初高中数学暑假衔接材料：第16讲 对数与对数运算（原卷版及解析）

2/14第16讲对数与对数运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对数式与指数式互化题型2利用对数性质解对数方程题型3利用对数运算性质化简题型4利用以已知等式关系表示某对数题型5利用换底公式求值或证明等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数真数常用对数自然对数对数运算换底公式理解对数概念：了解引入对数的必要性，掌握定义，熟练进行指数式与对数式的互化.掌握运算性质：了解性质推导过程，掌握积、商、幂的对数运算性质，体会运算的“降级”特征.运用换底公式：理解换底公式的推导，能将其转化为常用或自然对数，并进行化简求值.提升核心素养：体会转化与化归、类比迁移思想，培养数学抽象、逻辑推理和运算素养.学习重点：（1）概念与互化：准确理解对数定义，熟练掌握指数式与对数式的相互转化.（2）性质与公式：掌握对数运算性质及换底公式，能灵活运用其进行化简、求值和证明.学习难点：（1）概念理解：对数符号较抽象，易与指数混淆，且易忽视底数与真数的限制条件.（2）性质推导：通过指对互化推导对数性质的逻辑过程易使学生困惑.（3）换底公式应用：换底公式推导需较强逻辑推理能力，学生灵活选底并简化计算的能力有待提高.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01对数的概念与性质1.对数的概念：

如果ax=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=其中，a是底数，N是真数.2.常用对数与自然对数：名称定义记法常用对数以10为底的对数lg自然对数以无理数e=2.71828⋯为底的对数ln3.对数的性质：

（1）指数与对数的互化：当a>0且a≠1时，ax=N⟺x=logaN；

（2）真数的范围：负数和0没有对数，即N>0；

（3）特殊值：1的对数是0，即loga1=0底数的对数是1，即logaa=1（a>0且a≠1）；

（4）对数恒等式：alogaN=N即时即练在对数式中logx−13−x，实数x的取值范围是【方法总结】利用式子loga知识点02对数的运算性质及应用1.运算性质（前提：a>0且a≠1，M>0，N>0）：

（1）积的对数：logaMN=logaM+logaN；

2.换底公式：

（1）基本形式：logab=logcblogca（要求a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）；

（2）推论（由换底公式证明）：

①倒数关系：logab=1logba；

②连乘积为1：logab⋅知识点03对数运算常用方法技巧1.对数混合运算的一般原则：

（1）化简真数和底数：将真数和底数化为“指数幂”形式（使真数、底数最简），再用公式logamMn=nmlogab合并；

（2）统一底数：利用换底公式，将不同底的对数转化为同底对数；

（3）逆用运算性质：将同底对数的和、差、倍运算，转化为真数的积、商、幂（如logaM+logaN=loga2.对数运算的5个技巧：

（1）lg2+lg5=1的应用：若出现lg2和lg5，通过提公因式、平方差等变形，凑出lg2+lg5再化简；

（2）logab⋅logba=1的应用：若两个对数“底数与真数颠倒相乘”，直接用此式化简；

（3）指对互化：若已知ax=b题型1对数式与指数式互化【例1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【方法总结】指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.【变式1-1】将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式：(1)log264=6；(2)log3181=−4；题型2利用对数性质解对数方程【例2】方程2logx25−3A．535 B．∅ C．125【方法总结】简单的对数方程是指在对数符号后面含有未知数的方程，求解时通常需要考虑定义域、使用特定方法如同底法、换元法、转换法等，并且最后要验根以排除增根.【变式2-1】方程log39x题型3利用对数运算性质化简或求值【例3】求值：823【方法总结】利用对数运算性质化简的原则和方法:①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【变式3-1】以下运算正确的是（

）A．5−0.15=0.1C．1681−3题型4利用以已知等式关系表示某对数【例4】已知log65=a，6b=2，则log206=【方法总结】用以已知等式关系表示某对数解题三步走：①定底数（统一阵营）：观察已知条件（如a,b），确定公共底数（本题为6），利用换底公式，将目标式转化为以该公共底数为底的分式，例：log20②拆真数（寻找关系）：分析分母中的真数（如20），将其拆解为已知真数（如5,2）的积、商或幂，例：20=5×2③代字母（得出结果）：利用对数运算性质展开，将已知的对数值（a,b）代入替换，整理即得答案，例：log6【变式4-1】已知3m=5，n=log23，则log3690A．2+n+m2+n B．2n+mn+12n+2 C．2m+mn+12m+2题型5利用换底公式求值或证明等式【例5】（1）(log4（2）已知条件：a>0,b>0,α≠0,a≠1,b≠1，利用对数的换底公式证明：log【方法总结】换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.利用换底公式求值或证明等式两个策略：①统一底数：用换底公式将等式两边的对数转化为同一种底数（如

ln或

lg

），消除“底数不同”的差异.②化简变形：利用对数的幂、积、商运算性质，对分子分母进行约分、提取系数等.【变式5-1】若xlog23=2，求3【变式5-1】已知条件：a>0,b>0,α≠0,a≠1,b≠1，利用对数的换底公式证明：log一、单选题1．已知对数式loga+124−a有意义，则aA．−1,4 B．−1,0C．−4,0∪0,1 2．方程log3x2A．3,3 B．C．3 D．33．已知2a=3b=18A．2 B．12 C．1 D．4．设a>0,a≠1,x>y>0，下列等式：①loga②loga③loga④loga其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．若log3a−log13A．16 B．32 C．64 D．1286．心理学家用函数Lt=A1−e−kt测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L表示在时间t内该生能够记忆的成语个数.假设该生在3min内能够记忆10个成语，则k的值大约为（A．0.035 B．0.35 C．0.461 D．0.768二、多选题7．下列指数式与对数式互化正确的是（

）A．100=1与lg1=0 B．C．log55=1与51=5 8．下列各式正确的有（

）A．已知lg2=a，lg3=bB．πC．设a>0，则aD．log9．下列命题中正确的是（）A．已知2a=5，log83=bB．2(C．若xlog34=1，则D．若2m=3n=k且三、填空题10．已知log23=a，2b=5则log11．若正实数a、b、c均不为1，满足ax=by=cz12．已知fx是定义域为R的奇函数且fx+4=fx，当0<x<1时，四、解答题13．解下列关于x的方程：(1)4x(2)log5(3)lgx14．计算下列各题：(1)log3(2)(lg(3)log2

第16讲对数与对数运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1对数式与指数式互化题型2利用对数性质解对数方程题型3利用对数运算性质化简题型4利用以已知等式关系表示某对数题型5利用换底公式求值或证明等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数真数常用对数自然对数对数运算换底公式理解对数概念：了解引入对数的必要性，掌握定义，熟练进行指数式与对数式的互化.掌握运算性质：了解性质推导过程，掌握积、商、幂的对数运算性质，体会运算的“降级”特征.运用换底公式：理解换底公式的推导，能将其转化为常用或自然对数，并进行化简求值.提升核心素养：体会转化与化归、类比迁移思想，培养数学抽象、逻辑推理和运算素养.学习重点：（1）概念与互化：准确理解对数定义，熟练掌握指数式与对数式的相互转化.（2）性质与公式：掌握对数运算性质及换底公式，能灵活运用其进行化简、求值和证明.学习难点：（1）概念理解：对数符号较抽象，易与指数混淆，且易忽视底数与真数的限制条件.（2）性质推导：通过指对互化推导对数性质的逻辑过程易使学生困惑.（3）换底公式应用：换底公式推导需较强逻辑推理能力，学生灵活选底并简化计算的能力有待提高.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01对数的概念与性质1.对数的概念：

如果ax=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作其中，a是底数，N是真数.2.常用对数与自然对数：名称定义记法常用对数以10为底的对数lg自然对数以无理数e=2.71828⋯为底的对数ln3.对数的性质：

（1）指数与对数的互化：当a>0且a≠1时，ax=N⟺x=logaN；

（2）真数的范围：负数和0没有对数，即N>0；

（3）特殊值：1的对数是0，即loga1=0底数的对数是1，即logaa=1（a>0且a≠1）；

（4）对数恒等式：alogaN=N即时即练在对数式中logx−13−x，实数x的取值范围是【答案】1<x<3且x≠2【详解】由对数式logx−1x−1>0x−1≠13−x>0,解之得：1<x<3故答案为：1<x<3且x≠2．【方法总结】利用式子loga知识点02对数的运算性质及应用1.运算性质（前提：a>0且a≠1，M>0，N>0）：

（1）积的对数：logaMN=logaM+logaN；

2.换底公式：

（1）基本形式：logab=logcblogca（要求a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）；

（2）推论（由换底公式证明）：

①倒数关系：logab=1logba；

②连乘积为1：logab⋅知识点03对数运算常用方法技巧1.对数混合运算的一般原则：

（1）化简真数和底数：将真数和底数化为“指数幂”形式（使真数、底数最简），再用公式logamMn=nmlogab合并；

（2）统一底数：利用换底公式，将不同底的对数转化为同底对数；

（3）逆用运算性质：将同底对数的和、差、倍运算，转化为真数的积、商、幂（如logaM+logaN=log2.对数运算的5个技巧：

（1）lg2+lg5=1的应用：若出现lg2和lg5，通过提公因式、平方差等变形，凑出lg2+lg5再化简；

（2）logab⋅logba=1的应用：若两个对数“底数与真数颠倒相乘”，直接用此式化简；

（3）指对互化：若已知ax=b题型1对数式与指数式互化【例1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【答案】C【详解】根据指数式与对数式互化可知：对于选项A：e0=1等价于对于选项B：8−13对于选项C：log39=2等价于对于选项D：log77=1等价于【方法总结】指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.【变式1-1】将下列对数式改写成指数式或指数式改写为对数式：(1)log264=6；(2)log3181=−4；【答案】(1)26=64；(2)3−4=181【详解】（1）log264=6，可得（2）log3181（3）12−3=8（4）6−2=1题型2利用对数性质解对数方程【例2】方程2logx25−3A．535 B．∅ C．125【答案】D【详解】2⇒⇒3⇒3解得log25x=2解得x=535或所以方程的解集为53【方法总结】简单的对数方程是指在对数符号后面含有未知数的方程，求解时通常需要考虑定义域、使用特定方法如同底法、换元法、转换法等，并且最后要验根以排除增根.【变式2-1】方程log39x【答案】log【详解】由log39x所以9x−4=3即3x−43x+1所以x=log题型3利用对数运算性质化简或求值【例3】求值：823【答案】5【详解】原式===4−1【方法总结】利用对数运算性质化简的原则和方法:①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【变式3-1】以下运算正确的是（

）A．5−0.15=0.1C．1681−3【答案】BD【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可.【详解】5−0.1lg21681e2+题型4利用以已知等式关系表示某对数【例4】已知log65=a，6b=2，则log206=【答案】1【详解】因为6b=2，则b=log所以log20故答案为：1【方法总结】用以已知等式关系表示某对数解题三步走：①定底数（统一阵营）：观察已知条件（如a,b），确定公共底数（本题为6），利用换底公式，将目标式转化为以该公共底数为底的分式，例：log20②拆真数（寻找关系）：分析分母中的真数（如20），将其拆解为已知真数（如5,2）的积、商或幂，例：20=5×2③代字母（得出结果）：利用对数运算性质展开，将已知的对数值（a,b）代入替换，整理即得答案，例：log6【变式4-1】已知3m=5，n=log23，则log3690A．2+n+m2+n B．2n+mn+12n+2 C．2m+mn+12m+2【答案】B【详解】由3m=5，得又n=log23所以log=2+题型5利用换底公式求值或证明等式【例5】（1）(log4【答案】5【详解】(=(lg故答案为：5（2）已知条件：a>0,b>0,α≠0,a≠1,b≠1，利用对数的换底公式证明：log【证明】利用换底公式，将左边转化为以e为底的自然对数：左边利用对数的幂运算性质lnx所以，左边再次利用换底公式逆运算lnb所以，左边证毕.【方法总结】换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.利用换底公式求值或证明等式两个策略：①统一底数：用换底公式将等式两边的对数转化为同一种底数（如

ln或

lg

），消除“底数不同”的差异.②化简变形：利用对数的幂、积、商运算性质，对分子分母进行约分、提取系数等.【变式5-1】若xlog23=2，求【答案】17【详解】由已知方程xlog23=2利用换底公式的推论1logmn=log利用对数幂性质nlogmk=logmkn所以3【变式5-1】已知条件：a>0,b>0,α≠0,a≠1,b≠1，利用对数的换底公式证明：log【证明】由换底公式可得：左边所以，证毕.一、单选题1．已知对数式loga+124−a有意义，则aA．−1,4 B．−1,0C．−4,0∪0,1 【答案】B【详解】由loga+124−a有意义可知a+1>0a+1≠12所以a的取值范围为−1,0∪2．方程log3x2A．3,3 B．C．3 D．3【答案】B【详解】log3x∴log3设log3x=m，则m2∴log3x=1或log3x=−3经检验，x=3和x=39均符合题意，∴该方程的解集是3．已知2a=3b=18A．2 B．12 C．1 D．【答案】C【详解】已知2a=3于是1所以1a=log4．设a>0,a≠1,x>y>0，下列等式：①loga②loga③loga④loga其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】对于①②③，由a>0,a≠1,x>y>0，令x=2,y=1，logalogaloga对于④，取x=1,y=12，因此①②③④都错误.5．若log3a−log13A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【详解】因为2a⋅8b=因为a+3b≥2a⋅3b=6，当且仅当a=3b，即a=3，故2a⋅86．心理学家用函数Lt=A1−e−kt测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L表示在时间t内该生能够记忆的成语个数.假设该生在3min内能够记忆10个成语，则k的值大约为（A．0.035 B．0.35 C．0.461 D．0.768【答案】A【详解】由题意可知A=100，L3=1001−所以−3k=ln0.9，故二、多选题7．下列指数式与对数式互化正确的是（

）A．100=1与lg1=0 B．C．log55=1与51=5 【答案】AC【详解】依