七年级数学上册专题提分精练代数式规律型：数字变化类（解析版）

专题13代数式规律型：数字变化类

1.观察F面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数

(II»-1,I>-1>I»-1,I,-/»1>>>…；

(2)1，-2，3，~4»5，~6»7»-8，，»»...;

,1I1I11

(3)~1，一，—一，—，——，一»——，，，，...•

234567---------------------------------

【解答】解：（1）1,T,1,T,1,一1,1,一/,

规律为第一个数是正1，第二个数时-1,一次类推，第奇数个数时1,第偶数个数时-1；

（2）1,-2,3,-4,5,-6，7,-8.

规律为第一个数是1,第二个数是-2,以此类推，第〃（奇数）是〃，第〃（偶数）为-〃,

（3）已知1,--,一！.--,...（-ir,-.

23456123456n

故答案为：（1）1：—1：1；

（2）9；-10；11

1

（3）-；

89lo-

2.（1）观察如图寻找规律，在“？”处填上的数字是一162；

（2）一组按规律排列的式子：-纥《，…（加工0）,其中第7个式子是

aaaa

第〃个式子是（〃为正整数）

【解答】解：（1）・.8=44-2+2,

14=8+4+2,

26=14+8+4,

48=26+14+8,

88=48+26+14,

...?=88+48+26=162.

（2）••,这一列数的分母〃的指数分别是1、2、3、4...,与这列数的项数相同,

.•.笫7个式了•的分母是第〃个式子的分母是a"；

・・•这一列数的分子少的指数分别是2、5、8、11,…，

即：第一个数是3xl-]=2,

第二个数是3x2-1=5,

第三个数是3x3-1=8,

第四个数是3x4—1=11,一，

二每个数都比项数的3倍少1,

第7个式子的分子是#7T=房），第〃个式子的分子是户1T:

/它们符号的规律是奇数项为负，偶数项为正，

/.第7个式子的符号为负.第〃个式子的符号为（T）".

.•.第7个式子是-勺，第〃个式子是（一1）"27.

力20力/3t-l

故答案为：(1)162：(2)一彳，(-ir—.

aa

3.观察下列各等式，并回答问题：

1.1111111111

---=],=----,=----9=---9..

1x2-------2-----2x323-----3x434-----4x545

(1)填空：=—!—=—(〃为整数);

4x545/?x(/?+1)

1111

（2）计算:------+---------1--------+-------+…+------

1x22x33x44x59x10

（3）计算:-------1----------1---------+...+

1x44x77x10---------97x100

111111

【解答】解：⑴=

4754-5〃x(〃+l)nn+1

__1_

故答案为：---

45n77+1

/八I।1,11111

(2)——+一+4-+・・・+=I-—+—+•+———=]------=—

1x22x33x44x59x10223349101010

3

1±_Xl__L33

-------1----------1---------+•••+)=x(1)=

1x44x77x1097x100971003100IOC

4.按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规

律?

”>xn­►—►x2>-2n^»+2〃T»答案

（I）填写表内空格:

输入X321•・・

~23

输出答案-1_-1_——・・・

(2)你发现的规律是

(3)用简要过程说明你发现的规律的正确性.

【解答】解：(1)根据程序计算得，

2(2X2-2)-2X22+2X2-1=4-8+4-1=-1：

吗吗一*2X*+2吗一-状+＞一

故答案为：—1,—1»—1；

(2)发现的规律是输入如何数的结果都是-1,

故答案为：输入如何数的结果都是-1；

(3)一〃)一2，『+2〃一1

=2n2-In-2n~+2〃-1

=—1.

5.若〃表示一个整数，我们可以用2〃+1表示一个奇数.下面我们来探究连续奇数的和的问

题.

(1)计算：1+3+5=9；1+3+5+7+9=；

(2)请用含〃的代数式表示1+3+5+7+9±..+(2〃+1)的值为；

(3)请用上述规律计算41+43+45+…+83+85的值.

【解答】解：(1)1+3+5=9；1+3+5+7+9=25；

故答案为：9；25；

(2)1+3+5+7+9+...+(2=+1)=产(2"+1)『或5+1『；

2

故答案为：+或(〃+1)2；

(3)原式=1+3+5+...+85—(1+3+5+...+39)

吓-(用

=432-202

=1849-400

=1449.

6.如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题:

(1)在A处的数是正数这是负数？

(2)负数排在A,B,C,。中的什么位置？

(3)第2020个数排在对应于A,B,C,。中的什么位置？

A---->3•••

1••CI—>D

【解答】解；(1)A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；

(2)观察发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方

是正数，

所以，小和。的位置是负数；

(3)•.2020+4=505，

/.第202()个数排在A的位置，是正数.

7.已知。，〃是有理数，且①―1)2+|〃一2|=0.求

1111，/台

--+-----------+------------+…+------------------的1V值.

ab(a+l)S+l)(a+2)g+2)(«+2018)(/?+2018)

【解答】解：由(。-1)2+|〃—2|=0知：a=\,b=2.

1

所以原式=白+Ere2019x2020

=|---1------3T-----------

223…20192020

=1———

2020

2019

"2020,

8.如我们把从1开始的几个连接自然数的立方和记作S2,那么有:

51=广=[2=]3>2九

S,=I3+23=(1+2)2=[2x(1+2)]2,

2

33

53=P+2+3=(l+2+=[3X(；+3)产,

观察上面的规律，完成下面各问题：

(1)依规律，求「+23+3?+…+103的值;

(2)依规律，求2'+43+63+…+2()3的值；

(3)依规律，求1F+⑵+13、…+40、的值.

【解答】解：(I)-+23+3、…+103=(1+2+3+…+10)2=产"；+叫=552=3025,

(2)23+43+63+...+2tf=23x(l3+23+33+...+IO3)=23x[^^i^l2=8x3025=24200，

2

(3)

Il'+I2-+13'+...+40,=(lJ+2,+35+...+40')-(「+2'+3'+...+10')=[4(*"+40)]2_(1Qx(1+10)f=672400-3025=669375

22

9.观察下列三行数：

-2,4,-8,16,-32,…①

0,6,-6,18,一30,…②

—1»2,—4>8,-16,…③

(1)第①行的第2020个数为：_(-2严°_；

(2)第②、③行数的第2021个数分别是—，―；

(3)取每行第7个数，计算这三个数的和.

【解答】解：(1)•・•①一2,4,-8,16,...»

.•.第一行的数是：(-2),,(—2尸，(-2涔(-2也

.•.第〃个数是(-2)",

二•第①行的第2020个数为：(-2产加，

故答案为：(I)?02。；

(2)观察三列数可知：

第①行数和第②行数的关系式是：

第①行的数字加2即可得到对应的第②行的数字，

第①行数和第③行数的关系式是：

第①行的数字除以2即可得到对应的第③行的数字，

•.・第①行的第2021个数是：(-2产；

・•・第②、③行数的第2021个数分别是：(-2严+2,(-2严会二以2020,

故答案为：(一2产+2；-22020；

(3)设x、y、z分别表示第①②©行数的第7个数字，

/.x=(-2)7,y=(-2)7+2,z=-26,

：.x+y+z

=(-2)7+(-2)7+2-26,

=-27-27-26+2

=-64x5+2

=-318.

10.阅读材料：求5+5?+5,+54+5,+5''+57+58的值.

解：®S=5+52+534-544-55+564-57+580

则5s=52+53+54+5$+56+5,+58+59②

②-①得

5sS=(52153154155156157158159)(5i52I53I54155156157158)=595

即S=*^/.5+52+5,+5"+5§+56+5、58=且上

.-.4S=59-5,

44

以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题:

(1)计算：1+(1)2+(1)3+(1)4+...+(1)8(仿照材料写出求解过程);

(2)化简：M=5+2X5:+3X53+4X54+...+8X58.

则②-①，得：2S-S=5=l-(-)8；

2

(2)•.•M=5+2X52+3X53+4X54+...+8X580,

.\5M=1X52+2X53+3X54+...+8X59@,

.,.②-①，得：

5M-M=(1X52+2X53+3X54+...+8X59)-(5+2X52+3X53+4X54+...+8X5R)

=8X59-(5+52+53+...+58)

=8x59-^-^,

4

/.4/W=8x59----,

4

8x5959-5

-416-

31x9+5

一16,

11.观察下列等式：

1.1111111

----=I---,-----=-------

1x222x3233^434•

将以上三个等式两边分别相加得:

I1I1.13

一+-----1----—=I---=-

1x22233444

I1

(1)猜想并写出：—

〃(〃+1)~n〃+1一

(2)直接写出下列各式的计算结果：—+—+—++——-

1x22x33x42015x2016

3)己知|冷，-2|与I.y—11互为相反数，试求代数式

1111

一+-----++(x+201l)(y+2011)的值.

不，(x+l)(y+l)(x+2)(y+2)

【解答】解：(1)观察已知等式可知:

111

〃(〃+1)nn+\

故答案为：----

n/?+1

11

⑵原式

2233420152016

2016

2015

2016

2015

故答案为:

2016

(3)・.|孙-2|与|k1|互为相反数,

.1xy-2|+|y-l|=0,

解得x=2,y=I>

二原式=—+—+…H------------

1x22x33x42012x2013

1111111

=1-+----+----------F...4----------

2233420122013

=I------

2013

2012

2013

(1)按如表已填写的形式填写表中的空格

图①图②图③

三个角上三个数的lx(-l)x2=-2(-3)x(-4)x(-5)=-60_I7X(-2)X(-5)=I70.

积

1+(-1)+2=2(-3)+(-4)+(-5)=-12

三个角上三个数的—

和

积与和的商-24-2=-!—11

(2)请用你发现的规律求出图④中的数)，和图⑤中的数x.

【解答】解：(1)如表格中数据•.

故答案为(-60)+(-12)=5,

17x(-2)x(-5)=170,17+(-2)+(-5)=10,170+10=17.

(2)根据三个角上三个数的根除以三个角上三个数的和是中间的数，得

④＞一360+(-12)--30,

⑤旦=-3,解得x=-2.

4+x

答：图④中的数)，=-30,图⑤中的数x=-2.

13.阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：

1+2+3+…+100=?经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+〃=1〃(〃+1),其中

2

〃是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：Ix2+2x3+…〃(〃+1)=?

观察下面三个特殊的等式：

Ix2=^(lx2x3-Oxlx2);

2x3=g(2x3x4-1x2x3)；

3x4=g(3x4x5-2x3x4).

将这三个等式的两边相加，可以得至iJlx2+2x3+3x4=Lx3x4x5=20读完这段材料，请

3

你思考后回答：

(1)1x2+2x34-...+20x21=3080；

(2)Ix2+2x3+3x4+…+〃x(/?+l)=；

(3)1x2x34-2x3x44-...+〃(〃+1)(〃+2)=.

(只需写出结果，不必写中间的过程)

【解答】解：(1)1x2+2x34-...+20x21

=-x20x21x22

3

=3080,

故答案为：3080；

(2)lx2+2x3+—+〃(〃+l)=g〃(〃+l)(〃+2),

故答案为：-«(//+1)(/2+2)；

3

(3)lx2x3+2x3x4+...+/2(n+l)(/?+2)

=­x(1x2x3x4-0x1x2x3)+—x(2x3x4x5-lx2x3x4)+-x+1)(//+2)(〃+3)—-1)，K〃+1)(/:+2)]

444

='〃(〃+1)(〃+2)(〃+3),

4

故答案为：■!■〃(〃+1)(〃+2)(〃+3).

4

14.观察算式：lx3+l=4=22：2x4+1=9=32；3x5+1=16=4?；4x6+1=25=5。...

请根据你发现的规律填空：

(1)7X9+1=_82_：

(2)用含〃的等式表示上面的规律：—：

(3)用找到的规律解决下面的问题，计算：(1+—)(1+—)(1+—)......(1+——!——).

1x32x43x52011x2013

【解答】解：(1)7x9+l=82：

故答案为:82；

(2)〃・(〃+2)+1=(〃+为正整数)；

故答案为：〃•(〃+2)+1=(〃+1)2(〃为正整数);

石41x3+12x4+13x5+12011x2013+1

(3)原式二------x------x-----x...x-----------

1x32x43x52011x2013

22324220122

=---X---X---XX---------

1x32x43x52011x2013

2x2012

2013

4024

"2013,

15.阅读与探究

请阅读下列材料，并解答相应的问题：

幻方

将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有

这种性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等.

例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入到3x3的方格中

得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.

（1）现要用9个数3,4,5,6,7,8,9,10,11构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填

写在下面3x3的方格中.

□□□□□□618

□□EIJ753

□0ZJ□□294

（2）若设（1）题幻方中9个数的和为S,则S与中间的数字x之间的数量关系为:_S=9x_.

【解答】解：（1）幻方如图所示：

（2）三阶幻方如图所示:

设（1）题幻方中9个数的和为S,

则S与中间的数字x之间的数量关系为：S=9x.

故答案为S=9x.

16.如下，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数

之和都相等.

6abX-1-2・・・

（1）可求得x=6,第2021个格子中的数为—；

（2）若前々个格子中所填数之和为2019,求I的值;

（3）如果用，〃为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|〃?-〃|的和可以通过计算

|6—。|+|6-b|+|a-例+|〃一6|十|8一6|+|人一得至I」.若〃?，〃为前8个格子中的任意两

个数，求所有的|帆-〃I的和.

【解答】解：(1)•・,任意三个相邻方格中所填数之和都相等，

.\6+a+b=a+b+x

.,.x=6>

同理，。=-1,第9个数与第3个数相同，

:.b=-2,

.•.每3个数6、-1、-2为一个循环组依次循环.

2021+3=673…2,

.•.第2021个格子中的数与第2个数相同，

.•.第2021个格子中的数为-1；

故答案为：6,—1；

(2)根据题意可知，每三个数一组，且它们的和为3,

20194-3=673.

格子中的数依次为：65—1,—2,6»—1,—2,6»—1…，

V(-l)+(-2)+6+(-1)+(-2)=0,

.•次=3x673=2019或〃=3x673—5=2014；

(3)由于是三个数重复出现，那么前8个格子中，

这三个数中，-2出现了2次，6和T都出现了3次.

故代入式子可得：

|6-<-l)|x9+|6-(-2)|x6+|6-6|x6+|-|-6|x9+|-2-6|x6+|-l-(-2)|x6+|-l-(-l)|x6+|-2-(-2)|x2+|-2-(-l)|x6=234

17.读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示I开始的100个连续自然数的和.由于

上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”

100

表示为£>，这里“2”是求和符号.例如：1+3+5+7+9+…+99,即从1开始的100

/1=|

50

以内的连续奇数的和，可表示为E(2〃T)：又如13+2'+33+43+53+6+73+83+93+1()3

n=\

10

可表示为通过对上以材料的阅读，请解答下列问题.

/t=1

(1)2+4+6+8+10+…+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表

50

示为_£方—；

w=!

⑵计算£(;，1)・

【解答】解：(1)2+4+6+8+10+...4-100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用

50

求和符合可表示为：X%.

n-1

⑵£%1).

=^(1+2+3+...+40)-40

=-xx40-40

2"42°

=370

54)

故答案为：

n=l

18.观察下列各式:

11II1

—X-=------+—=---------

343412

(1)根据上述规律写出第5个等式是：—！x‘=-L+!=--L

-565630-

(2)用以上的规律计算：(-1x1)+(-1x1)+(-lxl)

+----x-----)

2233420182019

【解答】解：(1)观察已知各式可知：

第5个等式为:—X-=——+-=一1

565630

故答案为:—X—=--------F—=---------

565630

+(•----x-----)

20182019

2019)

1

2019

2018

--2019

19.已知数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，

其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长

度，再向左移动4个单位长度…，

（1）求出3秒钟时，动点Q所在的位置；

（2）若5秒时，动点Q激活所在位置2点，尸点立即以（）.1个单位长度/秒的速度沿数轴

运动，试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置；

（3）如图，在数轴上的A、4、&、4，这4个点所表示的数分别为4、a2>%、%，

若，且4=20,|-a4|=12,\ax-x\=a2+a4

①求x值；

②在（2）的条件下，若P点激活后仍以0.1个单位长度/秒向右运动，当Q点到达数x的点

处，则/点所对应的数是128.9或571.3.

AAAAA

---O•------------•-1-----•-2---•-3-----•-4----------..-..-.-.-------•--2-0-►-

。4“3a4......a20

【解答】解：（1）•.•数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度

来回移动，其移动的方式是：先向右移动I个单位，再向左移动2个单位长度，乂向右移动

3个单位长度，再向右移动4个单位长度…，

「.0.5秒动点Q所在的位置为1,

1.5秒动点Q所在的位置为-1,

3秒动点Q所在的位置为2；

（2）3秒动点。所在的位置为2,

「.5秒时，动点Q所在位置为-2,

①若P点向左运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单

位长度，

571

。在数轴3位置向左运动时，P2=5+|x0.1=—,

设点Q从数轴上3的位置开始运动到点P相遇时用的时间为/秒

21

则（2-0.1）f=i,

解得：/=—，

38

二点P激活后第一次与继续运动的点。相遇时所在的位置为：

-5八，105…48

-（2+—x0.1+--xO.l）=---；

23819

②若P点向右运动，动点。先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单

位长度，

5IQ

Q在数轴3位置向左运动时，P（2=5-|xO.l=^,

若夕点向右运动，动点。先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，设点P激活后笫一次

与继续运动的点Q相遇时用的时间为/,则(2+0.1)/，

4

解得：/=史，

42

.•.点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：-(2-|xO.l-^|xO.l)=-W；

(3)①・;|/-久|-12,

/.a4-a}=12,

a4=12+q=12+20=32»

-44=&A=A3A

二.%=24,%=28,

|«|-x|=a2+a4i

/Jax-x|=24+32=56,

x=-36或x=76；

②当x=-36时，

若5秒时，动点Q激活所在位置?点，当。点到达数x的点处时所走的路程为:

u,「r,rr0+72)x72(l+4)x4

5+6+7+...+71+72=--------------------=2628-10=2618(单位长度),

22

用的时间为：竺竺=1309(5),

2

二.尸点所对应的数是：1309x0.1-2=128.9；

当N=76时，动点Q激活所在位置P点，当。点到达数x的点处时所走的路程为:

5+6+7+...+150+151=(1+151)x151^-2-(1+4)x44-2=11476-10=11466(单位长度),

.•・川的时间为：11466+2=5733"),

P点所对应的数是：5733x0.1-2=571.3

故答案为：128.9或571.3.

20.已知％,x2,/，…刈7都是不等于。的有理数，请探究以下问题:

(1)>1=—»则X_=±l_-

(2)乃=凶+旦+乜匹」，则)，，=____.

%\X2|工也

(3)以=凶+旦+国则以=—