初高中数学暑假衔接材料：第15讲 指数函数（原卷版及解析）

2/14第15讲指数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围）题型2指数型函数过定点问题题型3比较指数幂的大小题型4解指数型方程和不等式题型5指数函数的图象的辨析04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航指数函数理解概念形成：通过实际实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念及实际意义，体会数学建模.掌握图象与性质：能画出具体指数函数图象，探索并掌握其单调性、特殊点等性质，理解底数

a

的影响.熟练应用性质：能运用图象和性质比较幂的大小、解简单指数不等式，并解决相关实际问题.提升核心素养：体会数形结合、分类讨论等思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和运算素养.学习重点：（1）概念与图象：准确理解指数函数的定义形式，掌握图象的基本特征和过定点的性质.（2）性质及应用：掌握指数函数的单调性，能利用单调性解不等式、比较大小等.学习难点：（1）学生难以从表格数据中通过计算“增长率”发现指数变化规律，进而抽象出模型.（2）理解底数取值范围对单调性的决定作用及对图象变化趋势的影响.（3）区分两类函数：易混淆指数函数（底数为常数）与幂函数（指数为常数）.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01指数函数的概念1、定义一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R2、指数函数的结构特征指数函数表达式中，需满足：（1）ax系数必须为1（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如y=a3、注意事项：指数函数y=ax的底数规定大于0且不等于（1）如果a=0，当（2）如果a<0，如y=−4x，当（3）如果a=1，y=为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a即时即练下列函数中是指数函数的是________.①y=13x；②y=2×3x；③y=3x−1【方法总结】判断一个函数是指数函数的方法（1）看形式：判断其解析式是否符合y=ax（a>0，且（2）明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征，只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.知识点02指数函数的图象与性质1、指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象和性质如下表：a>10<a<1图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过定点（0，1），即x＝0时，y＝1函数值的变化

当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数2、底数a对指数函数图象的影响函数y=2x，y=3x，y=4x和y=12（1）当a>1且x>0时，底数越大，图象越“陡”；当0<a<1且x<0时，底数越小，图象越“陡”.（2）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.即时即练下列图象中，有可能表示指数函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【方法总结】判断指数函数图象的方法：指数函数图象恒过点(0,1)，函数值域是(0,+∞)，即函数图象恒在x轴的上方.知识点03指数函数的图象变换已知指数函数y=ax（a>0且a≠11、平移变换y=ay=ay=ay=a规律总结：上加下减（针对函数值y），左加右减（针对自变量x）.2、对称变换y=ay=ay=a3、翻折变换y=ay=a题型1求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围）【例1】（1）已知函数f(x)是指数函数，且f(−32)=525（2）若函数f(x)=12a−3⋅aA．a=8 B．f(0)=−3 C．f12=2（3）若函数y=(4−3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为【方法总结】1、求指数函数解析式的方法：求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式y=ax（a>0且a2、利用指数函数定义求参数值的方法：①列方程（利用系数为1），令ax前面的系数等于1，解出参数的可能值②验底数（利用底数条件），将求出的参数值代入底数表达式，检验是否满足

底数

a>0且a≠1③查指数（利用指数条件），检查指数部分是否仅为

x

.如果指数是

kx

、

x+c

等形式，则该函数不是指数函数（可能是指数型函数），此时无解或需重新审题.④下结论，综合以上三步，写出最终符合条件的参数值.3、利用指数函数定义求参数取值范围的方法：①明确前提：写出指数函数的默认条件

a>0且a②分类讨论：只要涉及单调性、最值或大小比较，必须对底数

a>1

和0<a③等价转化：将文字描述（如“单调递增”、“恒大于”、“有最大值”）翻译成代数不等式.④求交集：将分类讨论求出的范围，与前提条件（

a>0且a≠1【变式1-1】函数y=(7−2a)x是指数函数，则实数a的取值范围为（A．−∞,72 B．−∞,3【变式2-1】若函数fx=2a2A．2 B．1 C．1或12 D．题型2指数型函数过定点问题【例2】函数y=ax−1+1A．2,1 B．1,2 C．0,1 D．−1,1【方法总结】指数型函数y=k⋅af①令指数为0，即令fx=0，解方程得出定点的横坐标x②将横坐标x0代入函数，求出定点的纵坐标的值y③下结论：所求定点坐标为x0【变式2-1】当a>0且a≠1时，函数fxA．0,1 B．0,−1 C．−1,0 D．1,0题型3比较指数幂的大小【例3】设a=1.442，b=1.23，A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b【方法总结】比较指数幂的大小的方法（分三种情况）：①底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；②底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；③底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”.【变式3-1】（多选）下列比较大小正确的是（

）A．20.1<20.2 B．52>题型4解指数型方程和不等式【例4】已知函数fx=ax2+bx+1（a>0，且(1)求a，b的值；(2)求不等式3<fx【方法总结】形如afx>形如afx>b的不等式，可将b化为a形如ax>bx的不等式，可借助两函数【变式4-1】不等式3x2−4x题型5指数函数的图象的辨析【例5】已知a>0且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数y=ax+1和y=1axA． B．C． D．【方法总结】指数函数的图象辨析的解题策略：“一找定点，二看单调，三验一致性”①找定点（筛选）：先看特殊点.指数函数y=ax必过01，对数函数y=logax必过10②定范围（假设）：通过观察其中一个函数（通常选指数或对数函数）的单调性（增或减），确定参数a的范围（是a>1还是0<a<1）.③验矛盾（确认）：将确定的a的范围代入另一个函数（如直线），检查其斜率正负、截距大小或与轴交点位置是否与图象吻合.若矛盾则排除，吻合即为答案.【变式5-1】已知函数y=ax（a>0，且a≠1）与函数y=1bx（b>0A．a>b>1 B．a>1>b>0 C．b>1>a>0 D．b>a>1一、单选题1．如果函数fx=2a⋅3x和gxA．18 B．1 C．9 2．已知fx=3x,gA．a+b=−1 B．a+b=1C．a+2b=−1 D．a+2b=13．若函数y=2a−1x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（A．(0,1)∪(1,+∞) C．12,1∪4．若a>1，−1<b<0，则函数y=ax+bA．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限5．已知0<a<1<b，则（

）A．ba<aC．bb<a6．已知函数y=ax−1+2a>0,a≠1的图象恒过定点Ax0,A．12 B．32 C．23二、多选题7．若f(x)=3A．f(x)在[−1,1]上单调递减B．y=3x+1与y=C．f(x)的图象过点(0,1)D．f(x)的值域为[1,+8．设指数函数fx=ax（A．fx+y=fxC．fnx=nfx9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（

）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3三、填空题10．若函数gx=13x+m11．若方程|2x−1|=a有唯一实数解，则a12．定义区间x1,x2的长度为x2−x1，已知函数f(x)=3x的定义域为四、解答题13．已知函数fx(1)试确定fx(2)求证：函数fx在R(3)若对任意的t∈R，不等式ft214．已知函数f(x)=2x+(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)在（1）的条件下，设函数F(x)=f(x)+2x−2−12x−2，若∀x

第15讲指数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围）题型2指数型函数过定点问题题型3比较指数幂的大小题型4解指数型方程和不等式题型5指数函数的图象的辨析04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航指数函数理解概念形成：通过实际实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念及实际意义，体会数学建模.掌握图象与性质：能画出具体指数函数图象，探索并掌握其单调性、特殊点等性质，理解底数

a

的影响.熟练应用性质：能运用图象和性质比较幂的大小、解简单指数不等式，并解决相关实际问题.提升核心素养：体会数形结合、分类讨论等思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和运算素养.学习重点：（1）概念与图象：准确理解指数函数的定义形式，掌握图象的基本特征和过定点的性质.（2）性质及应用：掌握指数函数的单调性，能利用单调性解不等式、比较大小等.学习难点：（1）学生难以从表格数据中通过计算“增长率”发现指数变化规律，进而抽象出模型.（2）理解底数取值范围对单调性的决定作用及对图象变化趋势的影响.（3）区分两类函数：易混淆指数函数（底数为常数）与幂函数（指数为常数）.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01指数函数的概念1、定义一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R2、指数函数的结构特征指数函数表达式中，需满足：（1）ax系数必须为1（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如y=a3、注意事项：指数函数y=ax的底数规定大于0且不等于（1）如果a=0，当（2）如果a<0，如y=−4x，当（3）如果a=1，y=为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a即时即练下列函数中是指数函数的是________.①y=13x；②y=2×3x；③y=3x−1【答案】①④【详解】因为形如y=a所以函数y=1y=4其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数.【方法总结】判断一个函数是指数函数的方法（1）看形式：判断其解析式是否符合y=ax（a>0，且（2）明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征，只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.知识点02指数函数的图象与性质1、指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象和性质如下表：a>10<a<1图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过定点（0，1），即x＝0时，y＝1函数值的变化

当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数2、底数a对指数函数图象的影响函数y=2x，y=3x，y=4x和y=12（1）当a>1且x>0时，底数越大，图象越“陡”；当0<a<1且x<0时，底数越小，图象越“陡”.（2）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.即时即练下列图象中，有可能表示指数函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】由于y=ax>0（a>0【方法总结】判断指数函数图象的方法：指数函数图象恒过点(0,1)，函数值域是(0,+∞)，即函数图象恒在x轴的上方.知识点03指数函数的图象变换已知指数函数y=ax（a>0且1、平移变换y=ay=ay=ay=a规律总结：上加下减（针对函数值y），左加右减（针对自变量x）.2、对称变换y=ay=ay=a3、翻折变换y=ay=a题型1求指数函数解析式（利用定义求参数值或范围）【例1】（1）已知函数f(x)是指数函数，且f(−32)=525【答案】5【详解】因为函数f(x)是指数函数，设f(x)=ax(a>0,且∴a−3∴f(x)=（2）若函数f(x)=12a−3⋅aA．a=8 B．f(0)=−3 C．f12=2【答案】AC【详解】解：因为函数fx是指数函数，所以12a−3=1，所以a=8，所以fx=8x，所以f（3）若函数y=(4−3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为【答案】(−【详解】因为函数y=(4−3a)x是指数函数，所以需满足解得a<43且a≠1.故实数a的取值范围为【方法总结】1、求指数函数解析式的方法：求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式y=ax（a>0且a2、利用指数函数定义求参数值的方法：①列方程（利用系数为1），令ax前面的系数等于1，解出参数的可能值②验底数（利用底数条件），将求出的参数值代入底数表达式，检验是否满足

底数

a>0且a≠1③查指数（利用指数条件），检查指数部分是否仅为

x

.如果指数是

kx

、

x+c

等形式，则该函数不是指数函数（可能是指数型函数），此时无解或需重新审题.④下结论，综合以上三步，写出最终符合条件的参数值.3、利用指数函数定义求参数取值范围的方法：①明确前提：写出指数函数的默认条件

a>0且a②分类讨论：只要涉及单调性、最值或大小比较，必须对底数

a>1

和0<a③等价转化：将文字描述（如“单调递增”、“恒大于”、“有最大值”）翻译成代数不等式.④求交集：将分类讨论求出的范围，与前提条件（

a>0且a≠1【变式1-1】函数y=(7−2a)x是指数函数，则实数a的取值范围为（A．−∞,72 B．−∞,3【答案】C【详解】由指数函数的定义得7−2a>0,7−2a≠1,解得a<72，且a≠3，故a【变式2-1】若函数fx=2a2A．2 B．1 C．1或12 D．【答案】D【详解】解：因为函数y=(2a∴2a2−3a+2=1且a>0由2a2−3a+2=1解得a=1∴a=1题型2指数型函数过定点问题【例2】函数y=ax−1+1A．2,1 B．1,2 C．0,1 D．−1,1【答案】B【详解】指数函数y=ax（a>0且a≠1）过定点所以y=ax−1+1，当x−1=0⇒x=1时y【方法总结】指数型函数y=k⋅af①令指数为0，即令fx=0，解方程得出定点的横坐标x②将横坐标x0代入函数，求出定点的纵坐标的值y③下结论：所求定点坐标为x0【变式2-1】当a>0且a≠1时，函数fxA．0,1 B．0,−1 C．−1,0 D．1,0【答案】C【详解】函数fx=ax+1−1，令x+1=0，解得x=−1题型3比较指数幂的大小【例3】设a=1.442，b=1.23，A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b【答案】B【详解】1.44<3，故1.442<1.442=1.2故c>a>b.【方法总结】比较指数幂的大小的方法（分三种情况）：①底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；②底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；③底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”.【变式3-1】（多选）下列比较大小正确的是（

）A．20.1<20.2 B．52>【答案】AC【详解】对于A，由指数函数y=2x为单调递增函数，可得对于B，由幂函数y=x2在0,+∞上单调递增，可得对于C，由指数函数y=0.3x为单调递减函数，可得对于D，由1.20.5>1.2故选：AC.题型4解指数型方程和不等式【例4】已知函数fx=ax2+bx+1（a>0，且(1)求a，b的值；(2)求不等式3<fx【答案】(1)a=3,b=−2.(2)【详解】（1）因为函数fx=ax2所以f0=a=3f（2）由（1）得fx由3<fx<81，得31所以1<x−1<2或−2<x−1<−1，解得−1<x<0或2<x<3，即不等式3<fx<81的解集为【方法总结】形如afx>形如afx>b的不等式，可将b化为a形如ax>bx的不等式，可借助两函数【变式4-1】不等式3x2−4x【答案】−【详解】由3x所以x2−4x>−3，即解得x<1或x>3，故答案为：−∞题型5指数函数的图象的辨析【例5】已知a>0且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数y=ax+1和y=1axA． B．C． D．【答案】C【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点0,1，故B错误；因为a>0且a≠1，所以y=ax+1为增函数，当0<a<1时，y=1ax为增函数，此时y=ax+1当a>1时，y=1ax为减函数，此时y=ax+1【方法总结】指数函数的图象辨析的解题策略：“一找定点，二看单调，三验一致性”①找定点（筛选）：先看特殊点.指数函数y=ax必过01，对数函数y=logax必过10②定范围（假设）：通过观察其中一个函数（通常选指数或对数函数）的单调性（增或减），确定参数a的范围（是a>1还是0<a<1）.③验矛盾（确认）：将确定的a的范围代入另一个函数（如直线），检查其斜率正负、截距大小或与轴交点位置是否与图象吻合.若矛盾则排除，吻合即为答案.【变式5-1】已知函数y=ax（a>0，且a≠1）与函数y=1bx（b>0A．a>b>1 B．a>1>b>0 C．b>1>a>0 D．b>a>1【答案】A【详解】由图得a>1，0<1b<1因为函数y=1bx（b>0，且b≠1）的图象与函数y=bx（b>0由图可知：a1>b一、单选题1．如果函数fx=2a⋅3x和gxA．18 B．1 C．9 【答案】D【详解】根据题意可得2a=1⇒a=12，−(b+3)=0⇒b=−3，则2．已知fx=3x,gA．a+b=−1 B．a+b=1C．a+2b=−1 D．a+2b=1【答案】C【详解】由3a⋅9b=133．若函数y=2a−1x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（A．(0,1)∪(1,+∞) C．12,1∪【答案】C【详解】因为函数y=2a−1x（x是自变量）是指数函数，所以2a−1>02a−1≠1，解得：a>4．若a>1，−1<b<0，则函数y=ax+bA．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】A【详解】由a>1可得函数y=ax的图像单调递增，且过第一、二象限，由−1<b<0可得把y=ax的图像向下平移b个单位可得5．已知0<a<1<b，则（

）A．ba<aC．bb<a【答案】B【详解】因为0<a<1<b，y=ax(0<a<1)所以0<a同理，函数y=bxb>1在R综上，可得ab6．已知函数y=ax−1+2a>0,a≠1的图象恒过定点Ax0,A．12 B．32 C．23【答案】D【详解】由指数函数y=axa>0,a≠1函数y=ax−1+2所以m×1−3+n=0，所以m+n=3.则1m因为m>0,n>0，所以nm当且仅当nm=m所以1m所以1m+1二、多选题7．若f(x)=3A．f(x)在[−1,1]上单调递减B．y=3x+1与y=C．f(x)的图象过点(0,1)D．f(x)的值域为[1,+【答案】ACD【详解】因为f(x)=3x+1y=3x+1与y=由f(0)=2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误；由3x>0，可得8．设指数函数fx=ax（A．fx+y=fxC．fnx=nfx【答案】CD【详解】fx+yfx−yfnx=afxyn=9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（

）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个