初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：求简单函数值域的五大方法（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14专题拓展：求简单函数值域的五大方法方法1：图象法、单调性求函数的值域【例1】（1）函数f(x)=x+2x,x∈[1,3]A．[22,3] B．3,113 C．（2）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（

）A．－1，0 B．0，2C．－1，2 D．12【方法总结】1.单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）.（1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f（b），ymin＝f（a）.（2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f（a），ymin＝f（b）.（3）若函数y＝f（x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.2.图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域.（2）fx的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该f【变式1-1】已知函数fx=2x+1x+1，则fxA．45 B．1 C．65 【变式1-2】给定函数fx=x+1,gx=(x+1)2,x∈R，∀x∈R,用Mx表示fxA．−2 B．0 C．1 D．4方法2：配方法求函数的值域【例2】函数fx=3−−A．0,6 B．0,3 C．−3,3 D．3−【方法总结】配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【变式3-1】函数y=2x2+4x+5(−2≤x≤1)A．[5,11] B．3,5C．3,11 D．3,+方法3：换元法求函数的值域【例3】函数fx=3−xA．0,1 B．−2,0 C．−2,1 D．−1,2【方法总结】换元法：该法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值（值域）.（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围.（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的.②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理.【变式3-1】函数fx=x+2x−1A．[0,1） B．12,+∞ C．方法4：分离常数法求函数的值域【例4】若x∈0,2，则函数y=x−2x+1A．−2,0 B．−C．0,1 D．−2,1【方法总结】分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如y=ax+bcx+d或y=ax2+bx+ecx+d第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=a第二步，求出函数y=ecx+d在定义域范围内的值域，进而求出【变式4-1】函数y=3x2A．−∞,133 B．3,133方法5：判别式法求函数的值域【例5】函数fx=−【方法总结】判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y=a【变式5-1】函数f(x)=x+1x2一、单选题1．已知函数fx=2x+1x+1，则fxA．45 B．1 C．65 2．函数fxA．12，15 B．2，5 3．已知函数f(x)的值域为−12，38A．12，7C．78，1 4．函数y=x21+x在区间−A．12,43 B．0,435．函数fx=1−2xA．−∞,−2 B．−∞,−12二、多选题7．下列函数中，值域为R的是（

）A．y=x B．y=xC．y=−3x+1 D．y=8．下列函数中，值域不是0,+∞A．y=x2−2x+1 B．y=C．y=1x2+2x+1（x∈9．已知函数y=fx与y=gx的图象如图所示，则（A．y=fxgx为奇函数 B．y=fC．y=fgx在−∞,0上单调递减 三、填空题10．函数fx=−11．函数fx=2x−112．已知函数f(x)=x−[x]，x∈[−1,2