八年级数学人教版 第13章 三角形(单元自测试卷)

.第13章三角形单元自测卷【新教材，人教版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（

）A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线3．若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．154．如图，下列说法错误的是（

）A．DF是△BDF的边 B．是的内角C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个5．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（

）A．16 B．20 C．16或20 D．126．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（

）A．过点作B．延长到，过点作C．过上一点作D．过上一点作7．如图，在△ABC中，，，是边，上两点，将△ABC沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，为△ABC的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则△ABC的面积为（

）A． B． C． D．9．如图，△ABC中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（

）个直角三角形．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个第Ⅱ卷填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作于点，，则______度．12．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为_____．13．如图，在△ABC中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________．14．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____．15．如图，在△ABC中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°．三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）已知、、是三角形的三边长．(1)化简；(2)用一条长的细绳围成一个等腰三角形，已知一条边长为，求这个三角形的三边长．17．（8分）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？（2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？（3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？18．（8分）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．19．（8分）如图，是△ABC的角平分线，在上取点，使．(1)求证：；(2)若，，求的度数．20．（8分）如图，，分别是的角平分线和高．(1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？(2)与有怎样的关系？为什么？21．（10分）【教材呈现】【问题回顾】(1)已知：如图1，在△ABC中，，，分别平分和，的度数是．(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由．(3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则．（用含的式子表示）【拓展与应用】(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则．22．（10分）【教材呈现】如图，在△ABC中，．，平分，平分，求的度数．解：平分（已知），，同理可得___________．（___________），（等式的性质）___________．(1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）．(2)【拓展延伸】如图1，在△ABC中，的平分线交于点，将△ABC沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数；(3)如图2，在△ABC中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______．23．（13分）综合与实践【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．【相关素材】在图2中，是△ABC的中线，与等底等高，面积相等，记作：．在图3中，若△ABC三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．【解决问题】(1)在图3中，若设，，，证明：．(2)利用（1）中的结论，证明：．(3)图4中，是△ABC的重心，点在△ABC的边、上，与交于点，，，，求的面积．.教辅资源，关注公众号★全科AA++PagePage第13章三角形单元自测卷【新教材，人教版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形，则图中的A表示等腰三角形．2．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（

）A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线【答案】A【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．3．若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．15【答案】C【分析】解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度．【详解】解：设三角形第三边的长度为，∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和，∴，即，对比选项，只有在该范围内，因此选C．4．如图，下列说法错误的是（

）A．DF是△BDF的边 B．是的内角C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个【答案】D【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答．根据三角形的内角和边判断即可．【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意；B、是的内角，说法正确，不符合题意；C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意；D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意；故选：D．5．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（

）A．16 B．20 C．16或20 D．12【答案】B【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可．【详解】解：根据题意，①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长；②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形；综上，则该三角形的周长是．6．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（

）A．过点作B．延长到，过点作C．过上一点作D．过上一点作【答案】D【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案．【详解】∵，∴，∵，∴，故A选项不符合题意，∵，∴，∵，∴，故B选项不符合题意，∵，，∴，，∴，∵，∴，故C选项不符合题意，∵，∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意．7．如图，在△ABC中，，，是边，上两点，将△ABC沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可.【详解】解：∵在中，，，∴，∵折叠，∴，∵，∴，∴，∴.8．如图，为△ABC的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则△ABC的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解．【详解】解：∵为的中线，的面积为，∴，∵为的中线，∴，，∴，∴．9．如图，△ABC中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（

）个直角三角形．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数．【详解】解：，是直角三角形，是延长线上一点，，是直角三角形，，，和都是直角三角形，综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个．10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误．【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且，，故正确；，，又，，，故正确；，，，，平分，故正确；，，，，设，是的余角的倍，，解得：，，在中，，，，故正确；平分，，由可知平分，，，故错误；综上所述，结论正确的个数是.故选：C．第Ⅱ卷填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作于点，，则______度．【答案】50【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数．【详解】解：平分，．，．，．12．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为_____．【答案】3【分析】根据三角形面积公式，利用得到，利用点、分别为、的中点得到，，所以阴影部分的面积．【详解】解：，，，点、分别为、的中点，，，，即阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________．【答案】/度【分析】首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可．【详解】解：∵平分，平分，∴，∵，，∴，∴．14．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____．【答案】【详解】解：由三角形的三边关系得到：，∴，∴．15．如图，在△ABC中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°．【答案】【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）已知、、是三角形的三边长．(1)化简；(2)用一条长的细绳围成一个等腰三角形，已知一条边长为，求这个三角形的三边长．【答案】(1)(2)．【分析】此题考查了三角形三边关系、等腰三角形的定义、整式的加减等知识，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．（1）根据三角形三边关系定理可得，，，再去绝对值符号，最后合并同类项即可；（2）根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系分情况进行解答即可．【详解】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴，，，∴；（5分）（2）若腰长为，则底边长为，此时，不能构成三角形，不符合题意；若底边长为，则腰长为，此时，能构成三角形，符合题意；此时这个三角形的三边长分别为．（10分）17．（8分）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？（2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？（3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？【答案】（1），理由见解析；（2）是直角三角形，理由见解析；（3），理由见解析【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．（）利用余角性质即可求解；（）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解；（）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：（1），理由如下：∵在中，，，∴，∴；（2分）（2）是直角三角形．∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形；（5分）（3）．∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．（8分）18．（8分）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．【答案】(1)；(2)证明：，，，，，平分交于，，，，．【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数；（2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知．【详解】（1）解：，，，平分交于，，；（4分）（2）略．（8分）19．（8分）如图，是△ABC的角平分线，在上取点，使．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理；（1）根据角平分线性质得到，根据，得到，求出，即可证出结论；（2）根据三角形内角和定理得到，根据，得到，根据角平分线得到，推出，即可求出．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴．（4分）（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（8分）20．（8分）如图，，分别是的角平分线和高．(1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？(2)与有怎样的关系？为什么？【答案】(1)，还可以求，，．(2)解：与的关系为．∵在中，，∵是角平分线，∴，∵是边上的高，∴，即，在中，，又∵，代入得：，∴与的关系为：．【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数．（2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可．【详解】（1）解：在中，，∵是的角平分线，∴，∵是边上的高，∴，即，在中，，∴，还可以求解，，的度数，在中，，∴，在中，．（4分）（2）略（8分）21．（10分）【教材呈现】【问题回顾】(1)已知：如图1，在△ABC中，，，分别平分和，的度数是．(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由．(3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则．（用含的式子表示）【拓展与应用】(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(4)【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果；（2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果；（3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果；（4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴，∵，分别平分和，∴，∴，∴；（2分）（2）解：，理由如下：∵平分，平分外角，∴，，∵是的外角，是的外角，∴，∴，即，∴；（4分）（3）解：∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴；（7分）（4）解：∵折叠，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，由（1）得：．（10分）22．（10分）【教材呈现】如图，在△ABC中，．，平分，平分，求的度数．解：平分（已知），，同理可得___________．（___________），（等式的性质）___________．(1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）．(2)【拓展延伸】如图1，在△ABC中，的平分线交于点，将△ABC沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数；(3)如图2，在△ABC中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______．【答案】(1)；三角形内角和定理；(2)(3)【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即