2m23mnn2由（1）ab2ab24ab∵ab3∴32ab24abab2∴ab 0ab29且ab294∴当a

ab2 111时 ab2 5当a

5时，ab ab2129．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀 观察图②，试写出mn2，mn2，mn这三个代数式之间的等量关 根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若ab6ab5，则求ab2(mn)2，(mn)2(mn)2(mn)2方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为(mn的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；将(ab)2(ab)24ab【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为(mn的正方形，mn；方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为(mn)2方法二：从边长为(mn的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即为阴影部分的面积，即(mn)24mn；(mn)2(mn)24mn由（2）(mn)2mn)24mn；mn2mn24mn；(ab)2(ab)24abab6，ab5(ab)23624516方法1：；方法2：；mn2mn2mnab3ab2ab2 2 ②已知：a1，求：a

方法1mn24mn，ab3ab2∴ab2ab24ab32421②aa4a 1289 2 2aa拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 4a29b212ab2a3b212块，

a2b218a则c的取值范围是（c

c

2c

3ca12b320a、b的值，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任【详解】解：∵a12b21812b∴a12b212b180∴a12b26b90∴a12b320∵a12b320∴a12b320∴a10，b3∵bacab312c314，2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）A，B会议室都是a米，b米，其中ab．关于甲、乙的结论，下列判断正确的是（）甲：阴影部分的面积为2ab16 【详解】解：对于甲：阴影部分的面积为ab2a2b2a22abb2a2b22ab平方米；a2b2ab2a2b24a2b22ab4，整理得ab24ab2或ab2（舍去∴BA4a4b4(ab428（米），3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（A．(a1)(aC．(ab)(a

B．(ab)(bD．(ab)(a【详解】解：A、(a1)(a11a1a1a2(ab)(bababab2a2(ab)(aba2b2，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；4．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）下列各式中，运算正确的是（A．2a33C．2ab24a2

B．a23a3D．2ab2ab4a2a23a6a32a6，所以a23a322ab24a24abb22ab2abb2ab2ab24a2，则此项错误，不符合题意；5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）下列各运算中，正确的是（3a2aC．a4a2

3a32D．a22a2B.3a3232a329a6Ca4a2a42a2D.a22a24a4，故该项错误，不符合题意；6．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）x2mx9m的值为（

【分析】本题考查完全平方公式，根据(ab)2a22abb2∴x2mx9x26x方形ab，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（）A．a2b2abaC．ab2a22ab

B．a2b22abaD．ab2ab2第1个图中面积为：a2b2，因此有a2b2abab，

根据完全平方式的特点得到m22510 【详解】解：整式x210xmm22510 9．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）20232202522阳阳看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则阳阳说出的正确答案是（

根据题意，将分母变形为2024122024122202322025220241220241220242220241202422202411故选：B10．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）a2b2aC．ab2a22ab

ab2a22abD．a2b2aba1阴影部分的面积为a2b2所以a2b2abab11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）利用完全平方公式，将多项式x2bxc变形为(xm)2n的形式，然后由(xm)20，就可以求出多项式x2bxc的最小值为n．例如：求多项式x22x2的最小值，解：x22x2x22x11(x1)21(x1)20(x1)211当(x1)20时，(x1)21的最小值为1多项式x22x2的最小值为1．根据上述方法，多项式x26x15的最小值为 x26x15x26x9915x3)266，当(x3)20(x3)26的最小值为6，x26x15的最小值为6

adbc

x

xx

17，则x 【答案】【答案】 adbcx xx x17即：8x16，13．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若4x24xm是一个完全平方式，则m 【答案】【答案】4x24xm∴4x24xm2x222x112m121，mn1，那么称这个正整数为“智慧数”．例如165232，16就是一个“智慧数”m2n2mnmn进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第20个“智 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式m2n2mnmn，找到m，n之间的关系，列举出结果，进而即可求解．∴mnmn2，当mn2时，由n22n24n4产生的“智慧数”64，68，72，76，80，L，当mn3时，由n32n26n9产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，L当mn4由由n42n28n16产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，L，当mn5时，由n52n210n25产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，L，当mn6时，由n62n212n36产生的“智慧数”为：48，60，72，84，L，当mn7时，由n72n214n49产生的“智慧数”为：63，77，91，L，当mn8时，由n82n216n64产生的“智慧数”为：80，96，L39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，L3个“智慧数”是15，第20个“智慧数”是52， 3变形为221，反复利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：原式22122124 232124124 23212321232126411212224238241625322，4，8，664416264即3221241281 【答案】【答案】4y【详解】解；原式y24y23yyy24y23yy4y7【答案】【答案】4b2ab【详解】2ba2baaa4b2a2a24b2∵a1，b∴原式4b2ab41211318．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）阅读理解：已知ab5ab