初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）（解析版）

2/14专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题题型一：根据充分条件、必要条件求参数角度1：根据充分条件求参数（值）取值范围【例1】设全集U=R，集合A=x1≤x<5，B=x2a≤x<3−a，若x∈B【答案】x|x≥【详解】因为x∈B是x∈A成立的充分条件，所以B⊆A；当B=∅时，2a≥3−a，解得a≥1，此时满足题意；当B≠∅时，2a<3−a2a≥13−a≤5，解得综上所述，实数a的取值范围是x|x≥1【方法总结】根据充分条件求参数（值）取值范围范围方法：1、解题思路：充分条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值；2、充分条件与集合的对应关系：设命题p,q对应集合：A={x|p(x)}，B={x|q(x))A⊆B⟺p是q的【变式1-1】集合A=x∣x2+5x−6=0,B=x∣x2+2m+1x+m2【答案】m【详解】由题意，q是p的充分条件，则B⊆A，当B=∅时，此时Δ=2m+1当B≠∅时，则：若B为单元素集，则Δ=2此时B=x∣若B为双元素集，则B=则有Δ=综上所述，实数m的取值范围为mm≤−2角度2：根据必要条件求参数（值）取值范围【例2】（1）（多选）已知条件p：{x|x2+x−6=0}，条件q：{x|xm+1=0}，且p是q的必要条件，则mA．12 B．13 C．-1【答案】BCD【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可.【详解】设A={x|x2+x−6=0}={−3,2}因为p是q的必要条件，所以B⊆A，当B=∅时，由mx+1=0无解可得m=0，符合题意；当B≠∅时，B={2}或B={−3}，当B={2}时，由2m+1=0解得m=−1当B={−3}时，由−3m+1=0解得m=1综上，m的取值为0，−12，（2）已知全集U=R，集合A=x−3≤x≤5,B=xm−1≤x≤2m+1，若“【答案】m|m≤2【详解】∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴x∈B⇒x∈A，∴B⊆A.当m−1>2m+1，即m<−2时，B=∅，满足B⊆A．当m≥−2时，由B⊆A，得m−1≥−32m+1≤5，解得：−2≤m≤2综上所述，实数m的取值范围是m|m≤2．【方法总结】根据必要条件求参数（值）取值范围范围方法：1、解题思路：必要条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值；2、必要条件与集合的对应关系：设命题p,q对应集合：A={x|p(x)}，B={x|q(x))B⊆A⟺p是【变式2-1】设集合A=x1≤x≤5，集合B=x2−a≤x≤1+2a，其中a∈R，若“x∈A”是“【答案】a∈【详解】因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，故B⊆A，若B=∅，即1+2a<2−a⇒a<13时，若B=∅，由B⊆A得1+2a≤52−a≥1综上：a∈角度3：根据充分不必要条件求参数（值）取值范围【例3】（1）已知集合A=x|2≤x≤5,B=x|m+1≤x≤3−2m，已知p:x∈A,q:x∈B，若p是q【答案】−∞,−1【详解】因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集；则m+1≤3−2mm+1=23−2m>5或m+1≤3−2mm+1<2实数m的取值范围是−∞,−1.（2）已知全集U=R，集合P=xa+1≤x≤2a+1，Q=x−2≤x≤5，若“x∈P【答案】a≤2【详解】若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P是Q的真子集，当a+1>2a+1时，a<0，此时P=∅，满足P当P≠∅时，则a+1≥−22a+1≤52a+1≥a+1，解得：0≤a≤2，且综上所述：实数a的取值范围为a≤2【方法总结】根据充分不必要条件求参数（值）取值范围范围方法：1、解题思路：充分不必要条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值；2、充分不必要条件与集合的对应关系：设命题p,q对应集合：A={x|p(x)}，B={x|q(x))A⫋B⟺p是q的【变式3-1】已知集合A=x|2m−1≤x≤m+2，集合B=x|−1<x<3，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数【答案】0,1【详解】若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，当A=∅时，即m+2<2m−1，则m>3，当A≠∅时，2m−1≤m+22m−1>−1m+2<3，得则m的取值范围为(0,1)∪(3,+∞角度4：根据必要不充分条件求参数（值）取值范围【例4】（1）已知集合A={x|2<x<4}和集合B={x|2m<x<1−m,m∈R}，已知p:x∈A,q:x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数【答案】m|m≤−3【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴A⫋B，则1−m>2m2m≤21−m>4或1−m>2m2m<2故实数m的取值范围为m∣m≤−3.（2）已知集合A=x|−1≤x<4，B=x|m−1≤x≤2m−3，若“x∈A”是“【答案】m【详解】因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，当B=∅时，m−1>2m−3，解得m<2；当B≠∅时，要使集合B是集合A的真子集，则m−1≤2m−3m−1≥−12m−3<4，解得综上所述，实数m的取值范围是mm<【方法总结】根据必要不充分条件求参数（值）取值范围范围方法：1、解题思路：必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值；2、必要不充分条件与集合的对应关系：设命题p,q对应集合：A={x|p(x)}，B={x|q(x))B⫋A⟺p是q的【变式4-1】已知集合A={x|x≤2或x>5}，B={x|−m<x<2m+1}，已知命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】−∞，【详解】因为集合A={x|x≤2或x>5}，B={x|−m<x<2m+1}，p是q的必要不充分条件，所以B⊊A，①若B=∅，则−m≥2m+1，解得m≤−1②若B≠∅，则−m<2m+1−m≥5或−m<2m+12m+1≤2，解得综上，实数m的取值范围是−∞，1角度5：根据充要条件求参数（值）取值范围【例5】（1）已知集合P={x|−2≤x≤6}，非空集合S={x|1−m≤x≤1+3m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.【答案】不存在【详解】∵若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S，∴1−m=−21+3m=6即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.（2）已知M=x,yy2=2x，【答案】−3≤a≤5【详解】M∩N≠∅的充要条件是方程组y2=2xx−a2+y2上述方程有两个负根的充要条件是x1+x2<0∴a<−3.于是这个方程至少有一个非负根的a的取值范围是−3≤a≤5.故M∩N≠∅的充要条件为−3≤a≤5.【方法总结】根据充要条件求参数（值）取值范围范围方法：1、解题思路：充要条件转化为集合之间的相等关系，再依托集合相等列含参数的方程（组）；或者等价转换命题，比如A∩B≠∅的充要条件，等价：两集合有公共元素，再转化为方程有解.2、充要条件与集合的对应关系：设命题p,q对应集合：A={x|p(x)}，B={x|q(x))A=B⟺p是q【变式5-1】设集合A={x∣−1<x<3},B={x∣1−m<x<m+1,m>0}，命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；【答案】2【详解】由条件A={−1<x<3}，p是q的充要条件，得A=B，即1−m=−1m+1=3，解得m=2所以实数m的取值范围是2.题型二：根据命题真假求参数角度1：根据全称量词命题真假求参数值（取值范围）【例6】（1）命题“∀x∈[1，2]，A．a≥4 B．a≤4 C．a>4 D．a<4【答案】C【详解】由x2－a≤0可得：a≥x2，又当x∈[1,2]则a的取值范围为A=a满足其一个充分不必要条件的集合为B，则：B为A的真子集,故其一个充分不必要条件是：a>4.（2）若“∀x∈R，ax2+4x+a≥−2x2A．−∞,−2 B．−∞,2 C．【答案】D【详解】“∀x∈R则∃x∈R即a+2x当a+2≤0时，上述不等式在实数集上存在解，当a+2>0Δ=16−4a+2a−1综上：实数a的取值范围是−∞【方法总结】根据全称量词命题真假求参数值（取值范围）的方法总结：=1\*GB3①对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即a>ymax(或a=1\*GB3①对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为假的问题，法一：可以先假设命题为真，求出结果，再取补集；法二：求否定，转化为存在量词命题为真的问题，进一步转化为不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即a>ymin(或a【变式6-1】“∀x∈R，都有k≤x2−1恒成立”是真命题，则实数【答案】k≤−1【详解】因为x2−1≥−1，要使“只需k≤x2−1min，因为x2故答案为：k≤−1.【变式6-2】若命题“∀x∈R,x2−x+m≥0A．−∞,14 B．−∞,【答案】B【详解】因为命题“∀x∈R所以“∃x∈R因此Δ即实数m的取值范围是−∞角度2：根据存在量词命题真假求参数值（取值范围）【例7】（1）命题“∃x∈1,2,x2【答案】a≥1【详解】因为“∃x∈1,2,x因为x∈1,2，所以x2∈1,4，即（2）若命题：“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数【答案】[【详解】由题意可知，题“∀x∈R,当a=0时，由x+1≥0可得x≥−1，不符合题意，当a≠0时，根据题意知不等式恒成立则a>0Δ解之可得a≥1故答案为：[【方法总结】根据存在量词命题真假求参数值（取值范围）的方法总结：=1\*GB3①对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即a>ymin(或=1\*GB3①对于全称量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为假的问题，法一：可以先假设命题为真，求出结果，再取补集；法二：求否定，转化为全称量词命题为真的问题，进一步转化为不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即a>ymax(或【变式7-1】（多选）命题“∃x∈1,2，x2≤aA．a≥1 B．a≥4 C．a≥−2 D．a=4【答案】BD【详解】若命题“∃x∈1,2，x2≤a因为aa≥4aa≥1，aa≥−2aa≥1，所以，命题“∃x∈1,2，x【变式7-2】若命题“∃x∈R，x2+ax+b=0”为假命题，写出一组符合条件的a和b的值：【答案】a=1,b=1（答案不唯一）【详解】因为命题“∃x∈R,x所以该命题的否定“∀x∈R,x即方程x2+ax+b=0在实数范围内没有根，所以取a=1,b=1满足题意（答案不唯一，a,b满足a2故答案为：a=1,b=1．一、单选题1．集合A=1,x2，B=1,4,x，若x∈A是x∈B的充分条件，则A．0 B．−2 C．0或−2或1 D．0或±2【答案】D【详解】∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，则①x2=4，解得②x2=x，解得x=0或综上，x=0或x=±2．2．已知p:x2+x−6=0和q:mx+1=0，且p是q的必要条件，则实数mA．0 B．2或−3 C．−12或13 D．0或【答案】D【详解】解法1

x∣x2+x−6=0={2,−3}．因为p是q的必要条件，所以{x∣mx+1=0}{2,−3}．当{x∣mx+1=0}=∅，即m=0时，符合题意；当{x∣mx+1=0}≠∅时，由{x∣mx+1=0}{2,−3}，得−1m=2或−1m=−3，解得解法2（代入法）

x∣x2+x−6=0={2,−3}，当m=0时，{x∣mx+1=0}=∅，符合题意；当m=−12时，3．已知非空集合A=x1≤x≤m,m∈R,B=x1≤x≤4，若x∈A是A．1,4 B．1,4 C．4,+∞ D．【答案】B【详解】非空集合A=xx∈A是x∈B的充分不必要条件，则有集合A是集合B的真子集，所以1≤m<4，即实数m的取值范围为1,4.4．已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，若p：x∈A，q：x∈B，p是q的必要不充分条件，则A．2,3 B．−3,3 C．−∞,3 【答案】C【详解】p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，当m+1>2m−1，即m<2时，B=∅符合题意；当m+1≤2m−1，即m≥2时，B≠∅，则m+1≥−22m−1≤5且两个等号不能同时取得，解得−3≤m≤3，所以2≤m≤3综上，m∈(−∞5．方程ax2+5x+4=0A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a<−1【答案】A【详解】由题知，25−16a>04a<06．已知命题p：“∀x∈1, 2, x−a≥0”，命题q：“A．a−2<a≤1 B．a−2<a≤2 C．a−2<a<2【答案】A【详解】由题意知命题p：“∀x∈1,故∀x∈1, 2结合题意知命题q：“∃x∈R则∀x∈R, 则Δ=4a2综合上述a需满足a≤1−2<a<2可知实数a的取值范围是a−2<a≤1二、多选题7．已知集合A={x|m−3≤x≤2m+1}，B={x|−5≤x≤2}，若x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的值可能为（

）A．−5 B．−3 C．0 D．1【答案】ACD【详解】因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B，若A是空集，显然满足题意，此时m−3>2m+1，解得m<−4，若A不是空集，由A⊆B得m−3≥−52m+1≤2，解得−2≤m≤综上，m<−4或−2≤m≤1对比选项可知，ACD符合题意．8．设集合A={x|x2−x−6=0}，B={x|ax−1=0}．若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则实数aA．−12 B．−13 【答案】ACD【详解】若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则BA．集合A={x|x2−x−6=0}=当a=0时，B=∅，则BA，符合题意；当a≠0时，B={x|x=1∵BA，∴即1a=−2或1a=3，解得综上，a的值可以是：0,19．已知命题p：∃x∈R，x2+4x+a=0，若命题p是假命题，则实数A．0<a≤4 B．a>10C．a>5 D．a>4【答案】BCD【详解】因为命题p是假命题，所以可知“∀x∈R,x2所以Δ=42又因为“a>10”可以推出“a>4”，“a>5”可以推出“a>4”，三、填空题10．设α:−1≤x≤3,β:x∈m−1,2m+5，α是β的充分条件，则m∈____________【答案】−1,0【详解】∵α:−1≤x≤3,β:x∈m−1,2m+5α是β的充分条件，令α：A=xβ:B=x∴A⊆B，可得m−1≤−12m+5≥3即−1≤m≤011．已知p:3x−1>515>2x−1>0,q:x≥3m+1或x≤3m−3.若p是¬q的必要不充分条件，则实数m【答案】m【详解】依题意，¬q：3m−3<x<3m+1，由（1）知p：2<x<8，又p是¬q的必要不充分条件，所以3m−3≥23m+1≤8解得53≤m≤73，即实数故答案为：m12．已知m∈R，命题p：∃x∈R，x2−3x−m≤0；命题q：∀x∈R，x2−2mx+9≥0．若命题p是假命题，¬q是真命题，则实数【答案】−【详解】若p是假命题，则¬p：∀x∈R，x2则−32+4m<0，解得若命题q：∀x∈R，x2则4m2−36≤0，解