初高中数学暑假衔接材料：第10讲 函数的单调性与最大（小）值（解析版）

2/14第10讲函数的单调性与最大（小）值内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1函数单调性的判断与证明题型2求函数的单调区间题型3利用函数的单调性比较大小、解不等式、求参数范围题型4利用函数的单调性求最值题型5根据函数的最值求参数值（范围）04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航增（减）函数单调区间单调性应用最大（小）值从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性；会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性；会求一些具体函数的单调区间；会利用函数单调性求参数范围、比较大小、解不等式等学习重点：理理解增函数与减函数、单调区间的概念，会用定义法证明函数单调性.学习难点：定义法证明函数的单调性，以及函数单调性的灵活应用.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的单调性1、函数单调性的定义（1）设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1当x1<x2时，都有f(x当x1<x2时，都有f(x1（2）单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势即时即练下列关于函数单调性定义中x1,x2的说法，错误的是（）

A.x1,x2必须取自同一个单调区间内

B.可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性【答案】D【详解】选项A：符合“同区间性”，说法正确；选项B：违背了“任意性”的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误；选项C：符合“有序性”的规定，说法正确；选项D：体现了“任意性”的要求，说法正确.【方法总结】单调性定义中x1和x2的三个特性：(1)同区间性：x1和x2同属于一个单调区间(2)任意性：任取x1和x(3)有序性：需要区分x1,x2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D⊆定义域I.（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；即时即练若函数fx的图象如图所示，则其单调递增区间是（

A．−4,−1∪1,4 C．−2,2 D．−4,−1【答案】D【详解】由函数fx的图象可知，fx单调递增区间是又由图知f−3=0>f1=−2【方法总结】根据函数图象写单调区间的方法：1、看趋势定增减：图像从左到右上升→递增区间；下降→递减区间；2、按转折点分段：以图像的顶点、分段点、间断点为界，把图像分成连续段；3、规范书写：①区间用逗号隔开，禁止用“∪”连接多个单调区间；②定义域内的端点可写闭区间，不在定义域内的端点只能写开区间.3、常见简单函数的单调性函数单调性一次函数y=kx+b(k≠0)当k>0时，在ℝ上单调递增；当k<0时，在ℝ上单调递减.反比例函数y=当k>0时，在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减；

当k<0时，在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增.二次函数y=a当a>0时，在(−∞,−b2a]上单调递减，在(−b2a,+∞)上单调递增；

当a<04、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设x1,x2为该区间内任意的两个值，且x1<x2；

知识点02单调函数的运算性质若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：f(x)与f(x)+C（C为常数）具有相同的单调性.f(x)与−f(x)的单调性相反.当a>0时，af(x)与f(x)单调性相同；当a<0时，af(x)与f(x)单调性相反.若f(x)≥0，则f(x)与f(x)具有相同的单调性.若f(x)恒为正值或恒为负值，则：当a>0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)f(x)与g(x)的和与差的单调性（相同区间上）：

简记为：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.即时即练（多选）已知函数fx在R上是增函数，则下列说法错误的是（

A．y=−f(x)在R上是减函数 B．y=1f(x)在C．y=[f(x)]2在R上是增函数 D．y=af(x)（a为实数）在【答案】BCD【详解】设x1<x2，则必有fx1<f【方法总结】熟悉以上六条单调函数的运算性质，注意每个性质的应用条件，然后即可逐一判断得解.知识点03函数的最大（小）值1、函数的最大值（1）定义：对于函数y=f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)=M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么我们称M是函数y=f(x)的最大值，即当x=x0（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标.2、函数的最小值（1）定义：对于函数y=f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)=M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值，即当x=x0（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.3、利用函数的单调性求最值的常用结论(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b)，值域为[f(a),f(b)]；(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)，值域为[f(b),f(a)]；(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]的最大值为f(b)，最小值为f(a)和f(c)中的较小者；(4)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]的最小值为f(b)，最大值为f(a)和f(c)中的较大者.【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值.即时即练函数f(x)=1x+2+1在[0,1]A．2 B．43 C．32 【答案】C【详解】因为函数f(x)=1x+2+1所以当x=0时取最大值为f(0)=1【方法总结】利用函数的单调性求最大（小）值的一般步骤：第1步：判断函数的单调性；

第2步：利用函数的单调性求出最大（小）值.常用的四个结论如上面所示.题型1函数单调性的判断与证明【例1】讨论函数f(x)=ax+1x+2，a≠1【答案】答案见解析【详解】∵函数f(x)=ax+1x+2=a+∴任取x1,x则f(=1−2ax1=1−2a∵−2<x∴当1−2a>0，即a<1f(x1)−f(当1−2a<0，即a>1f(x1)−f(【方法总结】利用定义证明函数f(x)在给定区间I上的单调性的一般步骤：1、取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且2、作差变形：作差f(x1)−f(x3、定号：确定f(x1)−f(x4、结论：根据定义得出结论.【变式1-1】利用定义证明函数fx=x【答案】证明见解析【详解】任取x1,x则fx因为x1,x2∈(−1,1)所以f(x1)−f(x2所以函数fx是−1,1题型2求函数的单调区间【例2】（多选）函数y=x2−3|x|A．−∞,−32 B．−32【答案】AC【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间.【详解】由已知，函数y=x当x≥0时，y=x2−3x；当x<0可画出函数图像，图下图所示：所以函数的单调递减区间为−∞,−32、【方法总结】求函数单调区间的注意事项与策略：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，故求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域；(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“,”连接；(3)求函数的单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其性质得出单调区间。若所给函数不是上述函数，但函数图象可以作出，则根据图象写出单调区间.【变式2-1】（多选）已知函数fx=−x2+2x+1的定义域为−2,3A．−∞,−1 B．−3,−1 C．0,1 D．1,3【答案】BC【详解】因为函数fx=−x2+2x+1的定义域为−2,3，对称轴为直线x=1，开口向下，所以函数f又fx=−x2+2x+1=−x2+2x+1,0≤x<3,题型3利用函数的单调性比较大小、解不等式、求参数范围【例3】（1）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的最大值为f(3.5)A．f(1)>f(5)>f(4) B．f(4)>f(1)>f(5)C．f(4)>f(5)>f(1) D．f(5)>f(4)>f(1)【答案】C【详解】由题意可知，f(x)=ax2+bx+c的图象关于直线x=3.5又f(x)在(3.5,+∞)上是减函数，所以f(4)>f(5)>f(6)=f(1).（2）已知函数fx=−x2,x≥0xA．a>12 C．a<12 【答案】C【详解】由题意得：当x≥0时，fx则函数fx在0,+∞上单调递减，且当x<0时，fx=x2，则函数且fx所以函数fx在R又fa−1所以a−1<−a，解得：a<1实数a的取值范围是−∞,1（3）若fx=x2−ax+2a在区间1,+【答案】−1,2【详解】因为fx=x所以y=x2−ax+2a则a2≤1，即同时x2−ax+2a≥0在区间又y=x2−ax+2a所以12−a×1+2a≥0，即所以实数a的取值范围是−1,2.（4）若函数fx=2+3ax−1,x>14ax−x2【答案】1【详解】根据题意得2+3a>02a≥12+3a−1≥4a−1，解得12≤a≤2，所以实数【方法总结】1、求已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间D（带参数），（2）已知单调区间一定会是D的子集，然后利用集合子集关系求参数范围.2、利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3、求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.4、利用分段函数单调性求参数的取值（范围）：根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.【变式3-1】已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在A．f4<f1C．f1<f2【答案】A【详解】因为对∀x∈R都有f3+x=f又因为fx在2，+∞上单调递减，且2<3<4所以f4<f3题型4利用函数的单调性求最值【例4】函数fx=6−x−3x在区间2,4上的最大值为【答案】−42【详解】易知函数y=6−x在区间2,4上单调递减，y=−3x在区间2,4所以函数fx所以fxmax=【方法总结】利用单调性求最值：首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.【变式4-1】已知函数fx=2x−12x−9，则当n∈N【答案】9【详解】易知fx=2x−1由反比例函数性质可知当n=5时，fn取最大值，f题型5根据函数的最值求参【例5】已知函数fx=x2−2x+3在闭区间0,mA．1,+∞ B．C．−∞,−2 【答案】D【详解】因为fx=x2−2x+3=则fx在0,1上单调递减，在1,+∞又因为f1=2,f0=f2所以m∈1,2【方法总结】对于函数解析式中含参数的最值问题，一般需要用参数表示出最大（小）值，进而列出方程或不等式求解，注意不等式中等号的取舍.【变式5-1】已知函数fx=−x2+ax,x≤1ax−1,x>1，当a=−1时，f【答案】−∞,14【详解】当a=−1时，fx则当x≤1时，fx当x>1时，fx所以根据二次函数和一次函数的值域可知：fx的值域是−∞,当a>0时，由一次函数fx=ax−1在区间当a=0时，fx=−x2当a<0时，二次函数fx=−x故二次函数fx=−x2+ax一次函数fx=ax−1在区间1,+∞上单调递减，即所以fx必有最大值a综上a的取值范围是0,+∞，一、单选题1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，函数分别在−∞,1及1,+∞上单调递增，但存在x1∈0,1，使f对于C，函数分别在−∞,1及1,+∞上单调递增，但存在x1>1，使fx对于D，函数分别在−∞,0及0,+∞上单调递减，但存在x1=−1，x2=1，使只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.2．已知函数fx=x−23−x，则函数A．−∞,2.5和3,+∞C．2,2.5和3,+∞ D．【答案】A【详解】由于函数fx当x≤3时，f(x)=(x−2)(3−x)=−x由于f(x)=−x2+5x−6图象的对称轴为x=当x>3时，f(x)=(x−2)(x−3)=x由于f(x)=x2−5x+6图象的对称轴为x=故函数fx=x−23−x的单调增区间是3．若函数y=f(x)是R上的增函数，且f(2m)<f(9−m)，则实数m的取值范围是（

）A．3,+∞ B．−∞,3C．−∞,0 D．−3,3【答案】B【详解】∵y=fx在R上单调递增，且f2m<f9−m,∴2m<9−m，即3m<9，解得m<3，∴4．用长度为24m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长为（

A．3m B．4m C．32【答案】A【详解】设隔墙的长为xm，场地面积为Sm2所以当x=3时，S有最大值，为18m2，故隔墙的长为5．若x∈R，fx是y=2−x2，y=x这两个函数中的较小者，则fA．最大值为2 B．最大值为1 C．最小值为−1 D．无最小值【答案】BD【详解】如图，作出函数y=2−x2和函数y=x的图象，联立y=2−x2y=x根据图象易知fx=2−x2,x<−2x,−2≤x≤16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数.例如：−3.5=−4，2.1=2，已知函数A．fxB．fxC．fxD．fx【答案】B【详解】由高斯函数的定义可得：当0≤x<1时，x=0，则x−当1≤x<2时，x=1，则x−当2≤x<3时，x=2，则x−当3≤x<4时，x=3，则x−易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，观察可得函数有最小值0，没有最大值.二、多选题7．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上为增函数的是（

A．y=2−x B．y=C．y=1x 【答案】BD【详解】对于选项A，易知y=2−x在R上单调递减，所以选项A错误；对于选项B，因为y=x2+2的定义域为R，关于原点对称，又f(−x)=又y=x2+2的对称轴为x=0对于选项C，因为y=1x的定义域为−∞故y=1对于选项D，因为y=x+1的定义域为R，关于原点对称，又f(−x)=−x当x∈0,+∞时，又y=x8．如果函数f(x)在[a,b]上是增函数，那么对于任意的x1A．fx1−fC．若x1<x2，则E．f(a)⩽f【答案】CD【详解】因为f(x)在a,b上是增函数，所以对于任意的x1,x2∈[a,b]C中，若x1<x9．函数fx=2ax+7,x>1−x2+4x+3a,x≤1A．0 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【详解】当x≤1时，f(x)=−x2+4x+3a的对称轴为x=2，函数在(−∞,2]若函数fx=2ax+7,x>1所以2a>02a+7≥−1+4+3a，解得0<a≤4所以实数a的取值范围为0,4.三、填空题10．已知函数y=fxx∈−2,6的图象如图．根据图象写出y=fx的单调区间，单调递增区间为【答案】−2,−1和2,6−1,2【详解】由图象知fx在−2,6上，单调递增区间为−2,−1和2,6，单调递减区间为−1,211．已知二次函数f(x)的图像关于y轴对称，且在0，+∞上为增函数，则f(0)，f(3)，f(-4)的大小关系为【答案】f(−4)>f(3)>f(0).【详解】因为二次函数f(x)的图像关于y轴对称，所以f(-因为f(x)在0，+∞上为增函数，且0<3<