初高中数学暑假衔接材料：第11讲 函数的奇偶性（原卷版）

2/14第11讲函数的奇偶性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1函数奇偶性的判断题型2利用函数的奇偶性求解析式与函数值题型3利用函数的奇偶性求参数值题型4利用函数的奇偶性比较大小题型5利用函数的奇偶性解不等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航奇函数偶函数函数奇偶性理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值与求函数的解析式；能利用函数奇偶性求参数值、比较大小、解不等式等进行简单应用；能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.学习重点：理解奇函数、偶函数的定义，会利用奇偶性求参数值、解析式、函数值等.学习难点：能利用奇偶性比较大小、解不等式，以及函数奇偶性结合函数其他性质的综合应用.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称.2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(−x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.

偶函数f(x)的性质：f(−x)=f(x)=f(|x|)，可避免讨论.3.奇函数、偶函数图象对称性的推广y=f(x)在定义域内恒满足y=f(x)的图象的对称轴（中心）f(a+x)=f(a−x)直线x=af(x)=f(a−x)直线x=f(a+x)=f(b−x)直线x=f(a+x)+f(a−x)=0点(a,0)f(a+x)+f(b−x)=0点(f(a+x)+f(b−x)=c点(即时即练如图是函数f(x)＝1x2+1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f【方法总结】利用函数奇偶性补全函数图象的方法：在利用奇偶性补全图象时，通常先根据解析式判断函数的奇偶性，如果确认为偶函数，则作已知部分关于

y

轴的对称图形；如果确认为奇函数，则作已知部分关于原点的中心对称图形，两部分组合起来即为该函数的完整图象.知识点02判断奇偶性的常用方法1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(−x)与±f(x)之一是否相等.【注意】判断f(−x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：

（1）如果f(−x)−f(x)=0或f(−x)f(x)=1(f(x)≠0)，则函数f(x)为偶函数；

（2）如果f(−x)+f(x)=0或f(−x)f(x)=−1(f(x)≠0)2.图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，Df(x)g(x)f(x)±g(x)f(x)⋅g(x)f(g(x))偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在f(g(x))中，g(x)的值域是f(x)定义域的子集.4.分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(−x)与f(x)的关系.首先要特别注意x与−x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与f(−x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.即时即练下列函数是奇函数的是（

）A．y=−1x B．y=x+1 C．y=x【方法总结】定义法判断函数奇偶性的步骤：知识点03函数奇偶性与单调性的综合应用1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.区间[a,b]和[−b,−a]关于原点对称

（1）若f(x)为奇函数，且在[a,b]上有最大值M，则f(x)在[−b,−a]上最小值−M；

（2）若f(x)为偶函数，且在[a,b]上有最大值M，则f(x)在[−b,−a]上最大值M.3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较.【注意】由f(x1)>f(x2题型1函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)fx=x+1−x−1(3)fx=x−2+2−x(5)f【方法总结】判断函数是否具有奇偶性的方法有：定义法、图象法和性质法三种，具体请看知识点02.【变式1-1】判断下列函数的奇偶性：(1)fx=x4+2x2；题型2利用函数的奇偶性求解析式与函数值【例2】（1）已知fx=x5+ax3A．−26 B．−18 C．−10 D．10（2）若函数fx是奇函数，且当x>0时，fx=x2+1A．fx=−xC．fx=x（3）已知奇函数fx与偶函数gx满足fx+gxA．1x2−1 B．11−x2【方法总结】1、利用函数的奇偶性求解析式类型1：已知函数fx的奇偶性及函数fx（1）求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；（2）把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；（3）利用fx的奇偶性将f−x用−fx或类型2：已知fx与g（1）已知fx与g（2）然后用−x代替所有的x，再结合奇偶性，可得到关于fx与g（3）①②式联立，解方程组即可的得fx与g2.利用函数的奇偶性求函数值：利用f−x=−fx【变式2-1】已知函数fx=2022x3+2x【变式2-2】设函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，fx=x【变式2-3】已知定义域为R的函数fx是偶函数，定义域为R的函数gx是奇函数，且求fx和gx题型3利用函数的奇偶性求参数值【例3】已知函数f(x)=x2+n−1x+2【方法总结】利用函数的奇偶性求参数值的方法：若函数解析式中含参数，则根据f(−x)=−f(x)或f(−x)=f(x)，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数.【变式3-1】若fx=x题型4利用函数的奇偶性比较大小【例4】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈0,+∞时，f(x)是增函数，则f(−7)，f(πA．f(B．f(C．f(D．f(【方法总结】利用函数的奇偶性比较大小的方法：（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.【变式4-1】已知函数fx+2是偶函数，当x1、x2∈2,+∞时，fx1−fA．c<b<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c题型5利用函数的奇偶性解不等式【例5】（1）若定义在R的奇函数fx，若x<0时fx=−x−2，则满足xfx≥0A．−∞,−2∪0,2 B．−∞,−2（2）已知定义在R上的偶函数fx在−∞,0上是减函数，若fa−1>f【方法总结】利用函数的奇偶性解不等式的方法：（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；（2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式（组）的问题.【变式5-1】若偶函数f(x)在−∞,−1上是增函数，则下列关系式中成立的是（A．f(−32)<f(−1)<f(−2)C．f(2)<f(−1)<f(−32)【变式5-2】若偶函数fx在0，+∞上单调递减，且A．−2，2 C．−∞，−2∪一、单选题1．给定四个函数：①fx=−3x4；②fx=12x+1；③A．0 B．1 C．2 D．32．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则f(−1)等于（

）A．−2 B．−1 C．0 D．23．已知函数fx=x3+x+m是定义在区间−2−n,2nA．0 B．1 C．2 D．44．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0,+∞)时，f(x)是增函数；则f(−2)，f(π)，A．f(π)>f−2C．f(π)>f−35．关于函数f(x)=x2−4+4−A．两函数均为偶函数B．两函数都既是奇函数又是偶函数C．函数f(x)是偶函数，ℎ(x)是非奇非偶函数D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，ℎ(x)是非奇非偶函数二、多选题6．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上为增函数的是（

A．y=2+x B．y=x2+2 C．7．已知定义在区间[−7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图像如图，则下列说法正确的是（

）A．这个函数有两个单调增区间B．这个函数有三个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值−78．已知函数y=fx与y=gx的图象如图所示，则（A．y=fxgx为奇函数 B．y=fC．y=fgx在−∞,0上单调递减 9．若函数fx同时满足：①对于定义域上的任意x，都有−x在定义域上，且恒有fx+f−x=0；②对于定义域上的任意x1,A．fx=1C．fx=−x三、填空题10．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=f