初高中数学暑假衔接材料：第01讲 集合的概念及表示（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第01讲集合的概念及表示内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断所给对象能否构成集合题型2元素与集合关系的判断与应用题型3集合中元素互异性求参数范围题型4求集合元素的个数题型5利用集合相等求参数值题型6用列举法和描述法表示集合04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航集合的概念元素素与集合的关系集合的分类与表示理解集合与元素的定义，能结合生活、数学实例区分集合和普通群体，准确判断研究对象能否构成集合。掌握元素与集合的属于、不属于关系，熟记对应符号，可规范书写两者关系的数学表达式并完成基础判断。明晰集合的分类标准，熟练运用列举法、描述法表示不同集合，能根据集合特点选择合适的表示方法。学习重点：理解集合、元素的概念，掌握元素与集合的关系及集合的两种常用表示方法学习难点：准确运用描述法表示集合，区分不同形式集合的构成特点并规范书写集合表达式。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01元素与集合1.元素与集合的含义（1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．2.元素与集合的三个特征确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系即时即练下列所给对象不能组成集合的是．（1）高一数学课本中所有的难题；（2）某班16岁以下的学生；（3）某中学的大个子；（4）某学校身高超过1.80米的学生．【易错提醒】容易误把一些描述模糊、无统一标准的对象当作是确定的，这些不具有确定性的，都不能组成集合.即时即练由单词“deepseek”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素共有__________个.【方法总结】先把目标里所有对象都罗列出来，若有重复的对象，留下一个，其他的去掉，从而可以得出所有元素.3.元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．即时即练集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（

）A．5∈M C．1∈M 【方法总结】首先看清楚集合元素的含义，根据元素与集合的关系逐一仔细判断即可.4.集合相等根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B.【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等．知识点02常用数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN∗或ZQR即时即练（1）用符号“”或“”填空：0N；N；0.5Z；Z；Q；R.【易错提醒】容易忽略：①0是自然数集N的元素，②是常数，且是一个无理数，③正整数集N∗或N+知识点03集合分类与表示1、集合的分类：（1）按元素的数量分为有限集、无限集；（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.2、表示方法：（1）自然语言描述法.（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为x∈A|【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．（4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。题型1判断所给对象能否构成集合【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（

）A．2026年高考数学全国I卷中的难题B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题D．美丽的小鸟【方法总结】判断所给对象能否组成集合的关键是：所给对象是否具有确定性，描述模糊、主观感受、无统一标准的对象都是不具有确定性的，都不能组成集合，比如：难题、聪明的人、大个子、身高较高的人等.【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（

）A．所有的正方形 B．方程的整数解C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员题型2元素与集合关系的判断与应用【例2】已知集合A={x∈R|−5≤x≤2A．3∈A B．−2∈A C．0∉A D．【方法总结】（1）首先看清楚集合元素的含义，（2）然后看对应元素满足的条件，根据条件可以建立方程求参数值，也可以建立不等式关系求参数取值范围，（3）熟记一些常见无理数的近似值，方便判断元素与集合的关系：2≈1.41，3≈1.73【变式2-1】已知集合A=m+2,2m2+m,若3∈AA．1 B．−32 C．1或−32 【变式2-2】设集合A=x|2x−1>m.若2∈A，则m的取值范围是（

A．m≤3 B．m≥3 C．m<3 D．m>3题型3集合中元素互异性求参数范围【例3】已知集合M=−1,3a−1，则实数a的取值范围为__________【方法总结】利用集合元素间的相互互异性，建立不等式关系，如果有多个元素，需要相互互异，然后建立不等式组，解不等式（组）即可得解.【变式3-1】集合2a,a2−aA．aa=0,或a=3 B．C．aa≠0,或a≠3 D．题型4求集合元素的个数【例4】已知集合A=0,1,2，则集合B=x,yA．1 B．3 C．6 D．9【方法总结】在求集合元素的个数的时候，可以根据集合中元素的含义用列举法，罗列所有构成集合的元素，若有重复的元素保留1个即可.【变式4-1】已知集合A=x∈Nx≥5，则集合B=x∈A．3 B．4 C．5 D．6【变式4-2】已知集合M=x∈N6−x∈N，则A．8 B．7 C．6 D．5题型5利用集合相等求参数值【例5】若集合A=6,−2,B=m2−m,−2，且A．2或−3 B．2 C．3 D．−2或3【方法总结】根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性.【变式5-1】已知a，b∈R，若a,ba,1=题型6用列举法和描述法表示集合角度1：用列举法表示集合【例6】用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)既是质数又是偶数的整数组成的集合；(3)一次函数y=x+2与y=−2x+5的图象的交点组成的集合C；(4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合.【方法总结】列举法表示集合的步骤：第1步：求出集合中的所有元素；第2步：将元素一一列举出来，用逗号隔开，置于花括号中，注意相同元素只能列举一次.【变式6-1】将集合{x∣−3<x<3,x∈Z}用列举法表示是（

）A．{0,1,2} B．{1,2} C．{−2,−1,0,1,2} D．{0,1,2,3}【变式6-2】用列举法表示集合x∈N角度2：用描述法表示集合【例7】用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(2)被5除余3的正整数组成的集合；(3)二次函数y=x(4)使函数y=2x−1有意义的实数【方法总结】描述法表示集合的步骤：第1步：写出代表元素，弄清楚元素是数、点还是其他元素。一般地，数用一个字母表示，点用一个有序数对表示；第2步：明确元素的特征，若出现其他字母时要指明其含义或取值范围；第3步：写出答案，用花括号括起来，一般格式为{x∈A∣P(x)}【变式7-1】用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______；（2）yy=x（3）方程2x+1+|y−2|=0的解集______（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______．一、单选题1．下列说法中正确的是（

）A．0与0表示同一个集合B．方程x−12x−2C．集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示D．集合1,2,3与3,2,1是两个相同的集合2．已知集合A={x∈R|x−a>0}，若3∈A且1∉A，则a的取值范围为（A．a<3 B．a≥1 C．1<a<3 D．1≤a<33．已知集合A={x∈N∣1<x<k}，集合A中至少有3个元素，则（）A.k>3B.k≥3C.k>4D.k≥44．已知集合M=x∈N 42−xA．1,3,4,6 B．0,1,3,4,6 C．1,3,4,7 D．0,1,3,4,55．已知集合A=0,1,2，则集合B=x,A．1 B．3 C．6 D．96．已知m∈R，集合A=xm<x<3m−1中的元素恰有2个整数，则m的取值范围是（A．2 B．m43<m≤53 二、多选题7．方程x−1=0的解集可表示为（

A．x−1=0 B．{x∣x=1或C．−1,1 D．x=1,x=−18．已知x,y,zA.−2∈AB.0∉AC.−4∈AD.4∈A9．已知集合A=x∈A．6 B．7 C．8 D．9三、填空题10．若集合A中有三个元素x、x+1、1，集合B中也有三个元素x、x2+x、x2，且A=B，则