初高中数学暑假衔接材料：第03讲 集合的基本运算（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14第03讲集合的基本运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围）题型2交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围）题型3补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围）题型4并集、交集、补集的混合运算题型5Venn图在集合运算中的应用题型6集合新定义题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航并集交集全集补集理解交集、并集、补集的数学定义，熟记对应符号，能准确识别基础集合运算形式；熟练掌握集合三种基本运算的运算法则，能够独立完成基础集合的求值与化简运算；会借助Venn图和数轴分析集合运算，直观理解运算本质，提升数形结合解题能力；能运用集合基本运算解决含参数题型，精准判断端点取值，规避常见解题易错点.学习重点：理解并熟练掌握集合的交集、并集、补集的定义、符号表示与运算规则.学习难点：结合数轴、韦恩图求解含参数集合的运算问题，并准确区分端点能否取等号.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01集合的并集与交集基本运算并集交集定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集符号表示A∪B（读作“A并B”）A∩B（读作“A交B”）图形表示数学语言xx∈Ax示例已知集合A=则A∪B=已知集合A=则A∩B=运算性质A∪A=A任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A∩A=A任何集合与其本身的交集等于这个集合本身A∪∅=A任何集合与空集的并集等于这个集合本身A∩∅=∅任何集合与空集的交集都是空集A∪B=B∪A交换律A∩B=B∩A交换律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)结合律A⊆B⇔A∪B=B任何集合与它子集的并集都是它本身A⊆B⇔A∩B=A任何集合与它的子集的交集都是这个集合的子集A⊆(A∪B)B⊆(A∪B)任何集合都是该集合与另一集合并集的子集(A∩B)⊆A(A∩B)⊆B两个集合的交集是其中任一集合的子集即时即练已知集合P=1,2,3，Q=x−1≤x≤2,x∈N，则P∪Q=A．1,2 B．1,2,3 C．0,1,2,3 D．−1,0,1,2,3【方法总结】（1）并集定义中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.（2）集合中的公共元素在它们的并集中只出现一次.（需要严格遵守元素的互异性）即时即练已知集合A=0,1,2,3，B=x−1≤x≤2，则A∩B=A．0,1,2 B．−1,0,1,2 C．−1,0,1,2,3 D．1,2【方法总结】交集定义中的“且”是“同时”的意思，即A与B的所有公共元素组成A∩B.知识点02集合全集与补集1、全集的概念自然语言一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.符号语言若A⊆U,B⊆U,C⊆U,…,，则U为全集.图形语言2、补集的概念自然语言若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U符号表示∁U图形表示示例已知全集U={−1,0,1}，A=−1,1，则3、补集的运算性质性质定义A∪(一个集合与其补集的并集是全集A∩(一个集合与其补集的交集是空集∁一个集合的补集的补集是其本身∁全集的补集是空集∁空集的补集是全集A=B⇔在同一全集中，相等集合的补集也相等A⊆B⇔在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集A∩在全集U中，集合A与集合B的补集没有公共元素，等价于集合A是集合B的子集A∪在全集U中，集合A与集合B的补集的并集等于全集U，等价于集合B是集合A的子集即时即练已知集合U=x∈Z1≤x≤4，若∁UA=A．3,4 B．1,2 C．x3≤x≤4 D．【方法总结】(1)补集是相对于全集而言的，若没有定义全集，则不存在补集的说法，且补集的元素不能超出全集的范围.(2)符号∁UA的三层含义：①A⊆U；②∁UA⊆U知识点03区间1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示≥≤即时即练集合xx>5或x<−1}用区间表示为【方法总结】(1)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号，以“−∞”或“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.(2)用区间表示集合时，要注意区间的左端点值一定要小于右端点值，否则为空集.题型1并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围）角度1：并集运算【例1】（1）已知集合A={x∣−3<x≤2}，B={x∣−2≤x<3}，则A∪B=（

）A．{x∣−2<x<2} B．x∣−2≤x≤2C．{x∣−2<x≤3} D．{x∣−3<x<3}【方法总结】类型1：列举法集合（直接合并去重）：①把两个集合所有元素全部列出来，②删掉重复元素，③写成集合形式.类型2：描述法数集求并集，常用数轴法（适用于不等式、区间形式的集合）①在数轴上画出两个集合范围，②取覆盖到的全部区域，③写出结果（区间/集合形式）.【变式1-1】已知集合M=1,2,3，N=x∈Z−1≤x≤2，则A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{−1,0,1,2,3}角度2：根据并集运算结果求参数范围【例2】（1）已知集合A=1,a，B=2,a2，若A∪B中恰有三个元素，则由A．0 B．−1,2 C．0,2 D．（2）已知集合A=xx<−2或x≥1，B=xx≥a，若A∪B=R，则实数A．(−∞,−2) C．(−∞,1) （3）已知集合A=x−2<x≤7，B=xm+1≤x≤2m+3.若【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∪B=A（即B⊆A）：①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②分别列不等式组，借助数轴限定范围；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围类型3：已知A∪B=某确定区间（比如：R，1<x<6等）①画出已知并集的数轴范围；②画出集合A、B的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围；③列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点；④排除矛盾情况，得出范围.【变式2-1】设已知集合A=x2a−1≤x≤a+1,B=x0≤x≤3【变式2-2】集合A=x∣a−2≤x≤2a+1,a∈R,B={x∣x≤3或x≥7}．若A∪B=R，求题型2交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围）角度1：交集运算【例3】（1）设集合A={x∈R|−1<x≤4}，B={x∈N|x≥3}，则A∩B=（

）A．0,1 B．−1,0,1 C．3,4 D．1（2）已知集合A=x0<x<2，B=x−1≤x≤1，则A．x−1≤x<0 B．C．x0<x≤1 D．（3）设集合A=x,yy=3x−5，B=x,yy=−x+3，则A．1,2 B．2,1C．(1,2) D．(【方法总结】类型1：列举法集合（去公共元素去重）：①对比两组元素；②提取公共元素；③写成集合形式.类型2：描述法/区间数集求交集，常用数轴法：取两个区间重叠部分①数轴画出两个集合范围；②截取重叠区域；③写出结果，注意端点.类型3：点集求交集：求两个图形的交点，交点个数就是交集的元素个数.【变式3-1】已知集合A={x∣2<x≤4}，B=x∣3x−7≥8−2x，则A∩B=（

A．{x∣x>2} B．{x∣2<x≤4} C．{x∣2<x≤3} 角度2：根据交集运算结果求参数范围【例4】（1）集合A=1,a2,−3，集合B=aA．3 B．−3 C．±3 D．9（2）已知集合A={x∣−2<x<10}，集合B=y∣1−m≤y≤1+m，若A∩B=B，则实数m的取值范围为（

A．m<3 B．m≤3C．0≤m≤3 D．0<m≤3（3）已知集合A=x1<x<3，B={xx<k或x>k+4}．若A∩B=∅【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∩B=A（即①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围.类型3：已知A①讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）；②集合非空时，数轴分析：A整体在B左侧或A整体在B右侧；③列不等式，重点核对端点等号.【变式4-1】已知集合A={x−3≤x<4},B={x2m−1≤x≤m+1}.【变式4-2】已知集合A={x|1≤x<7}，B={x|t+1≤x≤2t−1}.若A∩B=∅，求实数t的取值范围.题型3补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围）角度1：交集运算【例5】（1）已知全集U=−2,−1,0,1,2,3，A=x∈N0≤x≤3，则∁A．−2,−1 B．−2,−1,0 C．0,1,2,3 D．1,2,3（2）已知集合A={y∣3y−2≥2y−3},B={x∣−2≤x≤0},U=RA．(0,+∞) C．(−∞,−2)∪(0,+∞【方法总结】类型1：有限列举型集合求补集：①化简结合，写出全集全部元素；②去掉属于集合A的元素；③剩余元素组成补集.类型2：不等式/区间型集合求补集，常用数轴法①画出数轴，标注全集与集合A的范围；②原区间含端点（实心），补集该处为空心；原区间空心，补集该处为实心；③写出最终区间.【变式5-1】已知全集U=−2,0,1,2,3，集合A=−2,1,2，B=2,3，∁A．0,2,3 B．0,2 C．0,3 D．3【变式5-2】已知集合A=x−2≤x<3，B=xx≥1，则A．x−2≤x<1 B．x1≤x<3 C．xx<3角度2：根据补集运算结果求参数范围【例6】（1）设全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,a+6,5,∁UA．−3 B．−3和−2 C．−2 D．2（2）已知集合A=xx>a，B=xx>1，若A∩C（3）已知集合P=x|−1≤x≤6，Q=x|1−m≤x≤1+m，全集为R.若P∪【方法总结】类型1：已知补集，反求原集合中的参数.①由补集定义A=∁U②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程；③验证端点/集合互异性.类型2：补集运算转化为子集关系求参：①分类转化为子集关系：A∩∁UB=∅⟺A⊆B②根据子集关系求出参数的取值范围.【变式6-1】全集U=R，(A={x∣a≤x≤a+3})，【变式6-2】记全集U=R，已知集合A=xa−1≤x≤a+5,a∈R，B=x−1<x<4题型4并集、交集、补集的混合运算【例7】（1）若全集U=A∪B=1,2,3,4,5，集合A∩∁UB=1,2，∁A．1,2 B．1,2,4,5 C．1,2,3,4,5 D．1,2,3（2）设全集U=R，集合A={yy=x2,x∈RA．A∪B B．(∁UA)∩B C．A∩(【方法总结】并集、交集、补集混合运算方法步骤：第一步：确定运算优先级①优先计算括号内运算；②其次计算补集；③最后计算交集、并集（从左至右依次运算）.第二步：根据集合特点，分类型解决：有限列举型集合：①按运算顺序逐步化简集合；②求交集取公共元素，求并集合并元素并去重；③求补集即在全集中剔除对应集合元素.不等式/区间型集合①借助数轴标注各集合范围，区分实心、空心端点；②按优先级运算：先标出补集范围，再取重叠区域（交集）或全部覆盖区域（并集）；③整合区间，规范书写结果.【变式7-1】已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2,4,B=A．∁UA⊆B C．A∪B=U D．A∩B题型5Venn图在集合运算中的应用【例8】若全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|x<−2或x>3}，则图中阴影部分所表示的集合为（

A．x−2<x≤2 B．C．{x|x<−2或x≥2} D．x【方法总结】依据Venn图求阴影部分集合运算结果方法步骤：（1）确定矩形为全集，分清图中各个圆所代表的集合.（2）分析阴影区域构成：根据阴影区域的构成，将阴影拆解为交、并、补的组合形式.（3）按照运算逻辑写出对应的集合表达式.（4）核对区域范围，确认运算符号、括号使用无误，整理最终结果.【变式8】设U为全集，集合A,B是U的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（

）A．A∩(∁UB)C．∁UB 题型6集合新定义题【例9】对于集合A，B，定义集合A−B=xx∈A且x∉B，已知集合U=x−3<x<7,x∈Z，E=−1,0,2,4,6，F=A．−2,0,1,3,4,5 B．0,1,3,4,5 C．−1,2,6 D．−2,0,1,3,4【方法总结】集合新定义题的解题方法步骤：（1）理解定义：读懂题目新规则、新符号，明确运算要求与适用条件；（2）转化翻译：将陌生定义转化为集合交、并、补、子集等常规运算；（3）代入求解：把已知集合代入规则计算，含参数则分类讨论；（4）检验作答：验证结果符合定义与集合性质，规范写出答案.【变式9】设A,B为非空集合，定义A∗B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M={x|0≤x≤3}，N=xx>2，则M∗N=A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x<2或x>3}C．{x|0≤x≤2或x>3} D．{x|0≤x<2}一、单选题1．已知集合U=−2,−1,0,1,2，A=−1,0,1，B=0,1,2，则∁A．0,1 B．−1,0,1,2 C．−2,−1,2 D．−2,−1,0,22．已知集合A=x−2<x≤1，B=xx≤−2，则A．xx≥1 B．xx>1 C．xx>−23．已知集合A=x∈Nx<4，集合B=−1,0,1A．−1,2,3 B．−1,0,2,3 C．−1,0,1,2,3 D．0,2,34．设集合A={a,b}，B={a+1,6}，且A∩B={1}，则A∪B的子集个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．85．已知集合A=x1<x<2，集合B=xx>m，若A∩∁A．m≤1 B．m≤2 C．m<1 D．m≥26．已知集合A=x−1<x<4，B=xa−1≤x≤a+2，若集合A∩B中恰好只有两个整数，则实数A．−1,0∪2,3 B．−1,0∪2,3 C．二、多选题7．设集合A=xx2−a+2x+2a=0，A．0 B．1 C．2 D．38．已知集合U为全集，集合M，N是U的子集，且满足∁UM∩N=∅A．M∩N=N B．M∪N=NC．M∩∁UN9．已知全集U=R，集合M=xx>3，N=x−2<x<4A．M∩∁UNC．∁UM∩N三、填空题10．已知集合A=3,5,6，B=a−2,a，若A∩B=B，则a=11．设全集U=x∈Nx≤10，A∩(∁UB)=12．设集合A={−1,0}，集合B={x∈N∣0≤x<a}，若B中恰有2个元素，且定义A∗B=(x,y)x∈A∩B,y∈A∪B，则四、解答题13．设集合U=xx≤5，A=x(1)A∪B;(2)∁U(3)∁14．已知集合A=x−3≤x≤3(1)当a=4时，求∁R(2)在①A∪B=A②A∩B=B中任选一个作为已知，求实数a的取值范围．15．已知集合A={x|−4<3x+2<11}，B=xx<−3或x>1}，(1)求∁R(2)若C∩∁R(A∪B)=∅

第03讲集合的基本运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围）题型2交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围）题型3补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围）题型4并集、交集、补集的混合运算题型5Venn图在集合运算中的应用题型6集合新定义题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航并集交集全集补集理解交集、并集、补集的数学定义，熟记对应符号，能准确识别基础集合运算形式；熟练掌握集合三种基本运算的运算法则，能够独立完成基础集合的求值与化简运算；会借助Venn图和数轴分析集合运算，直观理解运算本质，提升数形结合解题能力；能运用集合基本运算解决含参数题型，精准判断端点取值，规避常见解题易错点.学习重点：理解并熟练掌握集合的交集、并集、补集的定义、符号表示与运算规则.学习难点：结合数轴、韦恩图求解含参数集合的运算问题，并准确区分端点能否取等号.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01集合的并集与交集基本运算并集交集定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集符号表示A∪B（读作“A并B”）A∩B（读作“A交B”）图形表示数学语言xx∈Ax示例已知集合A=则A∪B=已知集合A=则A∩B=运算性质A∪A=A任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A∩A=A任何集合与其本身的交集等于这个集合本身A∪∅=A任何集合与空集的并集等于这个集合本身A∩∅=∅任何集合与空集的交集都是空集A∪B=B∪A交换律A∩B=B∩A交换律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)结合律A⊆B⇔A∪B=B任何集合与它子集的并集都是它本身A⊆B⇔A∩B=A任何集合与它的子集的交集都是这个集合的子集A⊆(A∪B)B⊆(A∪B)任何集合都是该集合与另一集合并集的子集(A∩B)⊆A(A∩B)⊆B两个集合的交集是其中任一集合的子集即时即练已知集合P=1,2,3，Q=x−1≤x≤2,x∈N，则P∪Q=A．1,2 B．1,2,3 C．0,1,2,3 D．−1,0,1,2,3【答案】C【详解】因为Q=x−1≤x≤2,x∈N，所以Q=0,1,2，因为P=【方法总结】（1）并集定义中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.（2）集合中的公共元素在它们的并集中只出现一次.（需要严格遵守元素的互异性）即时即练已知集合A=0,1,2,3，B=x−1≤x≤2，则A∩B=A．0,1,2 B．−1,0,1,2 C．−1,0,1,2,3 D．1,2【答案】A【详解】因为A=0,1,2,3，B=x−1≤x≤2【方法总结】交集定义中的“且”是“同时”的意思，即A与B的所有公共元素组成A∩B.知识点02集合全集与补集1、全集的概念自然语言一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.符号语言若A⊆U,B⊆U,C⊆U,…,，则U为全集.图形语言2、补集的概念自然语言若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U符号表示∁U图形表示示例已知全集U={−1,0,1}，A=−1,1，则3、补集的运算性质性质定义A∪(一个集合与其补集的并集是全集A∩(一个集合与其补集的交集是空集∁一个集合的补集的补集是其本身∁全集的补集是空集∁空集的补集是全集A=B⇔在同一全集中，相等集合的补集也相等A⊆B⇔在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集A∩在全集U中，集合A与集合B的补集没有公共元素，等价于集合A是集合B的子集A∪在全集U中，集合A与集合B的补集的并集等于全集U，等价于集合B是集合A的子集即时即练已知集合U=x∈Z1≤x≤4，若∁UA=A．3,4 B．1,2 C．x3≤x≤4 D．【答案】A【详解】集合U=x∈Z1≤x≤4=1,2,3,4【方法总结】(1)补集是相对于全集而言的，若没有定义全集，则不存在补集的说法，且补集的元素不能超出全集的范围.(2)符号∁UA的三层含义：①A⊆U；②∁UA⊆U知识点03区间1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示≥≤即时即练集合xx>5或x<−1}用区间表示为【答案】−【详解】由xx>5或x<−1}，则区间为−【方法总结】(1)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号，以“−∞”或“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.(2)用区间表示集合时，要注意区间的左端点值一定要小于右端点值，否则为空集.题型1并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围）角度1：并集运算【例1】（1）已知集合A={x∣−3<x≤2}，B={x∣−2≤x<3}，则A∪B=（

）A．{x∣−2<x<2} B．x∣−2≤x≤2C．{x∣−2<x≤3} D．{x∣−3<x<3}【答案】D【详解】因为集合A={x∣−3<x≤2}，B={x∣−2≤x<3}，所以A∪B={x∣−3<x<3}，即D正确.【方法总结】类型1：列举法集合（直接合并去重）：①把两个集合所有元素全部列出来，②删掉重复元素，③写成集合形式.类型2：描述法数集求并集，常用数轴法（适用于不等式、区间形式的集合）①在数轴上画出两个集合范围，②取覆盖到的全部区域，③写出结果（区间/集合形式）.【变式1-1】已知集合M=1,2,3，N=x∈Z−1≤x≤2，则A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{−1,0,1,2,3}【答案】D【详解】因为N=x∈Z−1≤x≤2=−1,0,1,2，角度2：根据并集运算结果求参数范围【例2】（1）已知集合A=1,a，B=2,a2，若A∪B中恰有三个元素，则由A．0 B．−1,2 C．0,2 D．【答案】D【详解】因为A∪B中恰有三个元素，所以a=2或a=a2或结合集合中元素的互异性，解得a=2或a=0或a=1（舍去）或a=−1.（2）已知集合A=xx<−2或x≥1，B=xx≥a，若A∪B=R，则实数A．(−∞,−2) C．(−∞,1) 【答案】B【详解】因为集合A=xx<−2或x≥1，B=xx≥a，（3）已知集合A=x−2<x≤7，B=xm+1≤x≤2m+3.若【答案】m≤2【详解】由A∪B=A可得B⊆A，当B=∅时，m+1>2m+3，即m<−2，满足题意；当B≠∅时，需满足m+1≤2m+3−2<m+12m+3≤7，解得综上可得，m的取值范围为m≤2.【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∪B=A（即B⊆A）：①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②分别列不等式组，借助数轴限定范围；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围类型3：已知A∪B=某确定区间（比如：R，1<x<6等）①画出已知并集的数轴范围；②画出集合A、B的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围；③列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点；④排除矛盾情况，得出范围.【变式2-1】设已知集合A=x2a−1≤x≤a+1,B=x0≤x≤3【答案】1【详解】由A∪B=B，得A⊆B.①当A=∅时，即2a−1>a+1，解得a>2，此时A⊆B，符合题意；②当A≠∅时，即2a−1≤a+1，解得a≤2，所以2a−1≥0a+1≤3，解得1所以实数a的取值范围是12【变式2-2】集合A=x∣a−2≤x≤2a+1,a∈R,B={x∣x≤3或x≥7}．若A∪B=R，求【答案】a∣3≤a≤5；【详解】全集U=R，集合A=x∣a−2≤x≤2a+1,a∈R,B={x∣x≤3或由A∪B=R，得a−2≤32a+1≥7，解得3≤a≤5所以a的取值范围为a∣3≤a≤5．题型2交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围）角度1：交集运算【例3】（1）设集合A={x∈R|−1<x≤4}，B={x∈N|x≥3}，则A∩B=（

）A．0,1 B．−1,0,1 C．3,4 D．1【答案】C【详解】由题意知集合A={x∈R|−1<x≤4}，B={x∈N|x≥3}，故A∩B=3,4（2）已知集合A=x0<x<2，B=x−1≤x≤1，则A．x−1≤x<0 B．C．x0<x≤1 D．【答案】C【详解】因为A=x0<x<2，B=x（3）设集合A=x,yy=3x−5，B=x,yy=−x+3，则A．1,2 B．2,1C．(1,2) D．(【答案】D【详解】联立两个直线方程得方程组y=3x−5y=−x+3，解得x=2y=1，所以【方法总结】类型1：列举法集合（去公共元素去重）：①对比两组元素；②提取公共元素；③写成集合形式.类型2：描述法/区间数集求交集，常用数轴法：取两个区间重叠部分①数轴画出两个集合范围；②截取重叠区域；③写出结果，注意端点.类型3：点集求交集：求两个图形的交点，交点个数就是交集的元素个数.【变式3-1】已知集合A={x∣2<x≤4}，B=x∣3x−7≥8−2x，则A∩B=（

A．{x∣x>2} B．{x∣2<x≤4} C．{x∣2<x≤3} 【答案】D【详解】由B=x∣3x−7≥8−2x=x∣x≥3，又因为A={x∣2<x≤4}角度2：根据交集运算结果求参数范围【例4】（1）集合A=1,a2,−3，集合B=aA．3 B．−3 C．±3 D．9【答案】A【详解】因为A=1,a2,−3，集合B=a当a=−3时，A=1,9,−3，B=−3,9，此时当a=3时，A=1,9,−3，B=3,9，此时（2）已知集合A={x∣−2<x<10}，集合B=y∣1−m≤y≤1+m，若A∩B=B，则实数m的取值范围为（

A．m<3 B．m≤3C．0≤m≤3 D．0<m≤3【答案】A【详解】因为A∩B=B，所以B⊆A，当B=∅时，则1−m>1+m，解得m<0，当B≠∅时，则1−m≤1+m1−m>−21+m<10，解得：综上所述，m的取值范围为m<3.（3）已知集合A=x1<x<3，B={xx<k或x>k+4}．若A∩B=∅【答案】−1,1【详解】由A∩B=∅，有k≤1k+4≥3，解得−1≤k≤1，所以实数k的取值范围为−1,1【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∩B=A（即①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围.类型3：已知A①讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）；②集合非空时，数轴分析：A整体在B左侧或A整体在B右侧；③列不等式，重点核对端点等号.【变式4-1】已知集合A={x−3≤x<4},B={x2m−1≤x≤m+1}.【答案】m【详解】若A∩B=B，则B⊆A,当B=∅时，2m−1>m+1，即m>2；当B≠∅时，−3≤2m−1≤m+1<4，得−1≤m≤2，则实数m的取值范围为mm≥−1【变式4-2】已知集合A={x|1≤x<7}，B={x|t+1≤x≤2t−1}.若A∩B=∅，求实数t的取值范围.【答案】{t|t≥6或t<2}.【详解】若A∩B=∅，当B=∅时，t+1>2t−1，即t<2，当B≠∅时，t≥2t+1≥7或2t−1<1综上，t的范围为{t|t≥6或t<2}.题型3补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围）角度1：交集运算【例5】（1）已知全集U=−2,−1,0,1,2,3，A=x∈N0≤x≤3，则∁A．−2,−1 B．−2,−1,0 C．0,1,2,3 D．1,2,3【答案】A【详解】A=x∈N0≤x≤3（2）已知集合A={y∣3y−2≥2y−3},B={x∣−2≤x≤0},U=RA．(0,+∞) C．(−∞,−2)∪(0,+∞【答案】A【详解】不等式3y−2≥2y−3，解得y≥−1，所以A=yB={x∣−2≤x≤0}，则有∁U所以A∩∁【方法总结】类型1：有限列举型集合求补集：①化简结合，写出全集全部元素；②去掉属于集合A的元素；③剩余元素组成补集.类型2：不等式/区间型集合求补集，常用数轴法①画出数轴，标注全集与集合A的范围；②原区间含端点（实心），补集该处为空心；原区间空心，补集该处为实心；③写出最终区间.【变式5-1】已知全集U=−2,0,1,2,3，集合A=−2,1,2，B=2,3，∁A．0,2,3 B．0,2 C．0,3 D．3【答案】D【详解】由U=−2,0,1,2,3，A=−2,1,2可得又B=2,3，所以∁【变式5-2】已知集合A=x−2≤x<3，B=xx≥1，则A．x−2≤x<1 B．x1≤x<3 C．xx<3【答案】A【详解】因为B=xx≥1，所以因为A=x−2≤x<3,所以角度2：根据补集运算结果求参数范围【例6】（1）设全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,a+6,5,∁UA．−3 B．−3和−2 C．−2 D．2【答案】C【详解】由题知，因为∁UA=2,3，所以A=1,4,5，（2）已知集合A=xx>a，B=xx>1，若A∩C【答案】a【详解】由集合B=xx>1，可得∵A∩CRB≠∅，可得集合A与集合CRB有公共元素，（3）已知集合P=x|−1≤x≤6，Q=x|1−m≤x≤1+m，全集为R.若P∪【答案】−∞【详解】由P∪∁R当Q=∅时，由Q=x|1−m≤x≤1+m，可得1−m>1+m，即m<0当Q≠∅时，由Q=x|1−m≤x≤1+m，P=可得1−m≤1+m1−m≥−11+m≤6，解得综上所述，实数m的取值范围为−∞【方法总结】类型1：已知补集，反求原集合中的参数.①由补集定义A=∁U②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程；③验证端点/集合互异性.类型2：补集运算转化为子集关系求参：①分类转化为子集关系：A∩∁UB=∅⟺A⊆B②根据子集关系求出参数的取值范围.【变式6-1】全集U=R，(A={x∣a≤x≤a+3})，【答案】1【详解】由A=∁U(∁UA)得【变式6-2】记全集U=R，已知集合A=xa−1≤x≤a+5,a∈R，B=x−1<x<4【答案】−1,0．【详解】依题意，∁UB=x因为A∪∁UB=R，解得−1≤a≤0，故a的取值范围为−1,0．题型4并集、交集、补集的混合运算【例7】（1）若全集U=A∪B=1,2,3,4,5，集合A∩∁UB=1,2，∁A．1,2 B．1,2,4,5 C．1,2,3,4,5 D．1,2,3【答案】D【详解】A：若A={1,2}，则∁UA={3,4,5}，所以与∁UB：若A={1,2,4,5}，则∁UA={3}，所以与∁UC：若A={1,2,3,4,5}，则∁U由A∩∁UB={1,2}，得∁与∁UD：若A={1,2,3}，则∁U由A∩∁UB={1,2}所以∁U（2）设全集U=R，集合A={yy=x2,x∈RA．A∪B B．(∁UA)∩B C．A∩(【答案】B【详解】当x∈R时，y=x2≥0，即A={x|x≥0}又B={x−1<x<1}，故【方法总结】并集、交集、补集混合运算方法步骤：第一步：确定运算优先级①优先计算括号内运算；②其次计算补集；③最后计算交集、并集（从左至右依次运算）.第二步：根据集合特点，分类型解决：有限列举型集合：①按运算顺序逐步化简集合；②求交集取公共元素，求并集合并元素并去重；③求补集即在全集中剔除对应集合元素.不等式/区间型集合①借助数轴标注各集合范围，区分实心、空心端点；②按优先级运算：先标出补集范围，再取重叠区域（交集）或全部覆盖区域（并集）；③整合区间，规范书写结果.【变式7-1】已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2,4,B=A．∁UA⊆B C．A∪B=U D．A∩B【答案】B【详解】由题∁UA=3,5，∁对于A，∁U对于B，∁U对于C，A∪B=U，C正确；对于D，A∩B⊆题型5Venn图在集合运算中的应用【例8】若全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|x<−2或x>3}，则图中阴影部分所表示的集合为（

A．x−2<x≤2 B．C．{x|x<−2或x≥2} D．x【答案】B【详解】由集合A={x|x≥2}，B={x|x<−2或x>3}，得A∪B={x|x<−2或x≥2}，由韦恩图得图中阴影部分所表示的集合为∁U【方法总结】依据Venn图求阴影部分集合运算结果方法步骤：（1）确定矩形为全集，分清图中各个圆所代表的集合.（2）分析阴影区域构成：根据阴影区域的构成，将阴影拆解为交、并、补的组合形式.（3）按照运算逻辑写出对应的集合表达式.（4）核对区域范围，确认运算符号、括号使用无误，整理最终结果.【变式8】设U为全集，集合A,B是U的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（

）A．A∩(∁UB)C．∁UB 【答案】A【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合A∩(∁题型6集合新定义题【例9】对于集合A，B，定义集合A−B=xx∈A且x∉B，已知集合U=x−3<x<7,x∈Z，E=−1,0,2,4,6，A．−2,0,1,3,4,5 B．0,1,3,4,5 C．−1,2,6 D．−2,0,1,3,4【答案】A【详解】结合新定义可知E−F=−1,2,6，又U=所以∁U【方法总结】集合新定义题的解题方法步骤：（1）理解定义：读懂题目新规则、新符号，明确运算要求与适用条件；（2）转化翻译：将陌生定义转化为集合交、并、补、子集等常规运算；（3）代入求解：把已知集合代入规则计算，含参数则分类讨论；（4）检验作答：验证结果符合定义与集合性质，规范写出答案.【变式9】设A,B为非空集合，定义A∗B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M={x|0≤x≤3}，N=xx>2，则M∗N=A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x<2或x>3}C．{x|0≤x≤2或x>3} D．{x|0≤x<2}【答案】C【详解】由于M={x|0≤x≤3}，N=x所以M∪N={x|x≥0}，M∩N={x|2<x≤3}，所以M∗N={x|0≤x≤2或x>3}.一、单选题1．已知集合U=−2,−1,0,1,2，A=−1,0,1，B=0,1,2，则∁A．0,1 B．−1,0,1,2 C．−2,−1,2 D．−2,−1,0,2【答案】C【详解】依题意，A∩B=0,1，所以∁2．已知集合A=x−2<x≤1，B=xx≤−2，则A．xx≥1 B．xx>1 C．xx>−2【答案】B【详解】因为A∪B=xx≤1，则3．已知集合A=x∈Nx<4，集合B=−1,0,1A．−1,2,3 B．−1,0,2,3 C．−1,0,1,2,3 D．0,2,3【答案】A【详解】A=x∈Nx<4=0,1,2,3所以阴影部分所表示的集合为−1,2,34．设集合A={a,b}，B={a+1,6}，且A∩B={1}，则A∪B的子集个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】因A∩B={1}，则1∈A，1∈B，于是得a+1=1，解得a=0，因此，b=1，即A={0,1}，B={1,6}，则有A∪B={0,1,6}，所以A∪B的子集个数为235．已知集合A=x1<x<2，集合B=xx>m，若A∩∁A．m≤1 B．m≤2 C．m<1 D．m≥2【答案】A【详解】因为集合B=x所以∁R由于A∩∁所以m≤1.6．已知集