浙江杭州学军中学2026年高二下学期数学期末考试试卷

A.{x∣-2<x< B.x∣-2≤x≤2 C.{x∣-2<x≤ D.{x∣-3<x<若复数z=i+i2+i3+⋯+i2026(其中i为虚数单位)则z的共轭复数的虚部是 A. B.- C. D.- 已知△ABC的外接圆圆心为O且AO=AB+AC则BA在BC上的投影向量为 A.1

1

1

12sinπ-

B.-21cosπ

C.4=

D.-4

-

-yx2P(xm)2y21Q

PQ=

mA.- B.3

C.-3

D.某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明小红小强三个员工要求每个员工都有拿到面包则小明最终拿到偶数个面包的情况有( A.180 B.210 C.240 D.360ABCD2，PABCDPBABCDα

设函数f(x的定义域为D若存在实数T(T>0)使得对于任意x∈D都有f(x<f(x+T称f(xT-T-①“T严格增函数”f(xD②“T-严格增函数”f(xnT-严格增函数”(其中n∈N*且n≥③函数f(x=xT严格增函数”(xx的最大整数④函数f(x=x-xT-严格增函数”(其中xx的最大整数其中正确的结论个数有 A.1 B.2 C.3 D.4已知椭圆x2+y2=1F，FB，BA,P,Q

除顶点外的关于原点对称的两点则下列四点可能共圆的是 A. B. C. D.如图在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⎳CD,AB⊥BC,AB=2CD=2,BC=CC1 CC1中点.过AA1作与平面BDD1B1平行的平面α若α∩平面A1BD=l1,α∩平面A1BC1=l2 A1,B,M,D1l1,l2四面体A1BC1D与四面体AB1CD1的公共部分的体积为已知数列an是公比为q的等比数列且a1>0则下列叙述中正确 a1a4a2a3qa2lna1lna3q<2a3eaeaq1a4)1,2,6,8,9,m这组数据的40%m 已知

-2x的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等则常数项为 已知函数f

xlnx

y=f

在直线y=

m取值范围 四解答题已知函数f

=sinx-

my=f

1平移π

yg(xπ

m的值；△ABCg

l =3+3tanAtanB的取值范围PABCDABCDABAD=CD1,BCPC求PD的长；若PB=3求平面PAB与平面PCD31211已知在单局比赛1求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望E(X

Γx2+

=1(a>b>

A-2

e 已知椭圆：

左顶 ，离心

2，为第一象限内椭圆上一B作椭圆的切线交直线x=-2于点Γ的标准方程；过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为CAC交BO延长线于点M△PAC，△MBC，△PMC的面积分别为S△ACS△MBCS△PMC.3当S△PMC 时求直线AC3f(xalnxx2a2)xa当a<0f(x)的单调区间；(1f(xg(x=-x22x2已知导函数f

上存在零点,x∈(1,e)时，f(x)>-

【分析】先确定i满足关系i4n1i4n1ii4n21i4n3i，再证明i4n1i4n2i4n3i4n40，【详解】因为i21，所以i4i2212所以i4ni4n1i4n1i4n?iii4n21i4n3i，所以i4n1i4n2i4n3i4n4i1i10，zii2i3i2026202645062，zi2025i2026i1z1iz的共轭复数为1i，其虚部为1.OBOCABOCAOBCDDBCAOBC【详解】连接OB、OC AOABACABAOACCOAB//OCABOC OBOCABOCAOBCDDBCAOBC BABCBD2BC，πt，则πtsint

1 cos2tcosπ2tcos2t2sin2t121

3 PxyQxyPQxxyy10，xx1,yy，又𝑃yx2上，yx12x3，即点Qyx3圆(xm)2y21，圆心为m,0，半径为m又点Q在圆(xm)2y21上，即直线yx3与圆有公共点，所以圆心到直线yxm解得3 m3 ，故m的最大值为3 24个面包，运用排列 4 2个面包，则有C2C1A2C21514 4 4个面包，则有C4A230 故小明最终拿到偶数个面包的情况有21030240种，PAPC23时点𝑃的轨迹是一个椭球,tanPQ求解最值【详解】由题意知，点𝑃为动点，A、𝐶𝐶为定点，PAPC AC22由椭圆的定义知，点𝑃的轨迹是以A、𝐶𝐶为焦点，AC 为焦距，长轴为23的椭圆将此椭圆绕𝐴𝐴𝐶𝐶旋转一周，得到一个椭球，即点𝑃22而椭球面为一个椭圆，由2a2322

即a

3,c

2，得b

a2设点𝑃ABCD上的射影为Q，则tana2又0PQ1,0BQ ，且PQBQPQBQ时tan最大，即取到最大值π的周期函数，利用周期性并讨论T1、T0且T1判断【详解】①fxxx0x1,x存在T2xRfxfx2，但fxR上不单调递增，错误．②fx是＂T严格增函数＂，存在T0xDfxfxT，因为n2,T0fxTfxnTfxfxnT，即存在实数nT0xDfxfxnTfxnT③fxxR，当T1xR，都有xx1，fxfx1fxx，＂T严格增函数＂，正确．④fxxxfx1x1x1x1x1xxfxfx1f1111 若T1f11331f1

2fx1，故不妨设0Tfxf1T1T01TfxfxT，矛盾；fxxx不是＂T严格增函数＂，正确．【分析】结合椭圆的几何性质，可判定A正确，Bx2y2DxEyF0

30)代入求得

P(x0y0),Q(x0y0CF3DP(

2)PB1B2圆的方程，可判定D正确a2a2

y21，可得a2b1

c

对于A，由cbF1F24个交点，所以A正确；对于BB1,B2B错误；对于Cx2y2DxEyF0

30)代入得

3Dx2y2Dx2

3D)y

3D30

(2

3D)

3D3Pxy，则Q(xy，则

x2y2Dx(23D)y3D3 x2y233DDx23D

0 (2(2联立方程组，可得x0 y0x24y24y2

3Dx24(2

3D)

4(2

(2(2

1(2将其代入x(2

y0，可

即(2

3D)(7D2

3D2)0C对于DPQ的斜率为kPQykxPQPQy1xA(20B(0,1ABy2x3 y联立方程组x24y2

1x2

4k2

4k2，可得x4k24k2PQ4k2

，则y 4k2y2x 4k2 k k 联立方程组

，可得x ,y

，即圆心O( , 2)y

1

1

1

1 4k2若OBOP，即( 0)2( 21)24k2

)2 2

4k24k2

1

1

13 (42k)(12k 4k2可得(2)2

)2

(12k

4k21 4k2 4k2 14

4k2

k1

4k2 1

4k21，所以

2k0，解 2PQ的斜率为1P(2,2Q(22 CCD.BBCBABB1xyzB(000C(200A(020D(2,10M(20,2A(02,2D(2,1,2 对于

21–––，即MDBADBA

(0,2,2),

2

对于BABCDABCDABBCAB2CD，则BADBCD90因此BADBCD180ABCDABCDA1B1C1D1没有外接球，B正确；对于C，//BDD1B1，A1BDl1BDD1B1A1BDBD，则l1BDA1C1B1D1E，连接𝐵𝐵𝐵𝐵，BDD1B1A1BC1BE，同理l2BE因此直线llBDBEB1EA1B12BE2BD1

312222

|BDBE 则 ,,2)，BE 2 |BD||BE直线l1l2所成的角不为60，C对于DBDACFAB1A1BGBC1B1CHCD1C1DIDA1D1AJ则点GHIJABCDA1B1C1D1GH//AC//IJ,GH1

IJ，四边形GHIJ1 21A1C1平面GHIJA1C1//平面GHIJB1D1//平面GHIJA1C1B1D1EA1C1B1D1A1B1C1D1，因此平面GHIJA1B1C1D1，同选项CBFB1E，BFB1EBB1EFFEBB1FEA1B1C1D1，FE平面GHIJ，四边形GHIJ的面积

1

112 32 EF132 1，D正确 【分析】根据等比数列通项列方程求解判断A，化简所给条件构造函数，利用导数研究函数的性质确定B，构造函数利用函数最值得到不等式，再由不等式求解判断C，构造函数，利用函数最值转化为不等D.【详解】对于A选项，数列an是公比为𝑞𝑞的等比数列，且a10若aaaa，则aaq3aqaq2 即1q3qq2q3q2q10q1)(q210，解得q1或q1A正确； 对于Balnalnalnaalna2q22lnaq2 若q0时，又a0，则a0f(x)2lnxxfx2 x2f(x0，当0x2f(x)0f(x)2lnxx在(02)上单调递增，在(2f(x)maxf(2)2ln220f(x)0a22lna2若q0时，又a0，则a0g(x2ln(xxgx2 x0g(x)0g(xg(e1)e120g(e)e20g(x)0有解，故a20q0，故B正确；对于C选项，构造h(xexx，则h(xex1，x0h(x)0x0h(x)0所以函数在(0)上单调递减，在(0上单调递增，所以hx)h(0)1，即exx，所以2aea1ea2aa，即2q2q10，解得q1或q1，故C 对于D选项，构造函数k(xlnxx1)(x0)，则kx)1当0x1k(x)0x1k(x)0所以函数在(0,1单调递增，在(1上单调递减，故k(xk(10，即lnxx1，所以a1a2a3lna1a2a3a4a1a2a3a41，则a41，因为0

1a4q31q1D正确【分析】根据百分位数的定义求出40%分位数，再根据平均数定义得到方程，求得m的值6个，且40%62.4所以这组数据的40%3则12689m6，解得m10故答案为：10【分析】根据题意，结合二项式系数性质得n6，再根据通项公式得r3时，展开式为常数项，再代 【详解】因为2x

35所以C2C4，根据组合数性质CmCnm易知n6 所以2x展开式的通项公式为 1

2x=Cr

r 6x 令2r60得r所以常数项为 C323208 ，e1 【分析】根据题意，即mfx在1f(x的最小值，即可得解 fx的定义域为0mfx在1 fxexlnx1，令rxfxexlnx1，则rxex12rx在0,上单调递增，r1 2且rx的图像在1,1 ∴x1,1rx0，即ex10xlnx

∴x1xrx 0 rx的最小值为rxexlnx11

1

110，fx0，fx在1

11上单调递增，mf1 1ln1 1ln2 即实数m的取值范围是，e1ln2 ，e1 15．(1)(2)423,（2）先得到Cπ【详解（1）fxsinxπ 6

的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变 ysin2xπm 6 gx

π π

π再向左平移个单位长度后得到

sin2x66msin2x6m xππ2xππ7π

6故当2xπ7πxπgx取得最小值，最小值为sin7πm1m 故1m1，解得m3 （2）gCsinCπ333，故sinCπ 32

6

6 因为ABC为锐角三角形，所以C0π，故Cππ2π 2

63 所以Cππ，解得Cπ 故tanAtanBsinAsinBsinAcosBsinBcoscos

cosAcos sin cosAcos5π cosAcos5πcosAsin5πsin 3cos23cos2AsinAcos

sin2Aπ 3 3sin2Aπ 3 π C0,

πB A0,

2Aππ，故2Aππ2π，故sin2Aπ332

33

3

2

π

3 tanAtanB

4sin2Aπ 3sin2A3sin2Aπ 3 所以tanAtanB的取值范围为423(2)（1）由线面垂直的判定定理证明CDPBD，进而得到CDPDPD即ABCDAAEBCEDDFBC于ABADCD1,BC2FC1，所以DCF60连接𝐵𝐵𝐵𝐵，在三角形BCD中，由余弦定理得：BD241221cos603，所以BD ，又BC2,CD1，所以BD2CD2BC2，BDCD，又CDPB,BD∩PBBBD,PBPBD，所以CDPBDPDPBD，所以CDPD，4因为PC2，所以PD 34所以BDP120，由于CDPBD

1223DDB,DCx,y轴的正方向，DDCzA3,

3 2,0,B3,0,0，C0,1,0,D0,0,0，P2,0,2 PAB的一个法向量为mxyz

13AB ,,0,AP3,,， 22 3x1yABm

，所以 APm

3x

yz0 令x1，则y3，z 所以m13,3，

3PCD的一个法向量为nabcDC0,10DP202 DCn

b ，所以3a3c0

令a3，则c1b0所以n3, 所以n3,PABPCD的夹角为2727

2117．(1)XEX（1）XX

PBCPBC （1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n2n5则前n1局不可能出现某人连胜2次（否则2连胜后比赛结束，故前n1局必定甲乙二人胜负交替，第一，比赛进行n局2n4，前n1局二人胜负交替，第n局与第n1局胜者相同，此人达成2连胜并获得冠军（其积分不超过3311011分第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成2X的可能取值为2341PX2PA1A2PA1A21

1

12 2 11

1

12 2 11

1

12 2 PX51PX2PX3PX411111 XEX2131415123

1

1

1 2 2 2 PBCPPBCPA1A2A3A4A52

1， 12345P， 123452

1PC PBCPBC 11故PPC|BC 1.

x22

PBCPBCPBC

711 (2)（i）证明见解析（ii）x23y2（1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求出ab，进而得到椭圆的标准方程（2（i

直线联立求出

2 m2

my myx 0

m24

P

x02求出

2

再根据面积条件列方程计算（1）由题意得a2离心率ec

，b

1

x2

a2（2（i）ACxmy代入到椭圆方程，化简得m24y24mya2

4mm2xmy

2 设Bx，y(x0，y0)联立直线AC，BO的方程 M

y0

my myxBPx0xyyACBP则m4y0.

0

m2yC2yMMAC中点.ACBP